Pré-cálculo Exemplos

$2 x^{2} + 2 y^{2} - 10 x - 18 y - 1 = 0$

Etapa 1

Some $1$ aos dois lados da equação.

$2 x^{2} + 2 y^{2} - 10 x - 18 y = 1$

Etapa 2

Divida os dois lados da equação por $2$ .

$x^{2} + y^{2} - 5 x - 9 y = \frac{1}{2}$

Etapa 3

Complete o quadrado de $x^{2} - 5 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Use a forma $a x^{2} + b x + c$ para encontrar os valores de $a$ , $b$ e $c$ .

$a = 1$

$b = - 5$

$c = 0$

Etapa 3.2

Considere a forma de vértice de uma parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Etapa 3.3

Encontre o valor de $d$ usando a fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Etapa 3.3.1

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 5}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.3.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.3.2.1

Multiplique $2$ por $1$ .

$d = \frac{- 5}{2}$

Etapa 3.3.2.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$d = - \frac{5}{2}$

Etapa 3.4

Encontre o valor de $e$ usando a fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Etapa 3.4.1

Substitua os valores de $c$ , $b$ e $a$ na fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 5)}^{2}}{4 \cdot 1}$

Etapa 3.4.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.4.2.1.1

Eleve $- 5$ à potência de $2$ .

$e = 0 - \frac{25}{4 \cdot 1}$

Etapa 3.4.2.1.2

Multiplique $4$ por $1$ .

$e = 0 - \frac{25}{4}$

Etapa 3.4.2.2

Subtraia $\frac{25}{4}$ de $0$ .

$e = - \frac{25}{4}$

Etapa 3.5

Substitua os valores de $a$ , $d$ e $e$ na forma do vértice ${(x - \frac{5}{2})}^{2} - \frac{25}{4}$ .

${(x - \frac{5}{2})}^{2} - \frac{25}{4}$

Etapa 4

Substitua ${(x - \frac{5}{2})}^{2} - \frac{25}{4}$ por $x^{2} - 5 x$ na equação $x^{2} + y^{2} - 5 x - 9 y = \frac{1}{2}$ .

${(x - \frac{5}{2})}^{2} - \frac{25}{4} + y^{2} - 9 y = \frac{1}{2}$

Etapa 5

Mova $- \frac{25}{4}$ para o lado direito da equação, somando $\frac{25}{4}$ aos dois lados.

${(x - \frac{5}{2})}^{2} + y^{2} - 9 y = \frac{1}{2} + \frac{25}{4}$

Etapa 6

Complete o quadrado de $y^{2} - 9 y$ .

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Etapa 6.1

Use a forma $a x^{2} + b x + c$ para encontrar os valores de $a$ , $b$ e $c$ .

$a = 1$

$b = - 9$

$c = 0$

Etapa 6.2

Considere a forma de vértice de uma parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Etapa 6.3

Encontre o valor de $d$ usando a fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Etapa 6.3.1

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 9}{2 \cdot 1}$

Etapa 6.3.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.1

Multiplique $2$ por $1$ .

$d = \frac{- 9}{2}$

Etapa 6.3.2.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$d = - \frac{9}{2}$

Etapa 6.4

Encontre o valor de $e$ usando a fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Etapa 6.4.1

Substitua os valores de $c$ , $b$ e $a$ na fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 9)}^{2}}{4 \cdot 1}$

Etapa 6.4.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.4.2.1.1

Eleve $- 9$ à potência de $2$ .

$e = 0 - \frac{81}{4 \cdot 1}$

Etapa 6.4.2.1.2

Multiplique $4$ por $1$ .

$e = 0 - \frac{81}{4}$

Etapa 6.4.2.2

Subtraia $\frac{81}{4}$ de $0$ .

$e = - \frac{81}{4}$

Etapa 6.5

Substitua os valores de $a$ , $d$ e $e$ na forma do vértice ${(y - \frac{9}{2})}^{2} - \frac{81}{4}$ .

${(y - \frac{9}{2})}^{2} - \frac{81}{4}$

Etapa 7

Substitua ${(y - \frac{9}{2})}^{2} - \frac{81}{4}$ por $y^{2} - 9 y$ na equação $x^{2} + y^{2} - 5 x - 9 y = \frac{1}{2}$ .

${(x - \frac{5}{2})}^{2} + {(y - \frac{9}{2})}^{2} - \frac{81}{4} = \frac{1}{2} + \frac{25}{4}$

Etapa 8

Mova $- \frac{81}{4}$ para o lado direito da equação, somando $\frac{81}{4}$ aos dois lados.

${(x - \frac{5}{2})}^{2} + {(y - \frac{9}{2})}^{2} = \frac{1}{2} + \frac{25}{4} + \frac{81}{4}$

Etapa 9

Simplifique $\frac{1}{2} + \frac{25}{4} + \frac{81}{4}$ .

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Etapa 9.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

${(x - \frac{5}{2})}^{2} + {(y - \frac{9}{2})}^{2} = \frac{1}{2} + \frac{25 + 81}{4}$

Etapa 9.2

Some $25$ e $81$ .

${(x - \frac{5}{2})}^{2} + {(y - \frac{9}{2})}^{2} = \frac{1}{2} + \frac{106}{4}$

Etapa 9.3

Cancele o fator comum de $106$ e $4$ .

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Etapa 9.3.1

Fatore $2$ de $106$ .

${(x - \frac{5}{2})}^{2} + {(y - \frac{9}{2})}^{2} = \frac{1}{2} + \frac{2 (53)}{4}$

Etapa 9.3.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 9.3.2.1

Fatore $2$ de $4$ .

${(x - \frac{5}{2})}^{2} + {(y - \frac{9}{2})}^{2} = \frac{1}{2} + \frac{2 \cdot 53}{2 \cdot 2}$

Etapa 9.3.2.2

Cancele o fator comum.

${(x - \frac{5}{2})}^{2} + {(y - \frac{9}{2})}^{2} = \frac{1}{2} + \frac{2 \cdot 53}{2 \cdot 2}$

Etapa 9.3.2.3

Reescreva a expressão.

${(x - \frac{5}{2})}^{2} + {(y - \frac{9}{2})}^{2} = \frac{1}{2} + \frac{53}{2}$

Etapa 9.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

${(x - \frac{5}{2})}^{2} + {(y - \frac{9}{2})}^{2} = \frac{1 + 53}{2}$

Etapa 9.5

Simplifique a expressão.

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Etapa 9.5.1

Some $1$ e $53$ .

${(x - \frac{5}{2})}^{2} + {(y - \frac{9}{2})}^{2} = \frac{54}{2}$

Etapa 9.5.2

Divida $54$ por $2$ .

${(x - \frac{5}{2})}^{2} + {(y - \frac{9}{2})}^{2} = 27$