Pré-cálculo Exemplos

${(2 x + 5 y)}^{5}$

Etapa 1

O triângulo de Pascal pode ser exibido assim:

$1$

$1 - 1$

$1 - 2 - 1$

$1 - 3 - 3 - 1$

$1 - 4 - 6 - 4 - 1$

$1 - 5 - 10 - 10 - 5 - 1$

O triângulo pode ser usado para calcular os coeficientes da expansão de ${(a + b)}^{n}$ , usando o expoente $n$ e somando $1$ . Os coeficientes corresponderão à linha $n + 1$ do triângulo. Para ${(2 x + 5 y)}^{5}$ , $n = 5$ , de forma que os coeficientes da expansão corresponderão à linha $6$ .

Etapa 2

A expansão segue a regra ${(a + b)}^{n} = c_{0} a^{n} b^{0} + c_{1} a^{n - 1} b^{1} + c_{n - 1} a^{1} b^{n - 1} + c_{n} a^{0} b^{n}$ . Os valores dos coeficientes, do triângulo, são $1 - 5 - 10 - 10 - 5 - 1$ .

$1 a^{5} b^{0} + 5 a^{4} b + 10 a^{3} b^{2} + 10 a^{2} b^{3} + 5 a b^{4} + 1 a^{0} b^{5}$

Etapa 3

Substitua os valores reais de $a$ $2 x$ e $b$ $5 y$ na expressão.

$1 {(2 x)}^{5} {(5 y)}^{0} + 5 {(2 x)}^{4} {(5 y)}^{1} + 10 {(2 x)}^{3} {(5 y)}^{2} + 10 {(2 x)}^{2} {(5 y)}^{3} + 5 {(2 x)}^{1} {(5 y)}^{4} + 1 {(2 x)}^{0} {(5 y)}^{5}$

Etapa 4

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.1

Multiplique ${(2 x)}^{5}$ por $1$ .

${(2 x)}^{5} {(5 y)}^{0} + 5 {(2 x)}^{4} {(5 y)}^{1} + 10 {(2 x)}^{3} {(5 y)}^{2} + 10 {(2 x)}^{2} {(5 y)}^{3} + 5 {(2 x)}^{1} {(5 y)}^{4} + 1 {(2 x)}^{0} {(5 y)}^{5}$

Etapa 4.2

Aplique a regra do produto a $2 x$ .

$2^{5} x^{5} {(5 y)}^{0} + 5 {(2 x)}^{4} {(5 y)}^{1} + 10 {(2 x)}^{3} {(5 y)}^{2} + 10 {(2 x)}^{2} {(5 y)}^{3} + 5 {(2 x)}^{1} {(5 y)}^{4} + 1 {(2 x)}^{0} {(5 y)}^{5}$

Etapa 4.3

Eleve $2$ à potência de $5$ .

$32 x^{5} {(5 y)}^{0} + 5 {(2 x)}^{4} {(5 y)}^{1} + 10 {(2 x)}^{3} {(5 y)}^{2} + 10 {(2 x)}^{2} {(5 y)}^{3} + 5 {(2 x)}^{1} {(5 y)}^{4} + 1 {(2 x)}^{0} {(5 y)}^{5}$

Etapa 4.4

Aplique a regra do produto a $5 y$ .

$32 x^{5} (5^{0} y^{0}) + 5 {(2 x)}^{4} {(5 y)}^{1} + 10 {(2 x)}^{3} {(5 y)}^{2} + 10 {(2 x)}^{2} {(5 y)}^{3} + 5 {(2 x)}^{1} {(5 y)}^{4} + 1 {(2 x)}^{0} {(5 y)}^{5}$

Etapa 4.5

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$32 \cdot 5^{0} x^{5} y^{0} + 5 {(2 x)}^{4} {(5 y)}^{1} + 10 {(2 x)}^{3} {(5 y)}^{2} + 10 {(2 x)}^{2} {(5 y)}^{3} + 5 {(2 x)}^{1} {(5 y)}^{4} + 1 {(2 x)}^{0} {(5 y)}^{5}$

Etapa 4.6

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$32 \cdot 1 x^{5} y^{0} + 5 {(2 x)}^{4} {(5 y)}^{1} + 10 {(2 x)}^{3} {(5 y)}^{2} + 10 {(2 x)}^{2} {(5 y)}^{3} + 5 {(2 x)}^{1} {(5 y)}^{4} + 1 {(2 x)}^{0} {(5 y)}^{5}$

Etapa 4.7

Multiplique $32$ por $1$ .

