Pré-cálculo Exemplos

$2 x^{2} < 13 x + 7$

Etapa 1

Subtraia $13 x$ dos dois lados da desigualdade.

$2 x^{2} - 13 x < 7$

Etapa 2

Converta a desigualdade em uma equação.

$2 x^{2} - 13 x = 7$

Etapa 3

Subtraia $7$ dos dois lados da equação.

$2 x^{2} - 13 x - 7 = 0$

Etapa 4

Fatore por agrupamento.

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Etapa 4.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 2 \cdot - 7 = - 14$ e cuja soma é $b = - 13$ .

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Etapa 4.1.1

Fatore $- 13$ de $- 13 x$ .

$2 x^{2} - 13 x - 7 = 0$

Etapa 4.1.2

Reescreva $- 13$ como $1$ mais $- 14$

$2 x^{2} + (1 - 14) x - 7 = 0$

Etapa 4.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$2 x^{2} + 1 x - 14 x - 7 = 0$

Etapa 4.1.4

Multiplique $x$ por $1$ .

$2 x^{2} + x - 14 x - 7 = 0$

Etapa 4.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 4.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$(2 x^{2} + x) - 14 x - 7 = 0$

Etapa 4.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$x (2 x + 1) - 7 (2 x + 1) = 0$

Etapa 4.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $2 x + 1$ .

$(2 x + 1) (x - 7) = 0$

Etapa 5

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$2 x + 1 = 0$

$x - 7 = 0$

Etapa 6

Defina $2 x + 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 6.1

Defina $2 x + 1$ como igual a $0$ .

$2 x + 1 = 0$

Etapa 6.2

Resolva $2 x + 1 = 0$ para $x$ .

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Etapa 6.2.1

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$2 x = - 1$

Etapa 6.2.2

Divida cada termo em $2 x = - 1$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 6.2.2.1

Divida cada termo em $2 x = - 1$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Etapa 6.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 6.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 6.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Etapa 6.2.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 1}{2}$

Etapa 6.2.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 6.2.2.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x = - \frac{1}{2}$

Etapa 7

Defina $x - 7$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 7.1

Defina $x - 7$ como igual a $0$ .

$x - 7 = 0$

Etapa 7.2

Some $7$ aos dois lados da equação.

$x = 7$

Etapa 8

A solução final são todos os valores que tornam $(2 x + 1) (x - 7) = 0$ verdadeiro.

$x = - \frac{1}{2}, 7$

Etapa 9

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < - \frac{1}{2}$

$- \frac{1}{2} < x < 7$

$x > 7$

Etapa 10

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

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Etapa 10.1

Teste um valor no intervalo $x < - \frac{1}{2}$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 10.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < - \frac{1}{2}$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 3$

Etapa 10.1.2

Substitua $x$ por $- 3$ na desigualdade original.

$2 {(- 3)}^{2} < 13 (- 3) + 7$

Etapa 10.1.3

O lado esquerdo $18$ não é menor do que o lado direito $- 32$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

Falso

Etapa 10.2

Teste um valor no intervalo $- \frac{1}{2} < x < 7$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 10.2.1

Escolha um valor no intervalo $- \frac{1}{2} < x < 7$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 0$

Etapa 10.2.2

Substitua $x$ por $0$ na desigualdade original.

$2 {(0)}^{2} < 13 (0) + 7$

Etapa 10.2.3

O lado esquerdo $0$ é menor do que o lado direito $7$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

Verdadeiro

Etapa 10.3

Teste um valor no intervalo $x > 7$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 10.3.1

Escolha um valor no intervalo $x > 7$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 10$

Etapa 10.3.2

Substitua $x$ por $10$ na desigualdade original.

$2 {(10)}^{2} < 13 (10) + 7$

Etapa 10.3.3

O lado esquerdo $200$ não é menor do que o lado direito $137$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

Falso

Etapa 10.4

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < - \frac{1}{2}$ Falso

$- \frac{1}{2} < x < 7$ Verdadeiro

$x > 7$ Falso

$x < - \frac{1}{2}$ Falso

$- \frac{1}{2} < x < 7$ Verdadeiro

$x > 7$ Falso

Etapa 11

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$- \frac{1}{2} < x < 7$

Etapa 12

Converta a desigualdade em notação de intervalo.

$(- \frac{1}{2}, 7)$

Etapa 13