Pré-cálculo Exemplos

$\frac{x - 4}{x + 11} \geq \frac{1}{x - 1}$

Etapa 1

Subtraia $\frac{1}{x - 1}$ dos dois lados da desigualdade.

$\frac{x - 4}{x + 11} - \frac{1}{x - 1} \geq 0$

Etapa 2

Simplifique $\frac{x - 4}{x + 11} - \frac{1}{x - 1}$ .

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Etapa 2.1

Para escrever $\frac{x - 4}{x + 11}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{x - 4}{x + 11} \cdot \frac{x - 1}{x - 1} - \frac{1}{x - 1} \geq 0$

Etapa 2.2

Para escrever $- \frac{1}{x - 1}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x + 11}{x + 11}$ .

$\frac{x - 4}{x + 11} \cdot \frac{x - 1}{x - 1} - \frac{1}{x - 1} \cdot \frac{x + 11}{x + 11} \geq 0$

Etapa 2.3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $(x + 11) (x - 1)$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 2.3.1

Multiplique $\frac{x - 4}{x + 11}$ por $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{(x - 4) (x - 1)}{(x + 11) (x - 1)} - \frac{1}{x - 1} \cdot \frac{x + 11}{x + 11} \geq 0$

Etapa 2.3.2

Multiplique $\frac{1}{x - 1}$ por $\frac{x + 11}{x + 11}$ .

$\frac{(x - 4) (x - 1)}{(x + 11) (x - 1)} - \frac{x + 11}{(x - 1) (x + 11)} \geq 0$

Etapa 2.3.3

Reordene os fatores de $(x - 1) (x + 11)$ .

$\frac{(x - 4) (x - 1)}{(x + 11) (x - 1)} - \frac{x + 11}{(x + 11) (x - 1)} \geq 0$

Etapa 2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{(x - 4) (x - 1) - (x + 11)}{(x + 11) (x - 1)} \geq 0$

Etapa 2.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.5.1

Expanda $(x - 4) (x - 1)$ usando o método FOIL.

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Etapa 2.5.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x (x - 1) - 4 (x - 1) - (x + 11)}{(x + 11) (x - 1)} \geq 0$

Etapa 2.5.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 1 - 4 (x - 1) - (x + 11)}{(x + 11) (x - 1)} \geq 0$

Etapa 2.5.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 1 - 4 x - 4 \cdot - 1 - (x + 11)}{(x + 11) (x - 1)} \geq 0$

Etapa 2.5.2

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 2.5.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.5.2.1.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{x^{2} + x \cdot - 1 - 4 x - 4 \cdot - 1 - (x + 11)}{(x + 11) (x - 1)} \geq 0$

Etapa 2.5.2.1.2

Mova $- 1$ para a esquerda de $x$ .

$\frac{x^{2} - 1 \cdot x - 4 x - 4 \cdot - 1 - (x + 11)}{(x + 11) (x - 1)} \geq 0$

Etapa 2.5.2.1.3

Reescreva $- 1 x$ como $- x$ .

$\frac{x^{2} - x - 4 x - 4 \cdot - 1 - (x + 11)}{(x + 11) (x - 1)} \geq 0$

Etapa 2.5.2.1.4

Multiplique $- 4$ por $- 1$ .

$\frac{x^{2} - x - 4 x + 4 - (x + 11)}{(x + 11) (x - 1)} \geq 0$

Etapa 2.5.2.2

Subtraia $4 x$ de $- x$ .

$\frac{x^{2} - 5 x + 4 - (x + 11)}{(x + 11) (x - 1)} \geq 0$

Etapa 2.5.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x^{2} - 5 x + 4 - x - 1 \cdot 11}{(x + 11) (x - 1)} \geq 0$

Etapa 2.5.4

Multiplique $- 1$ por $11$ .

$\frac{x^{2} - 5 x + 4 - x - 11}{(x + 11) (x - 1)} \geq 0$

Etapa 2.5.5

Subtraia $x$ de $- 5 x$ .

$\frac{x^{2} - 6 x + 4 - 11}{(x + 11) (x - 1)} \geq 0$

Etapa 2.5.6

Subtraia $11$ de $4$ .

$\frac{x^{2} - 6 x - 7}{(x + 11) (x - 1)} \geq 0$

Etapa 2.5.7

Fatore $x^{2} - 6 x - 7$ usando o método AC.

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Etapa 2.5.7.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 7$ e cuja soma é $- 6$ .

$- 7, 1$

Etapa 2.5.7.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$\frac{(x - 7) (x + 1)}{(x + 11) (x - 1)} \geq 0$

Etapa 3

Encontre todos os valores em que a expressão muda de negativo para positivo, definindo cada fator igual a $0$ . Depois, resolva.

$x - 7 = 0$

$x + 1 = 0$

$x + 11 = 0$

$x - 1 = 0$

Etapa 4

Some $7$ aos dois lados da equação.

