Pré-cálculo Exemplos

$\sqrt{2 x + 6}$

Etapa 1

Alterne as variáveis.

$x = \sqrt{2 y + 6}$

Etapa 2

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Reescreva a equação como $\sqrt{2 y + 6} = x$ .

$\sqrt{2 y + 6} = x$

Etapa 2.2

Para remover o radical no lado esquerdo da equação, eleve ao quadrado os dois lados da equação.

${\sqrt{2 y + 6}}^{2} = x^{2}$

Etapa 2.3

Simplifique cada lado da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2 y + 6}$ como ${(2 y + 6)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(2 y + 6)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = x^{2}$

Etapa 2.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.1

Simplifique ${({(2 y + 6)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.1.1

Multiplique os expoentes em ${({(2 y + 6)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.1.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(2 y + 6)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Etapa 2.3.2.1.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

${(2 y + 6)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Etapa 2.3.2.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

${(2 y + 6)}^{1} = x^{2}$

Etapa 2.3.2.1.2

Simplifique.

$2 y + 6 = x^{2}$

Etapa 2.4

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1

Subtraia $6$ dos dois lados da equação.

$2 y = x^{2} - 6$

Etapa 2.4.2

Divida cada termo em $2 y = x^{2} - 6$ por $2$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.1

Divida cada termo em $2 y = x^{2} - 6$ por $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{x^{2}}{2} + \frac{- 6}{2}$

Etapa 2.4.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 y}{2} = \frac{x^{2}}{2} + \frac{- 6}{2}$

Etapa 2.4.2.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{x^{2}}{2} + \frac{- 6}{2}$

Etapa 2.4.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.3.1

Divida $- 6$ por $2$ .

$y = \frac{x^{2}}{2} - 3$

Etapa 3

Substitua $y$ por $f^{- 1} (x)$ para mostrar a resposta final.

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{2} - 3$

Etapa 4

Verifique se $f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{2} - 3$ é o inverso de $f (x) = \sqrt{2 x + 6}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Para verificar o inverso, veja se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Etapa 4.2

Avalie $f^{- 1} (f (x))$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f^{- 1} (f (x))$

Etapa 4.2.2

Avalie $f^{- 1} (\sqrt{2 x + 6})$ substituindo o valor de $f$ em $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{2 x + 6}) = \frac{{(\sqrt{2 x + 6})}^{2}}{2} - 3$

Etapa 4.2.3

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.3.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.3.1.1

Fatore $2$ de $2 x + 6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.3.1.1.1

Fatore $2$ de $2 x$ .

$f^{- 1} (\sqrt{2 x + 6}) = \frac{{\sqrt{2 (x) + 6}}^{2}}{2} - 3$

Etapa 4.2.3.1.1.2

Fatore $2$ de $6$ .

$f^{- 1} (\sqrt{2 x + 6}) = \frac{{\sqrt{2 x + 2 \cdot 3}}^{2}}{2} - 3$

Etapa 4.2.3.1.1.3

Fatore $2$ de $2 x + 2 \cdot 3$ .

$f^{- 1} (\sqrt{2 x + 6}) = \frac{{\sqrt{2 (x + 3)}}^{2}}{2} - 3$

Etapa 4.2.3.1.2

Reescreva ${\sqrt{2 (x + 3)}}^{2}$ como $2 (x + 3)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.3.1.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2 (x + 3)}$ como ${(2 (x + 3))}^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{2 x + 6}) = \frac{{({(2 (x + 3))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2} - 3$

Etapa 4.2.3.1.2.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{2 x + 6}) = \frac{{(2 (x + 3))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2} - 3$

Etapa 4.2.3.1.2.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt{2 x + 6}) = \frac{{(2 (x + 3))}^{\frac{2}{2}}}{2} - 3$

Etapa 4.2.3.1.2.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.3.1.2.4.1

Cancele o fator comum.

$f^{- 1} (\sqrt{2 x + 6}) = \frac{{(2 (x + 3))}^{\frac{2}{2}}}{2} - 3$

Etapa 4.2.3.1.2.4.2

Reescreva a expressão.

$f^{- 1} (\sqrt{2 x + 6}) = \frac{2 (x + 3)}{2} - 3$

Etapa 4.2.3.1.2.5

Simplifique.

