Pré-cálculo Exemplos

$\frac{5 x^{3} + 32 x - 4}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

Etapa 1

Decomponha a fração e multiplique pelo denominador comum.

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Etapa 1.1

Para cada fator no denominador, crie uma fração usando o fator como denominador e um valor desconhecido como numerador. Como o fator é de 2ª ordem, os termos de $2$ são necessários no numerador. O número de termos necessários no numerador é sempre igual à ordem do fator no denominador.

$\frac{A x + B}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

Etapa 1.2

$\frac{A x + B}{{(x^{2} + 6)}^{2}} + \frac{C x + D}{x^{2} + 6}$

Etapa 1.3

Multiplique cada fração na equação pelo denominador da expressão original. Nesse caso, o denominador é ${(x^{2} + 6)}^{2}$ .

$\frac{(5 x^{3} + 32 x - 4) {(x^{2} + 6)}^{2}}{{(x^{2} + 6)}^{2}} = \frac{(A x + B) {(x^{2} + 6)}^{2}}{{(x^{2} + 6)}^{2}} + \frac{(C x + D) {(x^{2} + 6)}^{2}}{x^{2} + 6}$

Etapa 1.4

Cancele o fator comum de ${(x^{2} + 6)}^{2}$ .

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Etapa 1.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{(5 x^{3} + 32 x - 4) {(x^{2} + 6)}^{2}}{{(x^{2} + 6)}^{2}} = \frac{(A x + B) {(x^{2} + 6)}^{2}}{{(x^{2} + 6)}^{2}} + \frac{(C x + D) {(x^{2} + 6)}^{2}}{x^{2} + 6}$

Etapa 1.4.2

Divida $5 x^{3} + 32 x - 4$ por $1$ .

$5 x^{3} + 32 x - 4 = \frac{(A x + B) {(x^{2} + 6)}^{2}}{{(x^{2} + 6)}^{2}} + \frac{(C x + D) {(x^{2} + 6)}^{2}}{x^{2} + 6}$

Etapa 1.5

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.5.1

Cancele o fator comum de ${(x^{2} + 6)}^{2}$ .

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Etapa 1.5.1.1

Cancele o fator comum.

$5 x^{3} + 32 x - 4 = \frac{(A x + B) {(x^{2} + 6)}^{2}}{{(x^{2} + 6)}^{2}} + \frac{(C x + D) {(x^{2} + 6)}^{2}}{x^{2} + 6}$

Etapa 1.5.1.2

Divida $A x + B$ por $1$ .

$5 x^{3} + 32 x - 4 = A x + B + \frac{(C x + D) {(x^{2} + 6)}^{2}}{x^{2} + 6}$

Etapa 1.5.2

Cancele o fator comum de ${(x^{2} + 6)}^{2}$ e $x^{2} + 6$ .

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Etapa 1.5.2.1

Fatore $x^{2} + 6$ de $(C x + D) {(x^{2} + 6)}^{2}$ .

$5 x^{3} + 32 x - 4 = A x + B + \frac{(x^{2} + 6) ((C x + D) (x^{2} + 6))}{x^{2} + 6}$

Etapa 1.5.2.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 1.5.2.2.1

Multiplique por $1$ .

$5 x^{3} + 32 x - 4 = A x + B + \frac{(x^{2} + 6) ((C x + D) (x^{2} + 6))}{(x^{2} + 6) \cdot 1}$

Etapa 1.5.2.2.2

Cancele o fator comum.

$5 x^{3} + 32 x - 4 = A x + B + \frac{(x^{2} + 6) ((C x + D) (x^{2} + 6))}{(x^{2} + 6) \cdot 1}$

Etapa 1.5.2.2.3

Reescreva a expressão.

$5 x^{3} + 32 x - 4 = A x + B + \frac{(C x + D) (x^{2} + 6)}{1}$

Etapa 1.5.2.2.4

Divida $(C x + D) (x^{2} + 6)$ por $1$ .

$5 x^{3} + 32 x - 4 = A x + B + (C x + D) (x^{2} + 6)$

Etapa 1.5.3

Expanda $(C x + D) (x^{2} + 6)$ usando o método FOIL.

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Etapa 1.5.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$5 x^{3} + 32 x - 4 = A x + B + C x (x^{2} + 6) + D (x^{2} + 6)$

Etapa 1.5.3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$5 x^{3} + 32 x - 4 = A x + B + C x \cdot x^{2} + C x \cdot 6 + D (x^{2} + 6)$

Etapa 1.5.3.3

Aplique a propriedade distributiva.

$5 x^{3} + 32 x - 4 = A x + B + C x \cdot x^{2} + C x \cdot 6 + D x^{2} + D \cdot 6$

Etapa 1.5.4

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.5.4.1

Multiplique $x$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 1.5.4.1.1

Mova $x^{2}$ .

$5 x^{3} + 32 x - 4 = A x + B + C (x^{2} x) + C x \cdot 6 + D x^{2} + D \cdot 6$

Etapa 1.5.4.1.2

Multiplique $x^{2}$ por $x$ .

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Etapa 1.5.4.1.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$5 x^{3} + 32 x - 4 = A x + B + C (x^{2} x) + C x \cdot 6 + D x^{2} + D \cdot 6$

Etapa 1.5.4.1.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$5 x^{3} + 32 x - 4 = A x + B + C x^{2 + 1} + C x \cdot 6 + D x^{2} + D \cdot 6$

Etapa 1.5.4.1.3

Some $2$ e $1$ .

$5 x^{3} + 32 x - 4 = A x + B + C x^{3} + C x \cdot 6 + D x^{2} + D \cdot 6$

Etapa 1.5.4.2

Mova $6$ para a esquerda de $C x$ .

