Pré-cálculo Exemplos

$\frac{x^{2}}{108} + \frac{y^{2}}{144} = 1$

Etapa 1

Simplifique cada termo na equação para definir o lado direito como igual a $1$ . A forma padrão de uma elipse ou hipérbole exige que o lado direito da equação seja $1$ .

$\frac{x^{2}}{108} + \frac{y^{2}}{144} = 1$

Etapa 2

Esta é a forma de uma elipse. Use-a para determinar os valores usados para encontrar o centro junto com os eixos maior e menor da elipse.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} = 1$

Etapa 3

Associe os valores nesta elipse com os da forma padrão. A variável $a$ representa o raio do eixo maior da elipse, $b$ representa o raio do eixo menor da elipse, $h$ representa o deslocamento de x em relação à origem e $k$ representa o deslocamento de y em relação à origem.

$a = 12$

$b = 6 \sqrt{3}$

$k = 0$

$h = 0$

Etapa 4

Encontre a excentricidade usando a seguinte fórmula.

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

Etapa 5

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula.

$\frac{\sqrt{{(12)}^{2} - {(6 \sqrt{3})}^{2}}}{12}$

Etapa 6

Simplifique.

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Etapa 6.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 6.1.1

Eleve $12$ à potência de $2$ .

$\frac{\sqrt{144 - {(6 \sqrt{3})}^{2}}}{12}$

Etapa 6.1.2

Aplique a regra do produto a $6 \sqrt{3}$ .

$\frac{\sqrt{144 - (6^{2} {\sqrt{3}}^{2})}}{12}$

Etapa 6.1.3

Eleve $6$ à potência de $2$ .

$\frac{\sqrt{144 - (36 {\sqrt{3}}^{2})}}{12}$

Etapa 6.1.4

Reescreva ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Etapa 6.1.4.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{144 - (36 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2})}}{12}$

Etapa 6.1.4.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{144 - (36 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2})}}{12}$

Etapa 6.1.4.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{\sqrt{144 - (36 \cdot 3^{\frac{2}{2}})}}{12}$

Etapa 6.1.4.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 6.1.4.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\sqrt{144 - (36 \cdot 3^{\frac{2}{2}})}}{12}$

Etapa 6.1.4.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{\sqrt{144 - (36 \cdot 3^{1})}}{12}$

Etapa 6.1.4.5

Avalie o expoente.

$\frac{\sqrt{144 - (36 \cdot 3)}}{12}$

Etapa 6.1.5

Multiplique $- (36 \cdot 3)$ .

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Etapa 6.1.5.1

Multiplique $36$ por $3$ .

$\frac{\sqrt{144 - 1 \cdot 108}}{12}$

Etapa 6.1.5.2

Multiplique $- 1$ por $108$ .

$\frac{\sqrt{144 - 108}}{12}$

Etapa 6.1.6

Subtraia $108$ de $144$ .

$\frac{\sqrt{36}}{12}$

Etapa 6.1.7

Reescreva $36$ como $6^{2}$ .

$\frac{\sqrt{6^{2}}}{12}$

Etapa 6.1.8

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$\frac{6}{12}$

Etapa 6.2

Cancele o fator comum de $6$ e $12$ .

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Etapa 6.2.1

Fatore $6$ de $6$ .

$\frac{6 (1)}{12}$

Etapa 6.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1

Fatore $6$ de $12$ .

$\frac{6 \cdot 1}{6 \cdot 2}$

Etapa 6.2.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{6 \cdot 1}{6 \cdot 2}$

Etapa 6.2.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{2}$

Etapa 7