Pré-cálculo Exemplos

$2 x^{3} - 50 x < x^{2} - 25$

Etapa 1

Subtraia $x^{2}$ dos dois lados da desigualdade.

$2 x^{3} - 50 x - x^{2} < - 25$

Etapa 2

Converta a desigualdade em uma equação.

$2 x^{3} - 50 x - x^{2} = - 25$

Etapa 3

Some $25$ aos dois lados da equação.

$2 x^{3} - 50 x - x^{2} + 25 = 0$

Etapa 4

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 4.1

Reordene os termos.

$2 x^{3} - x^{2} - 50 x + 25 = 0$

Etapa 4.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 4.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$(2 x^{3} - x^{2}) - 50 x + 25 = 0$

Etapa 4.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$x^{2} (2 x - 1) - 25 (2 x - 1) = 0$

Etapa 4.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $2 x - 1$ .

$(2 x - 1) (x^{2} - 25) = 0$

Etapa 4.4

Reescreva $25$ como $5^{2}$ .

$(2 x - 1) (x^{2} - 5^{2}) = 0$

Etapa 4.5

Fatore.

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Etapa 4.5.1

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 5$ .

$(2 x - 1) ((x + 5) (x - 5)) = 0$

Etapa 4.5.2

Remova os parênteses desnecessários.

$(2 x - 1) (x + 5) (x - 5) = 0$

Etapa 5

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$2 x - 1 = 0$

$x + 5 = 0$

$x - 5 = 0$

Etapa 6

Defina $2 x - 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 6.1

Defina $2 x - 1$ como igual a $0$ .

$2 x - 1 = 0$

Etapa 6.2

Resolva $2 x - 1 = 0$ para $x$ .

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Etapa 6.2.1

Some $1$ aos dois lados da equação.

$2 x = 1$

Etapa 6.2.2

Divida cada termo em $2 x = 1$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 6.2.2.1

Divida cada termo em $2 x = 1$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Etapa 6.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 6.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 6.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Etapa 6.2.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Etapa 7

Defina $x + 5$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 7.1

Defina $x + 5$ como igual a $0$ .

$x + 5 = 0$

Etapa 7.2

Subtraia $5$ dos dois lados da equação.

$x = - 5$

Etapa 8

Defina $x - 5$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 8.1

Defina $x - 5$ como igual a $0$ .

$x - 5 = 0$

Etapa 8.2

Some $5$ aos dois lados da equação.

$x = 5$

Etapa 9

A solução final são todos os valores que tornam $(2 x - 1) (x + 5) (x - 5) = 0$ verdadeiro.

$x = \frac{1}{2}, - 5, 5$

Etapa 10

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < - 5$

$- 5 < x < \frac{1}{2}$

$\frac{1}{2} < x < 5$

$x > 5$

Etapa 11

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

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Etapa 11.1

Teste um valor no intervalo $x < - 5$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 11.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < - 5$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 8$

Etapa 11.1.2

Substitua $x$ por $- 8$ na desigualdade original.

$2 {(- 8)}^{3} - 50 \cdot - 8 < {(- 8)}^{2} - 25$

Etapa 11.1.3

O lado esquerdo $- 624$ é menor do que o lado direito $39$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

Verdadeiro

Etapa 11.2

Teste um valor no intervalo $- 5 < x < \frac{1}{2}$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 11.2.1

Escolha um valor no intervalo $- 5 < x < \frac{1}{2}$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 0$

Etapa 11.2.2

Substitua $x$ por $0$ na desigualdade original.

$2 {(0)}^{3} - 50 \cdot 0 < {(0)}^{2} - 25$

Etapa 11.2.3

O lado esquerdo $0$ não é menor do que o lado direito $- 25$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

Falso

Etapa 11.3

Teste um valor no intervalo $\frac{1}{2} < x < 5$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 11.3.1

Escolha um valor no intervalo $\frac{1}{2} < x < 5$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 3$

Etapa 11.3.2

Substitua $x$ por $3$ na desigualdade original.

$2 {(3)}^{3} - 50 \cdot 3 < {(3)}^{2} - 25$

Etapa 11.3.3

O lado esquerdo $- 96$ é menor do que o lado direito $- 16$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

Verdadeiro

Etapa 11.4

Teste um valor no intervalo $x > 5$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 11.4.1

Escolha um valor no intervalo $x > 5$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 8$

Etapa 11.4.2

Substitua $x$ por $8$ na desigualdade original.

$2 {(8)}^{3} - 50 \cdot 8 < {(8)}^{2} - 25$

Etapa 11.4.3

O lado esquerdo $624$ não é menor do que o lado direito $39$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

Falso

Etapa 11.5

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < - 5$ Verdadeiro

$- 5 < x < \frac{1}{2}$ Falso

$\frac{1}{2} < x < 5$ Verdadeiro

$x > 5$ Falso

$x < - 5$ Verdadeiro

$- 5 < x < \frac{1}{2}$ Falso

$\frac{1}{2} < x < 5$ Verdadeiro

$x > 5$ Falso

Etapa 12

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$x < - 5$ ou $\frac{1}{2} < x < 5$

Etapa 13

Converta a desigualdade em notação de intervalo.

$(- \infty, - 5) \cup (\frac{1}{2}, 5)$

Etapa 14