$5 x^{3} + 32 x - 4 = A x + B + C x^{3} + 6 \cdot (C x) + D x^{2} + D \cdot 6$

Etapa 1.5.4.3

Mova $6$ para a esquerda de $D$ .

$5 x^{3} + 32 x - 4 = A x + B + C x^{3} + 6 C x + D x^{2} + 6 D$

Etapa 1.6

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.6.1

Mova $B$ .

$5 x^{3} + 32 x - 4 = A x + C x^{3} + 6 C x + D x^{2} + B + 6 D$

Etapa 1.6.2

Mova $6 C x$ .

$5 x^{3} + 32 x - 4 = A x + C x^{3} + D x^{2} + 6 C x + B + 6 D$

Etapa 1.6.3

Mova $A x$ .

$5 x^{3} + 32 x - 4 = C x^{3} + D x^{2} + A x + 6 C x + B + 6 D$

Etapa 2

Crie equações para as variáveis da fração parcial e use-as para estabelecer um sistema de equações.

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Etapa 2.1

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes de $x^{3}$ de cada lado da equação. Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$5 = C$

Etapa 2.2

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes de $x^{2}$ de cada lado da equação. Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$0 = D$

Etapa 2.3

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes de $x$ de cada lado da equação. Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$32 = A + 6 C$

Etapa 2.4

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes dos termos que não contêm $x$ . Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$- 4 = B + 6 D$

Etapa 2.5

Monte o sistema de equações para encontrar os coeficientes das frações parciais.

$5 = C$

$0 = D$

$32 = A + 6 C$

$- 4 = B + 6 D$

$5 = C$

$0 = D$

$32 = A + 6 C$

$- 4 = B + 6 D$

Etapa 3

Resolva o sistema de equações.

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Etapa 3.1

Reescreva a equação como $C = 5$ .

$C = 5$

$0 = D$

$32 = A + 6 C$

$- 4 = B + 6 D$

Etapa 3.2

Substitua todas as ocorrências de $C$ por $5$ em cada equação.

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Etapa 3.2.1

Reescreva a equação como $D = 0$ .

$D = 0$

$C = 5$

$32 = A + 6 C$

$- 4 = B + 6 D$

Etapa 3.2.2

Substitua todas as ocorrências de $C$ em $32 = A + 6 C$ por $5$ .

$32 = A + 6 (5)$

$D = 0$

$C = 5$

$- 4 = B + 6 D$

Etapa 3.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.2.3.1

Multiplique $6$ por $5$ .

$32 = A + 30$

$D = 0$

$C = 5$

$- 4 = B + 6 D$

$32 = A + 30$

$D = 0$

$C = 5$

$- 4 = B + 6 D$

$32 = A + 30$

$D = 0$

$C = 5$

$- 4 = B + 6 D$

Etapa 3.3

Substitua todas as ocorrências de $D$ por $0$ em cada equação.

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Etapa 3.3.1

Reescreva a equação como $A + 30 = 32$ .

$A + 30 = 32$

$D = 0$

$C = 5$

$- 4 = B + 6 D$

Etapa 3.3.2

Mova todos os termos que não contêm $A$ para o lado direito da equação.

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Etapa 3.3.2.1

Subtraia $30$ dos dois lados da equação.

$A = 32 - 30$

$D = 0$

$C = 5$

$- 4 = B + 6 D$

Etapa 3.3.2.2

Subtraia $30$ de $32$ .

$A = 2$

$D = 0$

$C = 5$

$- 4 = B + 6 D$

$A = 2$

$D = 0$

$C = 5$

$- 4 = B + 6 D$

Etapa 3.3.3

Substitua todas as ocorrências de $D$ em $- 4 = B + 6 D$ por $0$ .

$- 4 = B + 6 (0)$

$A = 2$

$D = 0$

$C = 5$

Etapa 3.3.4

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.3.4.1

Simplifique $B + 6 (0)$ .

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Etapa 3.3.4.1.1

Multiplique $6$ por $0$ .

$- 4 = B + 0$

$A = 2$

$D = 0$

$C = 5$

Etapa 3.3.4.1.2

Some $B$ e $0$ .

$- 4 = B$

$A = 2$

$D = 0$

$C = 5$

$- 4 = B$

$A = 2$

$D = 0$

$C = 5$

$- 4 = B$

$A = 2$

$D = 0$

$C = 5$

$- 4 = B$

$A = 2$

$D = 0$

$C = 5$

Etapa 3.4

Reescreva a equação como $B = - 4$ .

$B = - 4$

$A = 2$

$D = 0$

$C = 5$

Etapa 3.5

Resolva o sistema de equações.

$B = - 4 A = 2 D = 0 C = 5$

Etapa 3.6

Liste todas as soluções.

$B = - 4, A = 2, D = 0, C = 5$

Etapa 4

Substitua cada um dos coeficientes de fração parcial em $\frac{A x + B}{{(x^{2} + 6)}^{2}} + \frac{C x + D}{x^{2} + 6}$ pelos valores encontrados para $A$ , $B$ , $C$ e $D$ .

$\frac{2 x - 4}{{(x^{2} + 6)}^{2}} + \frac{5 x + 0}{x^{2} + 6}$

Etapa 5

Simplifique.

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Etapa 5.1

Multiplique $2$ por $x$ .

$\frac{2 x - 4}{{(x^{2} + 6)}^{2}} + \frac{(5) \cdot x + 0}{x^{2} + 6}$

Etapa 5.2

Some $(5) \cdot x$ e $0$ .

$\frac{2 x - 4}{{(x^{2} + 6)}^{2}} + \frac{5 x}{x^{2} + 6}$