$f^{- 1} (\sqrt{2 x + 6}) = \frac{2 (x + 3)}{2} - 3$

Etapa 4.2.3.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f^{- 1} (\sqrt{2 x + 6}) = \frac{2 x + 2 \cdot 3}{2} - 3$

Etapa 4.2.3.1.4

Multiplique $2$ por $3$ .

$f^{- 1} (\sqrt{2 x + 6}) = \frac{2 x + 6}{2} - 3$

Etapa 4.2.3.1.5

Fatore $2$ de $2 x + 6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.3.1.5.1

Fatore $2$ de $2 x$ .

$f^{- 1} (\sqrt{2 x + 6}) = \frac{2 (x) + 6}{2} - 3$

Etapa 4.2.3.1.5.2

Fatore $2$ de $6$ .

$f^{- 1} (\sqrt{2 x + 6}) = \frac{2 x + 2 \cdot 3}{2} - 3$

Etapa 4.2.3.1.5.3

Fatore $2$ de $2 x + 2 \cdot 3$ .

$f^{- 1} (\sqrt{2 x + 6}) = \frac{2 (x + 3)}{2} - 3$

Etapa 4.2.3.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.3.2.1

Cancele o fator comum.

$f^{- 1} (\sqrt{2 x + 6}) = \frac{2 (x + 3)}{2} - 3$

Etapa 4.2.3.2.2

Divida $x + 3$ por $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{2 x + 6}) = x + 3 - 3$

Etapa 4.2.4

Combine os termos opostos em $x + 3 - 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.4.1

Subtraia $3$ de $3$ .

$f^{- 1} (\sqrt{2 x + 6}) = x + 0$

Etapa 4.2.4.2

Some $x$ e $0$ .

$f^{- 1} (\sqrt{2 x + 6}) = x$

Etapa 4.3

Avalie $f (f^{- 1} (x))$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f (f^{- 1} (x))$

Etapa 4.3.2

Avalie $f (\frac{x^{2}}{2} - 3)$ substituindo o valor de $f^{- 1}$ em $f$ .

$f (\frac{x^{2}}{2} - 3) = \sqrt{2 (\frac{x^{2}}{2} - 3) + 6}$

Etapa 4.3.3

Fatore $2$ de $2 (\frac{x^{2}}{2} - 3) + 6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.3.1

Fatore $2$ de $6$ .

$f (\frac{x^{2}}{2} - 3) = \sqrt{2 (\frac{x^{2}}{2} - 3) + 2 \cdot 3}$

Etapa 4.3.3.2

Fatore $2$ de $2 (\frac{x^{2}}{2} - 3) + 2 \cdot 3$ .

$f (\frac{x^{2}}{2} - 3) = \sqrt{2 (\frac{x^{2}}{2} - 3 + 3)}$

Etapa 4.3.4

Simplifique somando os números.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.4.1

Some $- 3$ e $3$ .

$f (\frac{x^{2}}{2} - 3) = \sqrt{2 (\frac{x^{2}}{2} + 0)}$

Etapa 4.3.4.2

Some $\frac{x^{2}}{2}$ e $0$ .

$f (\frac{x^{2}}{2} - 3) = \sqrt{2 (\frac{x^{2}}{2})}$

Etapa 4.3.5

Combine $2$ e $\frac{x^{2}}{2}$ .

$f (\frac{x^{2}}{2} - 3) = \sqrt{\frac{2 x^{2}}{2}}$

Etapa 4.3.6

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.6.1

Reduza a expressão $\frac{2 x^{2}}{2}$ cancelando os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.6.1.1

Cancele o fator comum.

$f (\frac{x^{2}}{2} - 3) = \sqrt{\frac{2 x^{2}}{2}}$

Etapa 4.3.6.1.2

Reescreva a expressão.

$f (\frac{x^{2}}{2} - 3) = \sqrt{\frac{x^{2}}{1}}$

Etapa 4.3.6.2

Divida $x^{2}$ por $1$ .

$f (\frac{x^{2}}{2} - 3) = \sqrt{x^{2}}$

Etapa 4.3.7

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$f (\frac{x^{2}}{2} - 3) = x$

Etapa 4.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , então, $f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{2} - 3$ é o inverso de $f (x) = \sqrt{2 x + 6}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{2} - 3$