Pré-cálculo Exemplos

$y = 2 \sin (x + \frac{π}{2}) + 2$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada da função.

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Etapa 1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 \sin (x + \frac{π}{2}) + 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 \sin (x + \frac{π}{2})] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [2 \sin (x + \frac{π}{2})] + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [2 \sin (x + \frac{π}{2})]$ .

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Etapa 1.2.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 \sin (x + \frac{π}{2})$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [\sin (x + \frac{π}{2})]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\sin (x + \frac{π}{2})] + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = x + \frac{π}{2}$ .

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Etapa 1.2.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x + \frac{π}{2}$ .

$2 (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [x + \frac{π}{2}]) + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 1.2.2.2

A derivada de $\sin (u)$ em relação a $u$ é $\cos (u)$ .

$2 (\cos (u) \frac{d}{d x} [x + \frac{π}{2}]) + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 1.2.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x + \frac{π}{2}$ .

$2 (\cos (x + \frac{π}{2}) \frac{d}{d x} [x + \frac{π}{2}]) + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 1.2.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + \frac{π}{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{π}{2}]$ .

$2 (\cos (x + \frac{π}{2}) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{π}{2}])) + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 1.2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 (\cos (x + \frac{π}{2}) (1 + \frac{d}{d x} [\frac{π}{2}])) + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 1.2.5

Como $\frac{π}{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{π}{2}$ em relação a $x$ é $0$ .

$2 (\cos (x + \frac{π}{2}) (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 1.2.6

Some $1$ e $0$ .

$2 (\cos (x + \frac{π}{2}) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 1.2.7

Multiplique $\cos (x + \frac{π}{2})$ por $1$ .

$2 \cos (x + \frac{π}{2}) + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 1.3

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 1.3.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2$ em relação a $x$ é $0$ .

$2 \cos (x + \frac{π}{2}) + 0$

Etapa 1.3.2

Some $2 \cos (x + \frac{π}{2})$ e $0$ .

$2 \cos (x + \frac{π}{2})$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada da função.

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Etapa 2.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 \cos (x + \frac{π}{2})$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [\cos (x + \frac{π}{2})]$ .

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (\cos (x + \frac{π}{2}))$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = x + \frac{π}{2}$ .

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Etapa 2.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x + \frac{π}{2}$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{d}{d u} (\cos (u)) \frac{d}{d x} (x + \frac{π}{2}))$

Etapa 2.2.2

A derivada de $\cos (u)$ em relação a $u$ é $- \sin (u)$ .

$f'' (x) = 2 (- \sin (u) \frac{d}{d x} (x + \frac{π}{2}))$

Etapa 2.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x + \frac{π}{2}$ .

$f'' (x) = 2 (- \sin (x + \frac{π}{2}) \frac{d}{d x} (x + \frac{π}{2}))$

Etapa 2.3

Diferencie.

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Etapa 2.3.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$f'' (x) = - 2 (\sin (x + \frac{π}{2}) \frac{d}{d x} (x + \frac{π}{2}))$

Etapa 2.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + \frac{π}{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{π}{2}]$ .

$f'' (x) = - 2 \sin (x + \frac{π}{2}) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (\frac{π}{2}))$

Etapa 2.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = - 2 \sin (x + \frac{π}{2}) (1 + \frac{d}{d x} (\frac{π}{2}))$

Etapa 2.3.4

Como $\frac{π}{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{π}{2}$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = - 2 \sin (x + \frac{π}{2}) (1 + 0)$

Etapa 2.3.5

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.3.5.1

Some $1$ e $0$ .

$f'' (x) = - 2 \sin (x + \frac{π}{2}) \cdot 1$

Etapa 2.3.5.2

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$f'' (x) = - 2 \sin (x + \frac{π}{2})$

Etapa 3

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$2 \cos (x + \frac{π}{2}) = 0$

Etapa 4

Divida cada termo em $2 \cos (x + \frac{π}{2}) = 0$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 4.1

Divida cada termo em $2 \cos (x + \frac{π}{2}) = 0$ por $2$ .

