Pré-cálculo Exemplos

$y = - 2 x^{2} - 5 x - 1$

Etapa 1

Alterne as variáveis.

$x = - 2 y^{2} - 5 y - 1$

Etapa 2

Resolva $y$ .

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Etapa 2.1

Reescreva a equação como $- 2 y^{2} - 5 y - 1 = x$ .

$- 2 y^{2} - 5 y - 1 = x$

Etapa 2.2

Subtraia $x$ dos dois lados da equação.

$- 2 y^{2} - 5 y - 1 - x = 0$

Etapa 2.3

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 2.4

Substitua os valores $a = - 2$ , $b = - 5$ e $c = - 1 - x$ na fórmula quadrática e resolva $y$ .

$\frac{5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot (- 2 \cdot (- 1 - x))}}{2 \cdot - 2}$

Etapa 2.5

Simplifique.

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Etapa 2.5.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.5.1.1

Eleve $- 5$ à potência de $2$ .

$y = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot - 2 \cdot (- 1 - x)}}{2 \cdot - 2}$

Etapa 2.5.1.2

Multiplique $- 4$ por $- 2$ .

$y = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 8 \cdot (- 1 - x)}}{2 \cdot - 2}$

Etapa 2.5.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 8 \cdot - 1 + 8 (- x)}}{2 \cdot - 2}$

Etapa 2.5.1.4

Multiplique $8$ por $- 1$ .

$y = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 8 + 8 (- x)}}{2 \cdot - 2}$

Etapa 2.5.1.5

Multiplique $- 1$ por $8$ .

$y = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 8 - 8 x}}{2 \cdot - 2}$

Etapa 2.5.1.6

Subtraia $8$ de $25$ .

$y = \frac{5 \pm \sqrt{17 - 8 x}}{2 \cdot - 2}$

Etapa 2.5.2

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$y = \frac{5 \pm \sqrt{17 - 8 x}}{- 4}$

Etapa 2.5.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y = - \frac{5 \pm \sqrt{17 - 8 x}}{4}$

Etapa 2.6

Simplifique a expressão para resolver a parte $+$ de $\pm$ .

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Etapa 2.6.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.6.1.1

Eleve $- 5$ à potência de $2$ .

$y = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot - 2 \cdot (- 1 - x)}}{2 \cdot - 2}$

Etapa 2.6.1.2

Multiplique $- 4$ por $- 2$ .

$y = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 8 \cdot (- 1 - x)}}{2 \cdot - 2}$

Etapa 2.6.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 8 \cdot - 1 + 8 (- x)}}{2 \cdot - 2}$

Etapa 2.6.1.4

Multiplique $8$ por $- 1$ .

$y = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 8 + 8 (- x)}}{2 \cdot - 2}$

Etapa 2.6.1.5

Multiplique $- 1$ por $8$ .

$y = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 8 - 8 x}}{2 \cdot - 2}$

Etapa 2.6.1.6

Subtraia $8$ de $25$ .

$y = \frac{5 \pm \sqrt{17 - 8 x}}{2 \cdot - 2}$

Etapa 2.6.2

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$y = \frac{5 \pm \sqrt{17 - 8 x}}{- 4}$

Etapa 2.6.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y = - \frac{5 \pm \sqrt{17 - 8 x}}{4}$

Etapa 2.6.4

Altere $\pm$ para $+$ .

$y = - \frac{5 + \sqrt{17 - 8 x}}{4}$

Etapa 2.7

Simplifique a expressão para resolver a parte $-$ de $\pm$ .

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Etapa 2.7.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.7.1.1

Eleve $- 5$ à potência de $2$ .

$y = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot - 2 \cdot (- 1 - x)}}{2 \cdot - 2}$

Etapa 2.7.1.2

Multiplique $- 4$ por $- 2$ .

$y = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 8 \cdot (- 1 - x)}}{2 \cdot - 2}$

Etapa 2.7.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 8 \cdot - 1 + 8 (- x)}}{2 \cdot - 2}$

Etapa 2.7.1.4

Multiplique $8$ por $- 1$ .

$y = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 8 + 8 (- x)}}{2 \cdot - 2}$

Etapa 2.7.1.5

Multiplique $- 1$ por $8$ .

$y = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 8 - 8 x}}{2 \cdot - 2}$

Etapa 2.7.1.6

Subtraia $8$ de $25$ .

