Pré-cálculo Exemplos

$- 2 \cos (3 θ) = 1$

Etapa 1

Divida cada termo em $- 2 \cos (3 θ) = 1$ por $- 2$ e simplifique.

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Etapa 1.1

Divida cada termo em $- 2 \cos (3 θ) = 1$ por $- 2$ .

$\frac{- 2 \cos (3 θ)}{- 2} = \frac{1}{- 2}$

Etapa 1.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.2.1

Cancele o fator comum de $- 2$ .

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Etapa 1.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 2 \cos (3 θ)}{- 2} = \frac{1}{- 2}$

Etapa 1.2.1.2

Divida $\cos (3 θ)$ por $1$ .

$\cos (3 θ) = \frac{1}{- 2}$

Etapa 1.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\cos (3 θ) = - \frac{1}{2}$

Etapa 2

Obtenha o cosseno inverso dos dois lados da equação para extrair $θ$ de dentro do cosseno.

$3 θ = \arccos (- \frac{1}{2})$

Etapa 3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.1

O valor exato de $\arccos (- \frac{1}{2})$ é $\frac{2 π}{3}$ .

$3 θ = \frac{2 π}{3}$

Etapa 4

Divida cada termo em $3 θ = \frac{2 π}{3}$ por $3$ e simplifique.

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Etapa 4.1

Divida cada termo em $3 θ = \frac{2 π}{3}$ por $3$ .

$\frac{3 θ}{3} = \frac{\frac{2 π}{3}}{3}$

Etapa 4.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 4.2.1

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 θ}{3} = \frac{\frac{2 π}{3}}{3}$

Etapa 4.2.1.2

Divida $θ$ por $1$ .

$θ = \frac{\frac{2 π}{3}}{3}$

Etapa 4.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 4.3.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$θ = \frac{2 π}{3} \cdot \frac{1}{3}$

Etapa 4.3.2

Multiplique $\frac{2 π}{3} \cdot \frac{1}{3}$ .

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Etapa 4.3.2.1

Multiplique $\frac{2 π}{3}$ por $\frac{1}{3}$ .

$θ = \frac{2 π}{3 \cdot 3}$

Etapa 4.3.2.2

Multiplique $3$ por $3$ .

$θ = \frac{2 π}{9}$

Etapa 5

A função do cosseno é negativa no segundo e no terceiro quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $2 π$ para determinar a solução no terceiro quadrante.

$3 θ = 2 π - \frac{2 π}{3}$

Etapa 6

Resolva $θ$ .

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Etapa 6.1

Simplifique.

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Etapa 6.1.1

Para escrever $2 π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$3 θ = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{2 π}{3}$

Etapa 6.1.2

Combine $2 π$ e $\frac{3}{3}$ .

$3 θ = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{2 π}{3}$

Etapa 6.1.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$3 θ = \frac{2 π \cdot 3 - 2 π}{3}$

Etapa 6.1.4

Multiplique $3$ por $2$ .

$3 θ = \frac{6 π - 2 π}{3}$

Etapa 6.1.5

Subtraia $2 π$ de $6 π$ .

$3 θ = \frac{4 π}{3}$

Etapa 6.2

Divida cada termo em $3 θ = \frac{4 π}{3}$ por $3$ e simplifique.

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Etapa 6.2.1

Divida cada termo em $3 θ = \frac{4 π}{3}$ por $3$ .

$\frac{3 θ}{3} = \frac{\frac{4 π}{3}}{3}$

Etapa 6.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 6.2.2.1

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 6.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 θ}{3} = \frac{\frac{4 π}{3}}{3}$

Etapa 6.2.2.1.2

Divida $θ$ por $1$ .

$θ = \frac{\frac{4 π}{3}}{3}$

Etapa 6.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 6.2.3.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$θ = \frac{4 π}{3} \cdot \frac{1}{3}$

Etapa 6.2.3.2

Multiplique $\frac{4 π}{3} \cdot \frac{1}{3}$ .

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Etapa 6.2.3.2.1

Multiplique $\frac{4 π}{3}$ por $\frac{1}{3}$ .

$θ = \frac{4 π}{3 \cdot 3}$

Etapa 6.2.3.2.2

Multiplique $3$ por $3$ .

$θ = \frac{4 π}{9}$

Etapa 7

Encontre o período de $\cos (3 θ)$ .

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Etapa 7.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 7.2

Substitua $b$ por $3$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 3 |}$

Etapa 7.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $3$ é $3$ .

$\frac{2 π}{3}$

Etapa 8

O período da função $\cos (3 θ)$ é $\frac{2 π}{3}$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $\frac{2 π}{3}$ radianos nas duas direções.

$θ = \frac{2 π}{9} + \frac{2 π n}{3}, \frac{4 π}{9} + \frac{2 π n}{3}$ , para qualquer número inteiro $n$