$32 x^{5} y^{0} + 5 {(2 x)}^{4} {(5 y)}^{1} + 10 {(2 x)}^{3} {(5 y)}^{2} + 10 {(2 x)}^{2} {(5 y)}^{3} + 5 {(2 x)}^{1} {(5 y)}^{4} + 1 {(2 x)}^{0} {(5 y)}^{5}$

Etapa 4.8

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$32 x^{5} \cdot 1 + 5 {(2 x)}^{4} {(5 y)}^{1} + 10 {(2 x)}^{3} {(5 y)}^{2} + 10 {(2 x)}^{2} {(5 y)}^{3} + 5 {(2 x)}^{1} {(5 y)}^{4} + 1 {(2 x)}^{0} {(5 y)}^{5}$

Etapa 4.9

Multiplique $32$ por $1$ .

$32 x^{5} + 5 {(2 x)}^{4} {(5 y)}^{1} + 10 {(2 x)}^{3} {(5 y)}^{2} + 10 {(2 x)}^{2} {(5 y)}^{3} + 5 {(2 x)}^{1} {(5 y)}^{4} + 1 {(2 x)}^{0} {(5 y)}^{5}$

Etapa 4.10

Aplique a regra do produto a $2 x$ .

$32 x^{5} + 5 (2^{4} x^{4}) {(5 y)}^{1} + 10 {(2 x)}^{3} {(5 y)}^{2} + 10 {(2 x)}^{2} {(5 y)}^{3} + 5 {(2 x)}^{1} {(5 y)}^{4} + 1 {(2 x)}^{0} {(5 y)}^{5}$

Etapa 4.11

Eleve $2$ à potência de $4$ .

$32 x^{5} + 5 (16 x^{4}) {(5 y)}^{1} + 10 {(2 x)}^{3} {(5 y)}^{2} + 10 {(2 x)}^{2} {(5 y)}^{3} + 5 {(2 x)}^{1} {(5 y)}^{4} + 1 {(2 x)}^{0} {(5 y)}^{5}$

Etapa 4.12

Multiplique $16$ por $5$ .

$32 x^{5} + 80 x^{4} {(5 y)}^{1} + 10 {(2 x)}^{3} {(5 y)}^{2} + 10 {(2 x)}^{2} {(5 y)}^{3} + 5 {(2 x)}^{1} {(5 y)}^{4} + 1 {(2 x)}^{0} {(5 y)}^{5}$

Etapa 4.13

Simplifique.

$32 x^{5} + 80 x^{4} (5 y) + 10 {(2 x)}^{3} {(5 y)}^{2} + 10 {(2 x)}^{2} {(5 y)}^{3} + 5 {(2 x)}^{1} {(5 y)}^{4} + 1 {(2 x)}^{0} {(5 y)}^{5}$

Etapa 4.14

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$32 x^{5} + 80 \cdot 5 x^{4} y + 10 {(2 x)}^{3} {(5 y)}^{2} + 10 {(2 x)}^{2} {(5 y)}^{3} + 5 {(2 x)}^{1} {(5 y)}^{4} + 1 {(2 x)}^{0} {(5 y)}^{5}$

Etapa 4.15

Multiplique $80$ por $5$ .

$32 x^{5} + 400 x^{4} y + 10 {(2 x)}^{3} {(5 y)}^{2} + 10 {(2 x)}^{2} {(5 y)}^{3} + 5 {(2 x)}^{1} {(5 y)}^{4} + 1 {(2 x)}^{0} {(5 y)}^{5}$

Etapa 4.16

Aplique a regra do produto a $2 x$ .

