Pré-cálculo Exemplos

$x^{3} - x^{2} - 56 x < 0$

Etapa 1

Converta a desigualdade em uma equação.

$x^{3} - x^{2} - 56 x = 0$

Etapa 2

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.1

Fatore $x$ de $x^{3} - x^{2} - 56 x$ .

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Etapa 2.1.1

Fatore $x$ de $x^{3}$ .

$x \cdot x^{2} - x^{2} - 56 x = 0$

Etapa 2.1.2

Fatore $x$ de $- x^{2}$ .

$x \cdot x^{2} + x (- x) - 56 x = 0$

Etapa 2.1.3

Fatore $x$ de $- 56 x$ .

$x \cdot x^{2} + x (- x) + x \cdot - 56 = 0$

Etapa 2.1.4

Fatore $x$ de $x \cdot x^{2} + x (- x)$ .

$x (x^{2} - x) + x \cdot - 56 = 0$

Etapa 2.1.5

Fatore $x$ de $x (x^{2} - x) + x \cdot - 56$ .

$x (x^{2} - x - 56) = 0$

Etapa 2.2

Fatore.

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Etapa 2.2.1

Fatore $x^{2} - x - 56$ usando o método AC.

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Etapa 2.2.1.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 56$ e cuja soma é $- 1$ .

$- 8, 7$

Etapa 2.2.1.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$x ((x - 8) (x + 7)) = 0$

Etapa 2.2.2

Remova os parênteses desnecessários.

$x (x - 8) (x + 7) = 0$

Etapa 3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x = 0$

$x - 8 = 0$

$x + 7 = 0$

Etapa 4

Defina $x$ como igual a $0$ .

$x = 0$

Etapa 5

Defina $x - 8$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 5.1

Defina $x - 8$ como igual a $0$ .

$x - 8 = 0$

Etapa 5.2

Some $8$ aos dois lados da equação.

$x = 8$

Etapa 6

Defina $x + 7$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 6.1

Defina $x + 7$ como igual a $0$ .

$x + 7 = 0$

Etapa 6.2

Subtraia $7$ dos dois lados da equação.

$x = - 7$

Etapa 7

A solução final são todos os valores que tornam $x (x - 8) (x + 7) = 0$ verdadeiro.

$x = 0, 8, - 7$

Etapa 8

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < - 7$

$- 7 < x < 0$

$0 < x < 8$

$x > 8$

Etapa 9

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

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Etapa 9.1

Teste um valor no intervalo $x < - 7$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 9.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < - 7$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 10$

Etapa 9.1.2

Substitua $x$ por $- 10$ na desigualdade original.

${(- 10)}^{3} - {(- 10)}^{2} - 56 \cdot - 10 < 0$

Etapa 9.1.3

O lado esquerdo $- 540$ é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

Verdadeiro

Etapa 9.2

Teste um valor no intervalo $- 7 < x < 0$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 9.2.1

Escolha um valor no intervalo $- 7 < x < 0$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 4$

Etapa 9.2.2

Substitua $x$ por $- 4$ na desigualdade original.

${(- 4)}^{3} - {(- 4)}^{2} - 56 \cdot - 4 < 0$

Etapa 9.2.3

O lado esquerdo $144$ não é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

Falso

Etapa 9.3

Teste um valor no intervalo $0 < x < 8$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 9.3.1

Escolha um valor no intervalo $0 < x < 8$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 4$

Etapa 9.3.2

Substitua $x$ por $4$ na desigualdade original.

${(4)}^{3} - {(4)}^{2} - 56 \cdot 4 < 0$

Etapa 9.3.3

O lado esquerdo $- 176$ é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

Verdadeiro

Etapa 9.4

Teste um valor no intervalo $x > 8$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 9.4.1

Escolha um valor no intervalo $x > 8$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 10$

Etapa 9.4.2

Substitua $x$ por $10$ na desigualdade original.

${(10)}^{3} - {(10)}^{2} - 56 \cdot 10 < 0$

Etapa 9.4.3

O lado esquerdo $340$ não é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

Falso

Etapa 9.5

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < - 7$ Verdadeiro

$- 7 < x < 0$ Falso

$0 < x < 8$ Verdadeiro

$x > 8$ Falso

$x < - 7$ Verdadeiro

$- 7 < x < 0$ Falso

$0 < x < 8$ Verdadeiro

$x > 8$ Falso

Etapa 10

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$x < - 7$ ou $0 < x < 8$

Etapa 11

Converta a desigualdade em notação de intervalo.

$(- \infty, - 7) \cup (0, 8)$

Etapa 12