Pré-cálculo Exemplos

$- 2 x^{2} + 3 y^{2} - 8 x + 6 y - 11 = 0$

Etapa 1

Encontre a forma padrão da hipérbole.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Some $11$ aos dois lados da equação.

$- 2 x^{2} + 3 y^{2} - 8 x + 6 y = 11$

Etapa 1.2

Complete o quadrado de $- 2 x^{2} - 8 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Use a forma $a x^{2} + b x + c$ para encontrar os valores de $a$ , $b$ e $c$ .

$a = - 2$

$b = - 8$

$c = 0$

Etapa 1.2.2

Considere a forma de vértice de uma parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Etapa 1.2.3

Encontre o valor de $d$ usando a fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.1

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 8}{2 \cdot - 2}$

Etapa 1.2.3.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.2.1

Cancele o fator comum de $- 8$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.2.1.1

Fatore $2$ de $- 8$ .

$d = \frac{2 \cdot - 4}{2 \cdot - 2}$

Etapa 1.2.3.2.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.2.1.2.1

Fatore $2$ de $2 \cdot - 2$ .

$d = \frac{2 \cdot - 4}{2 (- 2)}$

Etapa 1.2.3.2.1.2.2

Cancele o fator comum.

$d = \frac{2 \cdot - 4}{2 \cdot - 2}$

Etapa 1.2.3.2.1.2.3

Reescreva a expressão.

$d = \frac{- 4}{- 2}$

Etapa 1.2.3.2.2

Cancele o fator comum de $- 4$ e $- 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.2.2.1

Fatore $- 2$ de $- 4$ .

$d = \frac{- 2 (2)}{- 2}$

Etapa 1.2.3.2.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.2.2.2.1

Fatore $- 2$ de $- 2$ .

$d = \frac{- 2 \cdot 2}{- 2 \cdot 1}$

Etapa 1.2.3.2.2.2.2

Cancele o fator comum.

$d = \frac{- 2 \cdot 2}{- 2 \cdot 1}$

Etapa 1.2.3.2.2.2.3

Reescreva a expressão.

$d = \frac{2}{1}$

Etapa 1.2.3.2.2.2.4

Divida $2$ por $1$ .

$d = 2$

Etapa 1.2.4

Encontre o valor de $e$ usando a fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.1

Substitua os valores de $c$ , $b$ e $a$ na fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 8)}^{2}}{4 \cdot - 2}$

Etapa 1.2.4.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.2.1.1

Eleve $- 8$ à potência de $2$ .

$e = 0 - \frac{64}{4 \cdot - 2}$

Etapa 1.2.4.2.1.2

Multiplique $4$ por $- 2$ .

$e = 0 - \frac{64}{- 8}$

Etapa 1.2.4.2.1.3

Divida $64$ por $- 8$ .

$e = 0 - - 8$

Etapa 1.2.4.2.1.4

Multiplique $- 1$ por $- 8$ .

$e = 0 + 8$

Etapa 1.2.4.2.2

Some $0$ e $8$ .

$e = 8$

Etapa 1.2.5

Substitua os valores de $a$ , $d$ e $e$ na forma do vértice $- 2 {(x + 2)}^{2} + 8$ .

$- 2 {(x + 2)}^{2} + 8$

Etapa 1.3

Substitua $- 2 {(x + 2)}^{2} + 8$ por $- 2 x^{2} - 8 x$ na equação $- 2 x^{2} + 3 y^{2} - 8 x + 6 y = 11$ .

$- 2 {(x + 2)}^{2} + 8 + 3 y^{2} + 6 y = 11$

Etapa 1.4

Mova $8$ para o lado direito da equação, somando $8$ aos dois lados.

$- 2 {(x + 2)}^{2} + 3 y^{2} + 6 y = 11 - 8$

Etapa 1.5

Complete o quadrado de $3 y^{2} + 6 y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.1

Use a forma $a x^{2} + b x + c$ para encontrar os valores de $a$ , $b$ e $c$ .

