Pré-cálculo Exemplos

${(x + 3 y)}^{4}$

Etapa 1

O triângulo de Pascal pode ser exibido assim:

$1$

$1 - 1$

$1 - 2 - 1$

$1 - 3 - 3 - 1$

$1 - 4 - 6 - 4 - 1$

O triângulo pode ser usado para calcular os coeficientes da expansão de ${(a + b)}^{n}$ , usando o expoente $n$ e somando $1$ . Os coeficientes corresponderão à linha $n + 1$ do triângulo. Para ${(x + 3 y)}^{4}$ , $n = 4$ , de forma que os coeficientes da expansão corresponderão à linha $5$ .

Etapa 2

A expansão segue a regra ${(a + b)}^{n} = c_{0} a^{n} b^{0} + c_{1} a^{n - 1} b^{1} + c_{n - 1} a^{1} b^{n - 1} + c_{n} a^{0} b^{n}$ . Os valores dos coeficientes, do triângulo, são $1 - 4 - 6 - 4 - 1$ .

$1 a^{4} b^{0} + 4 a^{3} b + 6 a^{2} b^{2} + 4 a b^{3} + 1 a^{0} b^{4}$

Etapa 3

Substitua os valores reais de $a$ $x$ e $b$ $3 y$ na expressão.

$1 {(x)}^{4} {(3 y)}^{0} + 4 {(x)}^{3} {(3 y)}^{1} + 6 {(x)}^{2} {(3 y)}^{2} + 4 {(x)}^{1} {(3 y)}^{3} + 1 {(x)}^{0} {(3 y)}^{4}$

Etapa 4

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.1

Multiplique ${(x)}^{4}$ por $1$ .

${(x)}^{4} {(3 y)}^{0} + 4 {(x)}^{3} {(3 y)}^{1} + 6 {(x)}^{2} {(3 y)}^{2} + 4 {(x)}^{1} {(3 y)}^{3} + 1 {(x)}^{0} {(3 y)}^{4}$

Etapa 4.2

Aplique a regra do produto a $3 y$ .

$x^{4} (3^{0} y^{0}) + 4 {(x)}^{3} {(3 y)}^{1} + 6 {(x)}^{2} {(3 y)}^{2} + 4 {(x)}^{1} {(3 y)}^{3} + 1 {(x)}^{0} {(3 y)}^{4}$

Etapa 4.3

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$3^{0} x^{4} y^{0} + 4 {(x)}^{3} {(3 y)}^{1} + 6 {(x)}^{2} {(3 y)}^{2} + 4 {(x)}^{1} {(3 y)}^{3} + 1 {(x)}^{0} {(3 y)}^{4}$

Etapa 4.4

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$1 x^{4} y^{0} + 4 {(x)}^{3} {(3 y)}^{1} + 6 {(x)}^{2} {(3 y)}^{2} + 4 {(x)}^{1} {(3 y)}^{3} + 1 {(x)}^{0} {(3 y)}^{4}$

Etapa 4.5

Multiplique $x^{4}$ por $1$ .

$x^{4} y^{0} + 4 {(x)}^{3} {(3 y)}^{1} + 6 {(x)}^{2} {(3 y)}^{2} + 4 {(x)}^{1} {(3 y)}^{3} + 1 {(x)}^{0} {(3 y)}^{4}$

Etapa 4.6

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$x^{4} \cdot 1 + 4 {(x)}^{3} {(3 y)}^{1} + 6 {(x)}^{2} {(3 y)}^{2} + 4 {(x)}^{1} {(3 y)}^{3} + 1 {(x)}^{0} {(3 y)}^{4}$

Etapa 4.7

Multiplique $x^{4}$ por $1$ .

$x^{4} + 4 {(x)}^{3} {(3 y)}^{1} + 6 {(x)}^{2} {(3 y)}^{2} + 4 {(x)}^{1} {(3 y)}^{3} + 1 {(x)}^{0} {(3 y)}^{4}$

Etapa 4.8

Simplifique.