$32 x^{5} + 400 x^{4} y + 10 (2^{3} x^{3}) {(5 y)}^{2} + 10 {(2 x)}^{2} {(5 y)}^{3} + 5 {(2 x)}^{1} {(5 y)}^{4} + 1 {(2 x)}^{0} {(5 y)}^{5}$

Etapa 4.17

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$32 x^{5} + 400 x^{4} y + 10 (8 x^{3}) {(5 y)}^{2} + 10 {(2 x)}^{2} {(5 y)}^{3} + 5 {(2 x)}^{1} {(5 y)}^{4} + 1 {(2 x)}^{0} {(5 y)}^{5}$

Etapa 4.18

Multiplique $8$ por $10$ .

$32 x^{5} + 400 x^{4} y + 80 x^{3} {(5 y)}^{2} + 10 {(2 x)}^{2} {(5 y)}^{3} + 5 {(2 x)}^{1} {(5 y)}^{4} + 1 {(2 x)}^{0} {(5 y)}^{5}$

Etapa 4.19

Aplique a regra do produto a $5 y$ .

$32 x^{5} + 400 x^{4} y + 80 x^{3} (5^{2} y^{2}) + 10 {(2 x)}^{2} {(5 y)}^{3} + 5 {(2 x)}^{1} {(5 y)}^{4} + 1 {(2 x)}^{0} {(5 y)}^{5}$

Etapa 4.20

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$32 x^{5} + 400 x^{4} y + 80 \cdot 5^{2} x^{3} y^{2} + 10 {(2 x)}^{2} {(5 y)}^{3} + 5 {(2 x)}^{1} {(5 y)}^{4} + 1 {(2 x)}^{0} {(5 y)}^{5}$

Etapa 4.21

Eleve $5$ à potência de $2$ .

$32 x^{5} + 400 x^{4} y + 80 \cdot 25 x^{3} y^{2} + 10 {(2 x)}^{2} {(5 y)}^{3} + 5 {(2 x)}^{1} {(5 y)}^{4} + 1 {(2 x)}^{0} {(5 y)}^{5}$

Etapa 4.22

Multiplique $80$ por $25$ .

$32 x^{5} + 400 x^{4} y + 2000 x^{3} y^{2} + 10 {(2 x)}^{2} {(5 y)}^{3} + 5 {(2 x)}^{1} {(5 y)}^{4} + 1 {(2 x)}^{0} {(5 y)}^{5}$

Etapa 4.23

Aplique a regra do produto a $2 x$ .

$32 x^{5} + 400 x^{4} y + 2000 x^{3} y^{2} + 10 (2^{2} x^{2}) {(5 y)}^{3} + 5 {(2 x)}^{1} {(5 y)}^{4} + 1 {(2 x)}^{0} {(5 y)}^{5}$

Etapa 4.24

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$32 x^{5} + 400 x^{4} y + 2000 x^{3} y^{2} + 10 (4 x^{2}) {(5 y)}^{3} + 5 {(2 x)}^{1} {(5 y)}^{4} + 1 {(2 x)}^{0} {(5 y)}^{5}$

Etapa 4.25

Multiplique $4$ por $10$ .

$32 x^{5} + 400 x^{4} y + 2000 x^{3} y^{2} + 40 x^{2} {(5 y)}^{3} + 5 {(2 x)}^{1} {(5 y)}^{4} + 1 {(2 x)}^{0} {(5 y)}^{5}$

Etapa 4.26

Aplique a regra do produto a $5 y$ .

$32 x^{5} + 400 x^{4} y + 2000 x^{3} y^{2} + 40 x^{2} (5^{3} y^{3}) + 5 {(2 x)}^{1} {(5 y)}^{4} + 1 {(2 x)}^{0} {(5 y)}^{5}$

Etapa 4.27

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$32 x^{5} + 400 x^{4} y + 2000 x^{3} y^{2} + 40 \cdot 5^{3} x^{2} y^{3} + 5 {(2 x)}^{1} {(5 y)}^{4} + 1 {(2 x)}^{0} {(5 y)}^{5}$

Etapa 4.28

Eleve $5$ à potência de $3$ .

$32 x^{5} + 400 x^{4} y + 2000 x^{3} y^{2} + 40 \cdot 125 x^{2} y^{3} + 5 {(2 x)}^{1} {(5 y)}^{4} + 1 {(2 x)}^{0} {(5 y)}^{5}$

Etapa 4.29

Multiplique $40$ por $125$ .