$x = 7$

Etapa 5

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$x = - 1$

Etapa 6

Subtraia $11$ dos dois lados da equação.

$x = - 11$

Etapa 7

Some $1$ aos dois lados da equação.

$x = 1$

Etapa 8

Resolva cada fator para encontrar os valores em que a expressão de valor absoluto passa de negativa para positiva.

$x = 7$

$x = - 1$

$x = - 11$

$x = 1$

Etapa 9

Consolide as soluções.

$x = 7, - 1, - 11, 1$

Etapa 10

Encontre o domínio de $\frac{(x - 7) (x + 1)}{(x + 11) (x - 1)}$ .

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Etapa 10.1

Defina o denominador em $\frac{(x - 7) (x + 1)}{(x + 11) (x - 1)}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$(x + 11) (x - 1) = 0$

Etapa 10.2

Resolva $x$ .

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Etapa 10.2.1

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x + 11 = 0$

$x - 1 = 0$

Etapa 10.2.2

Defina $x + 11$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 10.2.2.1

Defina $x + 11$ como igual a $0$ .

$x + 11 = 0$

Etapa 10.2.2.2

Subtraia $11$ dos dois lados da equação.

$x = - 11$

Etapa 10.2.3

Defina $x - 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 10.2.3.1

Defina $x - 1$ como igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

Etapa 10.2.3.2

Some $1$ aos dois lados da equação.

$x = 1$

Etapa 10.2.4

A solução final são todos os valores que tornam $(x + 11) (x - 1) = 0$ verdadeiro.

$x = - 11, 1$

Etapa 10.3

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

$(- \infty, - 11) \cup (- 11, 1) \cup (1, \infty)$

Etapa 11

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < - 11$

$- 11 < x < - 1$

$- 1 < x < 1$

$1 < x < 7$

$x > 7$

Etapa 12

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

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Etapa 12.1

Teste um valor no intervalo $x < - 11$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 12.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < - 11$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 14$

Etapa 12.1.2

Substitua $x$ por $- 14$ na desigualdade original.

$\frac{(- 14) - 4}{(- 14) + 11} \geq \frac{1}{(- 14) - 1}$

Etapa 12.1.3

O lado esquerdo $6$ é maior do que o lado direito $- 0.0\overline{6}$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 12.2

Teste um valor no intervalo $- 11 < x < - 1$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 12.2.1

Escolha um valor no intervalo $- 11 < x < - 1$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 6$

Etapa 12.2.2

Substitua $x$ por $- 6$ na desigualdade original.

$\frac{(- 6) - 4}{(- 6) + 11} \geq \frac{1}{(- 6) - 1}$

Etapa 12.2.3

O lado esquerdo $- 2$ é menor do que o lado direito $- 0.\overline{142857}$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 12.3

Teste um valor no intervalo $- 1 < x < 1$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 12.3.1

Escolha um valor no intervalo $- 1 < x < 1$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 0$

Etapa 12.3.2

Substitua $x$ por $0$ na desigualdade original.

$\frac{(0) - 4}{(0) + 11} \geq \frac{1}{(0) - 1}$

Etapa 12.3.3

O lado esquerdo $- 0.\overline{36}$ é maior do que o lado direito $- 1$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 12.4

Teste um valor no intervalo $1 < x < 7$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 12.4.1

Escolha um valor no intervalo $1 < x < 7$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 4$

Etapa 12.4.2

Substitua $x$ por $4$ na desigualdade original.

$\frac{(4) - 4}{(4) + 11} \geq \frac{1}{(4) - 1}$

Etapa 12.4.3

O lado esquerdo $0$ é menor do que o lado direito $0.\overline{3}$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 12.5

Teste um valor no intervalo $x > 7$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 12.5.1

Escolha um valor no intervalo $x > 7$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 10$

Etapa 12.5.2

Substitua $x$ por $10$ na desigualdade original.

$\frac{(10) - 4}{(10) + 11} \geq \frac{1}{(10) - 1}$

Etapa 12.5.3

O lado esquerdo $0.\overline{285714}$ é maior do que o lado direito $0.\overline{1}$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 12.6

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < - 11$ Verdadeiro

$- 11 < x < - 1$ Falso

$- 1 < x < 1$ Verdadeiro

$1 < x < 7$ Falso

$x > 7$ Verdadeiro

$x < - 11$ Verdadeiro

$- 11 < x < - 1$ Falso

$- 1 < x < 1$ Verdadeiro

$1 < x < 7$ Falso

$x > 7$ Verdadeiro

Etapa 13

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$x < - 11$ ou $- 1 \leq x < 1$ ou $x \geq 7$

Etapa 14

Converta a desigualdade em notação de intervalo.

$(- \infty, - 11) \cup [- 1, 1) \cup [7, \infty)$

Etapa 15