Pré-cálculo Exemplos

$x^{2} + y^{2} - \frac{1}{2} x + \frac{1}{2} y = \frac{1}{8}$

Etapa 1

Complete o quadrado de $x^{2} - \frac{1}{2} x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Combine $x$ e $\frac{1}{2}$ .

$x^{2} - \frac{x}{2}$

Etapa 1.2

Use a forma $a x^{2} + b x + c$ para encontrar os valores de $a$ , $b$ e $c$ .

$a = 1$

$b = - \frac{1}{2}$

$c = 0$

Etapa 1.3

Considere a forma de vértice de uma parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Etapa 1.4

Encontre o valor de $d$ usando a fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- \frac{1}{2}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.4.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.1

Cancele o fator comum de $- 1$ e $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.1.1

Reescreva $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$d = \frac{- 1 (1) \frac{1}{2}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.4.2.1.2

Cancele o fator comum.

$d = \frac{- 1 \cdot 1 \frac{1}{2}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.4.2.1.3

Reescreva a expressão.

$d = \frac{- \frac{1}{2}}{2}$

Etapa 1.4.2.2

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$d = - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Etapa 1.4.2.3

Multiplique $- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.3.1

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$d = - \frac{1}{2 \cdot 2}$

Etapa 1.4.2.3.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$d = - \frac{1}{4}$

Etapa 1.5

Encontre o valor de $e$ usando a fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.1

Substitua os valores de $c$ , $b$ e $a$ na fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- \frac{1}{2})}^{2}}{4 \cdot 1}$

Etapa 1.5.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.2.1.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.2.1.1.1

Aplique a regra do produto a $- \frac{1}{2}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 1)}^{2} {(\frac{1}{2})}^{2}}{4 \cdot 1}$

Etapa 1.5.2.1.1.2

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$e = 0 - \frac{1 {(\frac{1}{2})}^{2}}{4 \cdot 1}$

Etapa 1.5.2.1.1.3

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{2}$ .

$e = 0 - \frac{1 \frac{1^{2}}{2^{2}}}{4 \cdot 1}$

Etapa 1.5.2.1.1.4

Um elevado a qualquer potência é um.

$e = 0 - \frac{1 \frac{1}{2^{2}}}{4 \cdot 1}$

Etapa 1.5.2.1.1.5

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$e = 0 - \frac{1 (\frac{1}{4})}{4 \cdot 1}$

Etapa 1.5.2.1.1.6

Multiplique $\frac{1}{4}$ por $1$ .

$e = 0 - \frac{\frac{1}{4}}{4 \cdot 1}$

Etapa 1.5.2.1.2

Multiplique $4$ por $1$ .

$e = 0 - \frac{\frac{1}{4}}{4}$

Etapa 1.5.2.1.3

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$e = 0 - (\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4})$

Etapa 1.5.2.1.4

Multiplique $\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.2.1.4.1

Multiplique $\frac{1}{4}$ por $\frac{1}{4}$ .

$e = 0 - \frac{1}{4 \cdot 4}$

Etapa 1.5.2.1.4.2

Multiplique $4$ por $4$ .

$e = 0 - \frac{1}{16}$

Etapa 1.5.2.2

Subtraia $\frac{1}{16}$ de $0$ .

$e = - \frac{1}{16}$

Etapa 1.6

Substitua os valores de $a$ , $d$ e $e$ na forma do vértice ${(x - \frac{1}{4})}^{2} - \frac{1}{16}$ .

${(x - \frac{1}{4})}^{2} - \frac{1}{16}$

Etapa 2

Substitua ${(x - \frac{1}{4})}^{2} - \frac{1}{16}$ por $x^{2} - \frac{1}{2} x$ na equação $x^{2} + y^{2} - \frac{1}{2} x + \frac{1}{2} y = \frac{1}{8}$ .

${(x - \frac{1}{4})}^{2} - \frac{1}{16} + y^{2} + \frac{1}{2} y = \frac{1}{8}$

Etapa 3

Mova $- \frac{1}{16}$ para o lado direito da equação, somando $\frac{1}{16}$ aos dois lados.

${(x - \frac{1}{4})}^{2} + y^{2} + \frac{1}{2} y = \frac{1}{8} + \frac{1}{16}$

Etapa 4

Complete o quadrado de $y^{2} + \frac{1}{2} y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $y$ .

$y^{2} + \frac{y}{2}$

Etapa 4.2

Use a forma $a x^{2} + b x + c$ para encontrar os valores de $a$ , $b$ e $c$ .

$a = 1$

$b = \frac{1}{2}$

$c = 0$

Etapa 4.3

Considere a forma de vértice de uma parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Etapa 4.4

Encontre o valor de $d$ usando a fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.4.1

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{\frac{1}{2}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.4.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.4.2.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$d = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.4.2.2

Cancele o fator comum de $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.4.2.2.1

Cancele o fator comum.

$d = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.4.2.2.2

Reescreva a expressão.