$a = 3$

$b = 6$

$c = 0$

Etapa 1.5.2

Considere a forma de vértice de uma parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Etapa 1.5.3

Encontre o valor de $d$ usando a fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.3.1

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{6}{2 \cdot 3}$

Etapa 1.5.3.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.3.2.1

Cancele o fator comum de $6$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.3.2.1.1

Fatore $2$ de $6$ .

$d = \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 3}$

Etapa 1.5.3.2.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.3.2.1.2.1

Fatore $2$ de $2 \cdot 3$ .

$d = \frac{2 \cdot 3}{2 (3)}$

Etapa 1.5.3.2.1.2.2

Cancele o fator comum.

$d = \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 3}$

Etapa 1.5.3.2.1.2.3

Reescreva a expressão.

$d = \frac{3}{3}$

Etapa 1.5.3.2.2

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.3.2.2.1

Cancele o fator comum.

$d = \frac{3}{3}$

Etapa 1.5.3.2.2.2

Reescreva a expressão.

$d = 1$

Etapa 1.5.4

Encontre o valor de $e$ usando a fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.4.1

Substitua os valores de $c$ , $b$ e $a$ na fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{6^{2}}{4 \cdot 3}$

Etapa 1.5.4.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.4.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.4.2.1.1

Eleve $6$ à potência de $2$ .

$e = 0 - \frac{36}{4 \cdot 3}$

Etapa 1.5.4.2.1.2

Multiplique $4$ por $3$ .

$e = 0 - \frac{36}{12}$

Etapa 1.5.4.2.1.3

Divida $36$ por $12$ .

$e = 0 - 1 \cdot 3$

Etapa 1.5.4.2.1.4

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$e = 0 - 3$

Etapa 1.5.4.2.2

Subtraia $3$ de $0$ .

$e = - 3$

Etapa 1.5.5

Substitua os valores de $a$ , $d$ e $e$ na forma do vértice $3 {(y + 1)}^{2} - 3$ .

$3 {(y + 1)}^{2} - 3$

Etapa 1.6

Substitua $3 {(y + 1)}^{2} - 3$ por $3 y^{2} + 6 y$ na equação $- 2 x^{2} + 3 y^{2} - 8 x + 6 y = 11$ .

$- 2 {(x + 2)}^{2} + 3 {(y + 1)}^{2} - 3 = 11 - 8$

Etapa 1.7

Mova $- 3$ para o lado direito da equação, somando $3$ aos dois lados.

$- 2 {(x + 2)}^{2} + 3 {(y + 1)}^{2} = 11 - 8 + 3$

Etapa 1.8

Simplifique $11 - 8 + 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.8.1

Subtraia $8$ de $11$ .

$- 2 {(x + 2)}^{2} + 3 {(y + 1)}^{2} = 3 + 3$

Etapa 1.8.2

Some $3$ e $3$ .

$- 2 {(x + 2)}^{2} + 3 {(y + 1)}^{2} = 6$

Etapa 1.9

Divida cada termo por $6$ para que o lado direito seja igual a um.

$- \frac{2 {(x + 2)}^{2}}{6} + \frac{3 {(y + 1)}^{2}}{6} = \frac{6}{6}$

Etapa 1.10

Simplifique cada termo na equação para definir o lado direito como igual a $1$ . A forma padrão de uma elipse ou hipérbole exige que o lado direito da equação seja $1$ .

$\frac{{(y + 1)}^{2}}{2} - \frac{{(x + 2)}^{2}}{3} = 1$

Etapa 2

Esta é a forma de uma hipérbole. Use-a para determinar os valores usados para encontrar os vértices e as assíntotas da hipérbole.

$\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Etapa 3

Associe os valores nesta hipérbole com os da forma padrão. A variável $h$ representa o deslocamento de x em relação à origem, $k$ representa o deslocamento de y em relação à origem, $a$ .

$a = \sqrt{2}$

$b = \sqrt{3}$

$k = - 1$

$h = - 2$

Etapa 4

O centro de uma hipérbole segue a forma de $(h, k)$ . Substitua os valores de $h$ e $k$ .

$(- 2, - 1)$

Etapa 5