Pré-cálculo Exemplos

$\sum_{i = 1}^{6} 12 {(\frac{5}{6})}^{i - 1}$

Etapa 1

A soma de uma série geométrica finita pode ser encontrada pela fórmula $a (\frac{1 - r^{n}}{1 - r})$ , em que $a$ é o primeiro termo e $r$ é a razão entre os termos sucessivos.

Etapa 2

Encontre a razão dos termos sucessivos substituindo a fórmula $r = \frac{a_{i + 1}}{a_{i}}$ e simplificando.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Substitua $a_{i}$ e $a_{i + 1}$ na fórmula por $r$ .

$r = \frac{12 {(\frac{5}{6})}^{i + 1 - 1}}{12 {(\frac{5}{6})}^{i - 1}}$

Etapa 2.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Cancele o fator comum de $12$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$r = \frac{12 {(\frac{5}{6})}^{i + 1 - 1}}{12 {(\frac{5}{6})}^{i - 1}}$

Etapa 2.2.1.2

Reescreva a expressão.

$r = \frac{{(\frac{5}{6})}^{i + 1 - 1}}{{(\frac{5}{6})}^{i - 1}}$

Etapa 2.2.2

Cancele o fator comum de ${(\frac{5}{6})}^{i + 1 - 1}$ e ${(\frac{5}{6})}^{i - 1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1

Fatore ${(\frac{5}{6})}^{i - 1}$ de ${(\frac{5}{6})}^{i + 1 - 1}$ .

$r = \frac{{(\frac{5}{6})}^{i - 1} {(\frac{5}{6})}^{i + 0 - (i - 1)}}{{(\frac{5}{6})}^{i - 1}}$

Etapa 2.2.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.2.1

Multiplique por $1$ .

$r = \frac{{(\frac{5}{6})}^{i - 1} {(\frac{5}{6})}^{i + 0 - (i - 1)}}{{(\frac{5}{6})}^{i - 1} \cdot 1}$

Etapa 2.2.2.2.2

Cancele o fator comum.

$r = \frac{{(\frac{5}{6})}^{i - 1} {(\frac{5}{6})}^{i + 0 - (i - 1)}}{{(\frac{5}{6})}^{i - 1} \cdot 1}$

Etapa 2.2.2.2.3

Reescreva a expressão.

$r = \frac{{(\frac{5}{6})}^{i + 0 - (i - 1)}}{1}$

Etapa 2.2.2.2.4

Divida ${(\frac{5}{6})}^{i + 0 - (i - 1)}$ por $1$ .

$r = {(\frac{5}{6})}^{i + 0 - (i - 1)}$

Etapa 2.2.3

Some $i$ e $0$ .

$r = {(\frac{5}{6})}^{i - (i - 1)}$

Etapa 2.2.4

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$r = {(\frac{5}{6})}^{i - i - - 1}$

Etapa 2.2.4.2

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$r = {(\frac{5}{6})}^{i - i + 1}$

Etapa 2.2.5

Subtraia $i$ de $i$ .

$r = {(\frac{5}{6})}^{0 + 1}$

Etapa 2.2.6

Some $0$ e $1$ .

$r = {(\frac{5}{6})}^{1}$

Etapa 2.2.7

Simplifique.

$r = \frac{5}{6}$

Etapa 3

Encontre o primeiro termo da série, substituindo o limite inferior e simplificando.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Substitua $1$ por $i$ em $12 {(\frac{5}{6})}^{i - 1}$ .

$a = 12 {(\frac{5}{6})}^{1 - 1}$

Etapa 3.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Subtraia $1$ de $1$ .

$a = 12 {(\frac{5}{6})}^{0}$

Etapa 3.2.2

Aplique a regra do produto a $\frac{5}{6}$ .

$a = 12 \frac{5^{0}}{6^{0}}$

Etapa 3.2.3

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$a = 12 \frac{1}{6^{0}}$

Etapa 3.2.4

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$a = 12 (\frac{1}{1})$

Etapa 3.2.5

Cancele o fator comum de $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.5.1

Cancele o fator comum.

$a = 12 (\frac{1}{1})$

Etapa 3.2.5.2

Reescreva a expressão.

$a = 12 \cdot 1$

Etapa 3.2.6

Multiplique $12$ por $1$ .

$a = 12$

Etapa 4

Substitua os valores da razão, o primeiro termo e o número de termos na fórmula da soma.

$12 \frac{1 - {(\frac{5}{6})}^{6}}{1 - \frac{5}{6}}$

Etapa 5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Multiplique o numerador e o denominador da fração por $6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.1

Multiplique $\frac{1 - {(\frac{5}{6})}^{6}}{1 - \frac{5}{6}}$ por $\frac{6}{6}$ .

$12 (\frac{6}{6} \cdot \frac{1 - {(\frac{5}{6})}^{6}}{1 - \frac{5}{6}})$

Etapa 5.1.2

Combine.