$d = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Etapa 4.4.2.3

Multiplique $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.4.2.3.1

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$d = \frac{1}{2 \cdot 2}$

Etapa 4.4.2.3.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$d = \frac{1}{4}$

Etapa 4.5

Encontre o valor de $e$ usando a fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.5.1

Substitua os valores de $c$ , $b$ e $a$ na fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(\frac{1}{2})}^{2}}{4 \cdot 1}$

Etapa 4.5.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.5.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.5.2.1.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.5.2.1.1.1

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{2}$ .

$e = 0 - \frac{\frac{1^{2}}{2^{2}}}{4 \cdot 1}$

Etapa 4.5.2.1.1.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$e = 0 - \frac{\frac{1}{2^{2}}}{4 \cdot 1}$

Etapa 4.5.2.1.1.3

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$e = 0 - \frac{\frac{1}{4}}{4 \cdot 1}$

Etapa 4.5.2.1.2

Multiplique $4$ por $1$ .

$e = 0 - \frac{\frac{1}{4}}{4}$

Etapa 4.5.2.1.3

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$e = 0 - (\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4})$

Etapa 4.5.2.1.4

Multiplique $\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.5.2.1.4.1

Multiplique $\frac{1}{4}$ por $\frac{1}{4}$ .

$e = 0 - \frac{1}{4 \cdot 4}$

Etapa 4.5.2.1.4.2

Multiplique $4$ por $4$ .

$e = 0 - \frac{1}{16}$

Etapa 4.5.2.2

Subtraia $\frac{1}{16}$ de $0$ .

$e = - \frac{1}{16}$

Etapa 4.6

Substitua os valores de $a$ , $d$ e $e$ na forma do vértice ${(y + \frac{1}{4})}^{2} - \frac{1}{16}$ .

${(y + \frac{1}{4})}^{2} - \frac{1}{16}$

Etapa 5

Substitua ${(y + \frac{1}{4})}^{2} - \frac{1}{16}$ por $y^{2} + \frac{1}{2} y$ na equação $x^{2} + y^{2} - \frac{1}{2} x + \frac{1}{2} y = \frac{1}{8}$ .

${(x - \frac{1}{4})}^{2} + {(y + \frac{1}{4})}^{2} - \frac{1}{16} = \frac{1}{8} + \frac{1}{16}$

Etapa 6

Mova $- \frac{1}{16}$ para o lado direito da equação, somando $\frac{1}{16}$ aos dois lados.

${(x - \frac{1}{4})}^{2} + {(y + \frac{1}{4})}^{2} = \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \frac{1}{16}$

Etapa 7

Simplifique $\frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \frac{1}{16}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

${(x - \frac{1}{4})}^{2} + {(y + \frac{1}{4})}^{2} = \frac{1}{8} + \frac{1 + 1}{16}$

Etapa 7.2

Some $1$ e $1$ .

${(x - \frac{1}{4})}^{2} + {(y + \frac{1}{4})}^{2} = \frac{1}{8} + \frac{2}{16}$

Etapa 7.3

Cancele o fator comum de $2$ e $16$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.1

Fatore $2$ de $2$ .

${(x - \frac{1}{4})}^{2} + {(y + \frac{1}{4})}^{2} = \frac{1}{8} + \frac{2 (1)}{16}$

Etapa 7.3.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.2.1

Fatore $2$ de $16$ .

${(x - \frac{1}{4})}^{2} + {(y + \frac{1}{4})}^{2} = \frac{1}{8} + \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 8}$

Etapa 7.3.2.2

Cancele o fator comum.

${(x - \frac{1}{4})}^{2} + {(y + \frac{1}{4})}^{2} = \frac{1}{8} + \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 8}$

Etapa 7.3.2.3

Reescreva a expressão.

${(x - \frac{1}{4})}^{2} + {(y + \frac{1}{4})}^{2} = \frac{1}{8} + \frac{1}{8}$

Etapa 7.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

${(x - \frac{1}{4})}^{2} + {(y + \frac{1}{4})}^{2} = \frac{1 + 1}{8}$

Etapa 7.5

Some $1$ e $1$ .

${(x - \frac{1}{4})}^{2} + {(y + \frac{1}{4})}^{2} = \frac{2}{8}$

Etapa 7.6

Cancele o fator comum de $2$ e $8$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.6.1

Fatore $2$ de $2$ .

${(x - \frac{1}{4})}^{2} + {(y + \frac{1}{4})}^{2} = \frac{2 (1)}{8}$

Etapa 7.6.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.6.2.1

Fatore $2$ de $8$ .

${(x - \frac{1}{4})}^{2} + {(y + \frac{1}{4})}^{2} = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 4}$

Etapa 7.6.2.2

Cancele o fator comum.

${(x - \frac{1}{4})}^{2} + {(y + \frac{1}{4})}^{2} = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 4}$

Etapa 7.6.2.3

Reescreva a expressão.

${(x - \frac{1}{4})}^{2} + {(y + \frac{1}{4})}^{2} = \frac{1}{4}$