$\frac{2 \cos (x + \frac{π}{2})}{2} = \frac{0}{2}$

Etapa 4.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 4.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \cos (x + \frac{π}{2})}{2} = \frac{0}{2}$

Etapa 4.2.1.2

Divida $\cos (x + \frac{π}{2})$ por $1$ .

$\cos (x + \frac{π}{2}) = \frac{0}{2}$

Etapa 4.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 4.3.1

Divida $0$ por $2$ .

$\cos (x + \frac{π}{2}) = 0$

Etapa 5

Obtenha o cosseno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do cosseno.

$x + \frac{π}{2} = \arccos (0)$

Etapa 6

Simplifique o lado direito.

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Etapa 6.1

O valor exato de $\arccos (0)$ é $\frac{π}{2}$ .

$x + \frac{π}{2} = \frac{π}{2}$

Etapa 7

Mova todos os termos que não contêm $x$ para o lado direito da equação.

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Etapa 7.1

Subtraia $\frac{π}{2}$ dos dois lados da equação.

$x = \frac{π}{2} - \frac{π}{2}$

Etapa 7.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x = \frac{π - π}{2}$

Etapa 7.3

Subtraia $π$ de $π$ .

$x = \frac{0}{2}$

Etapa 7.4

Divida $0$ por $2$ .

$x = 0$

Etapa 8

A função do cosseno é positiva no primeiro e no quarto quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $2 π$ para determinar a solução no quarto quadrante.

$x + \frac{π}{2} = 2 π - \frac{π}{2}$

Etapa 9

Resolva $x$ .

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Etapa 9.1

Simplifique $2 π - \frac{π}{2}$ .

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Etapa 9.1.1

Para escrever $2 π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$x + \frac{π}{2} = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Etapa 9.1.2

Combine frações.

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Etapa 9.1.2.1

Combine $2 π$ e $\frac{2}{2}$ .

$x + \frac{π}{2} = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Etapa 9.1.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x + \frac{π}{2} = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Etapa 9.1.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 9.1.3.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$x + \frac{π}{2} = \frac{4 π - π}{2}$

Etapa 9.1.3.2

Subtraia $π$ de $4 π$ .

$x + \frac{π}{2} = \frac{3 π}{2}$

Etapa 9.2

Mova todos os termos que não contêm $x$ para o lado direito da equação.

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Etapa 9.2.1

Subtraia $\frac{π}{2}$ dos dois lados da equação.

$x = \frac{3 π}{2} - \frac{π}{2}$

Etapa 9.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x = \frac{3 π - π}{2}$

Etapa 9.2.3

Subtraia $π$ de $3 π$ .

$x = \frac{2 π}{2}$

Etapa 9.2.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 9.2.4.1

Cancele o fator comum.

$x = \frac{2 π}{2}$

Etapa 9.2.4.2

Divida $π$ por $1$ .

$x = π$

Etapa 10

A solução para a equação $x + \frac{π}{2} = \frac{π}{2}$ .

$x = 0, π$

Etapa 11

Avalie a segunda derivada em $x = 0$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$- 2 \sin ((0) + \frac{π}{2})$

Etapa 12

Avalie a segunda derivada.

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Etapa 12.1

Some $0$ e $\frac{π}{2}$ .

$- 2 \sin (\frac{π}{2})$

Etapa 12.2

O valor exato de $\sin (\frac{π}{2})$ é $1$ .

$- 2 \cdot 1$

Etapa 12.3

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$- 2$

Etapa 13

$x = 0$ é um máximo local, porque o valor da segunda derivada é negativo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = 0$ é um máximo local

Etapa 14

Encontre o valor y quando $x = 0$ .

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Etapa 14.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f (0) = 2 \sin ((0) + \frac{π}{2}) + 2$

Etapa 14.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 14.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 14.2.1.1

Some $0$ e $\frac{π}{2}$ .