$12 \frac{6 (1 - {(\frac{5}{6})}^{6})}{6 (1 - \frac{5}{6})}$

Etapa 5.2

Aplique a propriedade distributiva.

$12 \frac{6 \cdot 1 + 6 (- {(\frac{5}{6})}^{6})}{6 \cdot 1 + 6 (- \frac{5}{6})}$

Etapa 5.3

Cancele o fator comum de $6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{5}{6}$ para o numerador.

$12 \frac{6 \cdot 1 + 6 (- {(\frac{5}{6})}^{6})}{6 \cdot 1 + 6 (\frac{- 5}{6})}$

Etapa 5.3.2

Cancele o fator comum.

$12 \frac{6 \cdot 1 + 6 (- {(\frac{5}{6})}^{6})}{6 \cdot 1 + 6 (\frac{- 5}{6})}$

Etapa 5.3.3

Reescreva a expressão.

$12 \frac{6 \cdot 1 + 6 (- {(\frac{5}{6})}^{6})}{6 \cdot 1 - 5}$

Etapa 5.4

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.1

Multiplique $6$ por $1$ .

$12 \frac{6 + 6 (- {(\frac{5}{6})}^{6})}{6 \cdot 1 - 5}$

Etapa 5.4.2

Aplique a regra do produto a $\frac{5}{6}$ .

$12 \frac{6 + 6 (- \frac{5^{6}}{6^{6}})}{6 \cdot 1 - 5}$

Etapa 5.4.3

Cancele o fator comum de $6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.3.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{5^{6}}{6^{6}}$ para o numerador.

$12 \frac{6 + 6 \frac{- 5^{6}}{6^{6}}}{6 \cdot 1 - 5}$

Etapa 5.4.3.2

Fatore $6$ de $6^{6}$ .

$12 \frac{6 + 6 \frac{- 5^{6}}{6 \cdot 6^{5}}}{6 \cdot 1 - 5}$

Etapa 5.4.3.3

Cancele o fator comum.

$12 \frac{6 + 6 \frac{- 5^{6}}{6 \cdot 6^{5}}}{6 \cdot 1 - 5}$

Etapa 5.4.3.4

Reescreva a expressão.

$12 \frac{6 + \frac{- 5^{6}}{6^{5}}}{6 \cdot 1 - 5}$

Etapa 5.4.4

Eleve $5$ à potência de $6$ .

$12 \frac{6 + \frac{- 1 \cdot 15625}{6^{5}}}{6 \cdot 1 - 5}$

Etapa 5.4.5

Eleve $6$ à potência de $5$ .

$12 \frac{6 + \frac{- 1 \cdot 15625}{7776}}{6 \cdot 1 - 5}$

Etapa 5.4.6

Multiplique $- 1$ por $15625$ .

$12 \frac{6 + \frac{- 15625}{7776}}{6 \cdot 1 - 5}$

Etapa 5.4.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$12 \frac{6 - \frac{15625}{7776}}{6 \cdot 1 - 5}$

Etapa 5.4.8

Para escrever $6$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{7776}{7776}$ .

$12 \frac{6 \cdot \frac{7776}{7776} - \frac{15625}{7776}}{6 \cdot 1 - 5}$

Etapa 5.4.9

Combine $6$ e $\frac{7776}{7776}$ .

$12 \frac{\frac{6 \cdot 7776}{7776} - \frac{15625}{7776}}{6 \cdot 1 - 5}$

Etapa 5.4.10

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$12 \frac{\frac{6 \cdot 7776 - 15625}{7776}}{6 \cdot 1 - 5}$

Etapa 5.4.11

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.11.1

Multiplique $6$ por $7776$ .

$12 \frac{\frac{46656 - 15625}{7776}}{6 \cdot 1 - 5}$

Etapa 5.4.11.2

Subtraia $15625$ de $46656$ .

$12 \frac{\frac{31031}{7776}}{6 \cdot 1 - 5}$

Etapa 5.5

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.1

Multiplique $6$ por $1$ .

$12 \frac{\frac{31031}{7776}}{6 - 5}$

Etapa 5.5.2

Subtraia $5$ de $6$ .

$12 \frac{\frac{31031}{7776}}{1}$

Etapa 5.6

Divida $\frac{31031}{7776}$ por $1$ .

$12 (\frac{31031}{7776})$

Etapa 5.7

Cancele o fator comum de $12$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.7.1

Fatore $12$ de $7776$ .

$12 \frac{31031}{12 (648)}$

Etapa 5.7.2

Cancele o fator comum.

$12 \frac{31031}{12 \cdot 648}$

Etapa 5.7.3

Reescreva a expressão.

$\frac{31031}{648}$

Etapa 6

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{31031}{648}$

Forma decimal:

$47.88734567 \dots$

Forma de número misto:

$47 \frac{575}{648}$