$x^{4} + 4 x^{3} (3 y) + 6 {(x)}^{2} {(3 y)}^{2} + 4 {(x)}^{1} {(3 y)}^{3} + 1 {(x)}^{0} {(3 y)}^{4}$

Etapa 4.9

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$x^{4} + 4 \cdot 3 x^{3} y + 6 {(x)}^{2} {(3 y)}^{2} + 4 {(x)}^{1} {(3 y)}^{3} + 1 {(x)}^{0} {(3 y)}^{4}$

Etapa 4.10

Multiplique $4$ por $3$ .

$x^{4} + 12 x^{3} y + 6 {(x)}^{2} {(3 y)}^{2} + 4 {(x)}^{1} {(3 y)}^{3} + 1 {(x)}^{0} {(3 y)}^{4}$

Etapa 4.11

Aplique a regra do produto a $3 y$ .

$x^{4} + 12 x^{3} y + 6 x^{2} (3^{2} y^{2}) + 4 {(x)}^{1} {(3 y)}^{3} + 1 {(x)}^{0} {(3 y)}^{4}$

Etapa 4.12

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$x^{4} + 12 x^{3} y + 6 \cdot 3^{2} x^{2} y^{2} + 4 {(x)}^{1} {(3 y)}^{3} + 1 {(x)}^{0} {(3 y)}^{4}$

Etapa 4.13

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$x^{4} + 12 x^{3} y + 6 \cdot 9 x^{2} y^{2} + 4 {(x)}^{1} {(3 y)}^{3} + 1 {(x)}^{0} {(3 y)}^{4}$

Etapa 4.14

Multiplique $6$ por $9$ .

$x^{4} + 12 x^{3} y + 54 x^{2} y^{2} + 4 {(x)}^{1} {(3 y)}^{3} + 1 {(x)}^{0} {(3 y)}^{4}$

Etapa 4.15

Simplifique.

$x^{4} + 12 x^{3} y + 54 x^{2} y^{2} + 4 x {(3 y)}^{3} + 1 {(x)}^{0} {(3 y)}^{4}$

Etapa 4.16

Aplique a regra do produto a $3 y$ .

$x^{4} + 12 x^{3} y + 54 x^{2} y^{2} + 4 x (3^{3} y^{3}) + 1 {(x)}^{0} {(3 y)}^{4}$

Etapa 4.17

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$x^{4} + 12 x^{3} y + 54 x^{2} y^{2} + 4 \cdot 3^{3} x y^{3} + 1 {(x)}^{0} {(3 y)}^{4}$

Etapa 4.18

Eleve $3$ à potência de $3$ .

$x^{4} + 12 x^{3} y + 54 x^{2} y^{2} + 4 \cdot 27 x y^{3} + 1 {(x)}^{0} {(3 y)}^{4}$

Etapa 4.19

Multiplique $4$ por $27$ .

$x^{4} + 12 x^{3} y + 54 x^{2} y^{2} + 108 x y^{3} + 1 {(x)}^{0} {(3 y)}^{4}$

Etapa 4.20

Multiplique ${(x)}^{0}$ por $1$ .

$x^{4} + 12 x^{3} y + 54 x^{2} y^{2} + 108 x y^{3} + {(x)}^{0} {(3 y)}^{4}$

Etapa 4.21

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$x^{4} + 12 x^{3} y + 54 x^{2} y^{2} + 108 x y^{3} + 1 {(3 y)}^{4}$

Etapa 4.22

Multiplique ${(3 y)}^{4}$ por $1$ .

$x^{4} + 12 x^{3} y + 54 x^{2} y^{2} + 108 x y^{3} + {(3 y)}^{4}$

Etapa 4.23

Aplique a regra do produto a $3 y$ .

$x^{4} + 12 x^{3} y + 54 x^{2} y^{2} + 108 x y^{3} + 3^{4} y^{4}$

Etapa 4.24

Eleve $3$ à potência de $4$ .

$x^{4} + 12 x^{3} y + 54 x^{2} y^{2} + 108 x y^{3} + 81 y^{4}$