Pré-cálculo Exemplos

$y = \tan (x - \frac{π}{2})$

Etapa 1

Alterne as variáveis.

$x = \tan (y - \frac{π}{2})$

Etapa 2

Resolva $y$ .

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Etapa 2.1

Reescreva a equação como $\tan (y - \frac{π}{2}) = x$ .

$\tan (y - \frac{π}{2}) = x$

Etapa 2.2

Obtenha a tangente inversa dos dois lados da equação para extrair $y$ de dentro da tangente.

$y - \frac{π}{2} = \arctan (x)$

Etapa 2.3

Some $\frac{π}{2}$ aos dois lados da equação.

$y = \arctan (x) + \frac{π}{2}$

Etapa 3

Substitua $y$ por $f^{- 1} (x)$ para mostrar a resposta final.

$f^{- 1} (x) = \arctan (x) + \frac{π}{2}$

Etapa 4

Verifique se $f^{- 1} (x) = \arctan (x) + \frac{π}{2}$ é o inverso de $f (x) = \tan (x - \frac{π}{2})$ .

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Etapa 4.1

Para verificar o inverso, veja se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Etapa 4.2

Avalie $f^{- 1} (f (x))$ .

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Etapa 4.2.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f^{- 1} (f (x))$

Etapa 4.2.2

Avalie $f^{- 1} (\tan (x - \frac{π}{2}))$ substituindo o valor de $f$ em $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\tan (x - \frac{π}{2})) = \arctan (\tan (x - \frac{π}{2})) + \frac{π}{2}$

Etapa 4.3

Avalie $f (f^{- 1} (x))$ .

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Etapa 4.3.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f (f^{- 1} (x))$

Etapa 4.3.2

Avalie $f (\arctan (x) + \frac{π}{2})$ substituindo o valor de $f^{- 1}$ em $f$ .

$f (\arctan (x) + \frac{π}{2}) = \tan ((\arctan (x) + \frac{π}{2}) - \frac{π}{2})$

Etapa 4.3.3

Combine os termos opostos em $(\arctan (x) + \frac{π}{2}) - \frac{π}{2}$ .

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Etapa 4.3.3.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (\arctan (x) + \frac{π}{2}) = \tan (\arctan (x) + \frac{π - π}{2})$

Etapa 4.3.3.2

Subtraia $π$ de $π$ .

$f (\arctan (x) + \frac{π}{2}) = \tan (\arctan (x) + \frac{0}{2})$

Etapa 4.3.4

Simplifique a expressão.

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Etapa 4.3.4.1

Divida $0$ por $2$ .

$f (\arctan (x) + \frac{π}{2}) = \tan (\arctan (x) + 0)$

Etapa 4.3.4.2

Some $\arctan (x)$ e $0$ .

$f (\arctan (x) + \frac{π}{2}) = \tan (\arctan (x))$

Etapa 4.3.5

As funções tangente e arco tangente são inversos.

$f (\arctan (x) + \frac{π}{2}) = x$

Etapa 4.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , então, $f^{- 1} (x) = \arctan (x) + \frac{π}{2}$ é o inverso de $f (x) = \tan (x - \frac{π}{2})$ .

$f^{- 1} (x) = \arctan (x) + \frac{π}{2}$