$32 x^{5} + 400 x^{4} y + 2000 x^{3} y^{2} + 5000 x^{2} y^{3} + 5 {(2 x)}^{1} {(5 y)}^{4} + 1 {(2 x)}^{0} {(5 y)}^{5}$

Etapa 4.30

Simplifique.

$32 x^{5} + 400 x^{4} y + 2000 x^{3} y^{2} + 5000 x^{2} y^{3} + 5 (2 x) {(5 y)}^{4} + 1 {(2 x)}^{0} {(5 y)}^{5}$

Etapa 4.31

Multiplique $2$ por $5$ .

$32 x^{5} + 400 x^{4} y + 2000 x^{3} y^{2} + 5000 x^{2} y^{3} + 10 x {(5 y)}^{4} + 1 {(2 x)}^{0} {(5 y)}^{5}$

Etapa 4.32

Aplique a regra do produto a $5 y$ .

$32 x^{5} + 400 x^{4} y + 2000 x^{3} y^{2} + 5000 x^{2} y^{3} + 10 x (5^{4} y^{4}) + 1 {(2 x)}^{0} {(5 y)}^{5}$

Etapa 4.33

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$32 x^{5} + 400 x^{4} y + 2000 x^{3} y^{2} + 5000 x^{2} y^{3} + 10 \cdot 5^{4} x y^{4} + 1 {(2 x)}^{0} {(5 y)}^{5}$

Etapa 4.34

Eleve $5$ à potência de $4$ .

$32 x^{5} + 400 x^{4} y + 2000 x^{3} y^{2} + 5000 x^{2} y^{3} + 10 \cdot 625 x y^{4} + 1 {(2 x)}^{0} {(5 y)}^{5}$

Etapa 4.35

Multiplique $10$ por $625$ .

$32 x^{5} + 400 x^{4} y + 2000 x^{3} y^{2} + 5000 x^{2} y^{3} + 6250 x y^{4} + 1 {(2 x)}^{0} {(5 y)}^{5}$

Etapa 4.36

Multiplique ${(2 x)}^{0}$ por $1$ .

$32 x^{5} + 400 x^{4} y + 2000 x^{3} y^{2} + 5000 x^{2} y^{3} + 6250 x y^{4} + {(2 x)}^{0} {(5 y)}^{5}$

Etapa 4.37

Aplique a regra do produto a $2 x$ .

$32 x^{5} + 400 x^{4} y + 2000 x^{3} y^{2} + 5000 x^{2} y^{3} + 6250 x y^{4} + 2^{0} x^{0} {(5 y)}^{5}$

Etapa 4.38

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$32 x^{5} + 400 x^{4} y + 2000 x^{3} y^{2} + 5000 x^{2} y^{3} + 6250 x y^{4} + 1 x^{0} {(5 y)}^{5}$

Etapa 4.39

Multiplique $x^{0}$ por $1$ .

$32 x^{5} + 400 x^{4} y + 2000 x^{3} y^{2} + 5000 x^{2} y^{3} + 6250 x y^{4} + x^{0} {(5 y)}^{5}$

Etapa 4.40

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$32 x^{5} + 400 x^{4} y + 2000 x^{3} y^{2} + 5000 x^{2} y^{3} + 6250 x y^{4} + 1 {(5 y)}^{5}$

Etapa 4.41

Multiplique ${(5 y)}^{5}$ por $1$ .

$32 x^{5} + 400 x^{4} y + 2000 x^{3} y^{2} + 5000 x^{2} y^{3} + 6250 x y^{4} + {(5 y)}^{5}$

Etapa 4.42

Aplique a regra do produto a $5 y$ .

$32 x^{5} + 400 x^{4} y + 2000 x^{3} y^{2} + 5000 x^{2} y^{3} + 6250 x y^{4} + 5^{5} y^{5}$

Etapa 4.43

Eleve $5$ à potência de $5$ .

$32 x^{5} + 400 x^{4} y + 2000 x^{3} y^{2} + 5000 x^{2} y^{3} + 6250 x y^{4} + 3125 y^{5}$