$y = \frac{5 \pm \sqrt{17 - 8 x}}{2 \cdot - 2}$

Etapa 2.7.2

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$y = \frac{5 \pm \sqrt{17 - 8 x}}{- 4}$

Etapa 2.7.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y = - \frac{5 \pm \sqrt{17 - 8 x}}{4}$

Etapa 2.7.4

Altere $\pm$ para $-$ .

$y = - \frac{5 - \sqrt{17 - 8 x}}{4}$

Etapa 2.8

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$y = - \frac{5 + \sqrt{17 - 8 x}}{4}$

$y = - \frac{5 - \sqrt{17 - 8 x}}{4}$

$y = - \frac{5 + \sqrt{17 - 8 x}}{4}$

$y = - \frac{5 - \sqrt{17 - 8 x}}{4}$

Etapa 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = - \frac{5 + \sqrt{17 - 8 x}}{4}, - \frac{5 - \sqrt{17 - 8 x}}{4}$

Etapa 4

Verifique se $f^{- 1} (x) = - \frac{5 + \sqrt{17 - 8 x}}{4}, - \frac{5 - \sqrt{17 - 8 x}}{4}$ é o inverso de $f (x) = - 2 x^{2} - 5 x - 1$ .

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Etapa 4.1

O domínio do inverso é o intervalo da função original e vice-versa. Encontre o domínio e o intervalo de $f (x) = - 2 x^{2} - 5 x - 1$ e $f^{- 1} (x) = - \frac{5 + \sqrt{17 - 8 x}}{4}, - \frac{5 - \sqrt{17 - 8 x}}{4}$ e os compare.

Etapa 4.2

Encontre o intervalo de $f (x) = - 2 x^{2} - 5 x - 1$ .

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Etapa 4.2.1

O intervalo é o conjunto de todos os valores $y$ válidos. Use o gráfico para encontrar o intervalo.

Notação de intervalo:

$(- \infty, \frac{17}{8}]$

Etapa 4.3

Encontre o domínio de $- \frac{5 + \sqrt{17 - 8 x}}{4}$ .

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Etapa 4.3.1

Defina o radicando em $\sqrt{17 - 8 x}$ como maior do que ou igual a $0$ para encontrar onde a expressão está definida.

$17 - 8 x \geq 0$

Etapa 4.3.2

Resolva $x$ .

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Etapa 4.3.2.1

Subtraia $17$ dos dois lados da desigualdade.

$- 8 x \geq - 17$

Etapa 4.3.2.2

Divida cada termo em $- 8 x \geq - 17$ por $- 8$ e simplifique.

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Etapa 4.3.2.2.1

Divida cada termo em $- 8 x \geq - 17$ por $- 8$ . Ao multiplicar ou dividir os dois lados de uma desigualdade por um valor negativo, inverta a direção do sinal de desigualdade.

$\frac{- 8 x}{- 8} \leq \frac{- 17}{- 8}$

Etapa 4.3.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 4.3.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $- 8$ .

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Etapa 4.3.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 8 x}{- 8} \leq \frac{- 17}{- 8}$

Etapa 4.3.2.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x \leq \frac{- 17}{- 8}$

Etapa 4.3.2.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 4.3.2.2.3.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$x \leq \frac{17}{8}$

Etapa 4.3.3

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

$(- \infty, \frac{17}{8}]$

Etapa 4.4

Encontre o domínio de $f (x) = - 2 x^{2} - 5 x - 1$ .

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Etapa 4.4.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

$(- \infty, \infty)$

Etapa 4.5

Como o domínio de $f^{- 1} (x) = - \frac{5 + \sqrt{17 - 8 x}}{4}, - \frac{5 - \sqrt{17 - 8 x}}{4}$ é o intervalo de $f (x) = - 2 x^{2} - 5 x - 1$ , e o intervalo de $f^{- 1} (x) = - \frac{5 + \sqrt{17 - 8 x}}{4}, - \frac{5 - \sqrt{17 - 8 x}}{4}$ é o domínio de $f (x) = - 2 x^{2} - 5 x - 1$ , então, $f^{- 1} (x) = - \frac{5 + \sqrt{17 - 8 x}}{4}, - \frac{5 - \sqrt{17 - 8 x}}{4}$ é o inverso de $f (x) = - 2 x^{2} - 5 x - 1$ .

$f^{- 1} (x) = - \frac{5 + \sqrt{17 - 8 x}}{4}, - \frac{5 - \sqrt{17 - 8 x}}{4}$

Etapa 5