$f (0) = 2 \sin (\frac{π}{2}) + 2$

Etapa 14.2.1.2

O valor exato de $\sin (\frac{π}{2})$ é $1$ .

$f (0) = 2 \cdot 1 + 2$

Etapa 14.2.1.3

Multiplique $2$ por $1$ .

$f (0) = 2 + 2$

Etapa 14.2.2

Some $2$ e $2$ .

$f (0) = 4$

Etapa 14.2.3

A resposta final é $4$ .

$y = 4$

Etapa 15

Avalie a segunda derivada em $x = π$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$- 2 \sin ((π) + \frac{π}{2})$

Etapa 16

Avalie a segunda derivada.

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Etapa 16.1

Para escrever $π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$- 2 \sin (π \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{2})$

Etapa 16.2

Combine frações.

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Etapa 16.2.1

Combine $π$ e $\frac{2}{2}$ .

$- 2 \sin (\frac{π \cdot 2}{2} + \frac{π}{2})$

Etapa 16.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$- 2 \sin (\frac{π \cdot 2 + π}{2})$

Etapa 16.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 16.3.1

Mova $2$ para a esquerda de $π$ .

$- 2 \sin (\frac{2 \cdot π + π}{2})$

Etapa 16.3.2

Some $2 π$ e $π$ .

$- 2 \sin (\frac{3 π}{2})$

Etapa 16.4

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o seno é negativo no quarto quadrante.

$- 2 (- \sin (\frac{π}{2}))$

Etapa 16.5

O valor exato de $\sin (\frac{π}{2})$ é $1$ .

$- 2 (- 1 \cdot 1)$

Etapa 16.6

Multiplique $- 2 (- 1 \cdot 1)$ .

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Etapa 16.6.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- 2 \cdot - 1$

Etapa 16.6.2

Multiplique $- 2$ por $- 1$ .

$2$

Etapa 17

$x = π$ é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = π$ é um mínimo local

Etapa 18

Encontre o valor y quando $x = π$ .

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Etapa 18.1

Substitua a variável $x$ por $π$ na expressão.

$f (π) = 2 \sin ((π) + \frac{π}{2}) + 2$

Etapa 18.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 18.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 18.2.1.1

Para escrever $π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$f (π) = 2 \sin (π \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{2}) + 2$

Etapa 18.2.1.2

Combine $π$ e $\frac{2}{2}$ .

$f (π) = 2 \sin (\frac{π \cdot 2}{2} + \frac{π}{2}) + 2$

Etapa 18.2.1.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (π) = 2 \sin (\frac{π \cdot 2 + π}{2}) + 2$

Etapa 18.2.1.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 18.2.1.4.1

Mova $2$ para a esquerda de $π$ .

$f (π) = 2 \sin (\frac{2 \cdot π + π}{2}) + 2$

Etapa 18.2.1.4.2

Some $2 π$ e $π$ .

$f (π) = 2 \sin (\frac{3 π}{2}) + 2$

Etapa 18.2.1.5

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o seno é negativo no quarto quadrante.

$f (π) = 2 (- \sin (\frac{π}{2})) + 2$

Etapa 18.2.1.6

O valor exato de $\sin (\frac{π}{2})$ é $1$ .

$f (π) = 2 (- 1 \cdot 1) + 2$

Etapa 18.2.1.7

Multiplique $2 (- 1 \cdot 1)$ .

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Etapa 18.2.1.7.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$f (π) = 2 \cdot - 1 + 2$

Etapa 18.2.1.7.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$f (π) = - 2 + 2$

Etapa 18.2.2

Some $- 2$ e $2$ .

$f (π) = 0$

Etapa 18.2.3

A resposta final é $0$ .

$y = 0$

Etapa 19

Esses são os extremos locais para $f (x) = 2 \sin (x + \frac{π}{2}) + 2$ .

$(0, 4)$ é um máximo local

$(π, 0)$ é um mínimo local

Etapa 20