Pré-cálculo Exemplos

$\frac{x + 8}{x - 5} > 0$

Etapa 1

Encontre todos os valores em que a expressão muda de negativo para positivo, definindo cada fator igual a $0$ . Depois, resolva.

$x + 8 = 0$

$x - 5 = 0$

Etapa 2

Subtraia $8$ dos dois lados da equação.

$x = - 8$

Etapa 3

Some $5$ aos dois lados da equação.

$x = 5$

Etapa 4

Resolva cada fator para encontrar os valores em que a expressão de valor absoluto passa de negativa para positiva.

$x = - 8$

$x = 5$

Etapa 5

Consolide as soluções.

$x = - 8, 5$

Etapa 6

Encontre o domínio de $\frac{x + 8}{x - 5}$ .

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Etapa 6.1

Defina o denominador em $\frac{x + 8}{x - 5}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x - 5 = 0$

Etapa 6.2

Some $5$ aos dois lados da equação.

$x = 5$

Etapa 6.3

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

$(- \infty, 5) \cup (5, \infty)$

Etapa 7

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < - 8$

$- 8 < x < 5$

$x > 5$

Etapa 8

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

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Etapa 8.1

Teste um valor no intervalo $x < - 8$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 8.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < - 8$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 10$

Etapa 8.1.2

Substitua $x$ por $- 10$ na desigualdade original.

$\frac{(- 10) + 8}{(- 10) - 5} > 0$

Etapa 8.1.3

O lado esquerdo $0.1\overline{3}$ é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

Verdadeiro

Etapa 8.2

Teste um valor no intervalo $- 8 < x < 5$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 8.2.1

Escolha um valor no intervalo $- 8 < x < 5$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 0$

Etapa 8.2.2

Substitua $x$ por $0$ na desigualdade original.

$\frac{(0) + 8}{(0) - 5} > 0$

Etapa 8.2.3

O lado esquerdo $- 1.6$ não é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

Falso

Etapa 8.3

Teste um valor no intervalo $x > 5$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 8.3.1

Escolha um valor no intervalo $x > 5$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 8$

Etapa 8.3.2

Substitua $x$ por $8$ na desigualdade original.

$\frac{(8) + 8}{(8) - 5} > 0$

Etapa 8.3.3

O lado esquerdo $5.\overline{3}$ é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

Verdadeiro

Etapa 8.4

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < - 8$ Verdadeiro

$- 8 < x < 5$ Falso

$x > 5$ Verdadeiro

$x < - 8$ Verdadeiro

$- 8 < x < 5$ Falso

$x > 5$ Verdadeiro

Etapa 9

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$x < - 8$ ou $x > 5$

Etapa 10

Converta a desigualdade em notação de intervalo.

$(- \infty, - 8) \cup (5, \infty)$

Etapa 11