Pré-cálculo Exemplos

$\frac{- 7}{y + 8} + \frac{6}{7 - y} = \frac{(- 8) y - 9}{y^{2} + y - 56}$

Etapa 1

Fatore cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{7}{y + 8} + \frac{6}{7 - y} = \frac{- 8 y - 9}{y^{2} + y - 56}$

Etapa 1.2

Fatore $y^{2} + y - 56$ usando o método AC.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 56$ e cuja soma é $1$ .

$- 7, 8$

Etapa 1.2.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$- \frac{7}{y + 8} + \frac{6}{7 - y} = \frac{- 8 y - 9}{(y - 7) (y + 8)}$

Etapa 2

Encontre o MMC dos termos na equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$y + 8, 7 - y, (y - 7) (y + 8)$

Etapa 2.2

O MMC é o menor número positivo pelo qual todos os números se dividem uniformemente.

1. Liste os fatores primos de cada número.

2. Multiplique cada fator pelo maior número de vezes em que ele ocorre em cada número.

Etapa 2.3

O número $1$ não é primo porque tem apenas um fator positivo, que é ele mesmo.

Não é primo

Etapa 2.4

O MMC de $1, 1, 1$ é o resultado da multiplicação de todos os fatores primos pelo maior número de vezes que eles ocorrem em qualquer um dos números.

$1$

Etapa 2.5

O fator de $y + 8$ é o próprio $y + 8$ .

$(y + 8) = y + 8$

$(y + 8)$ ocorre $1$ vez.

Etapa 2.6

O fator de $7 - y$ é o próprio $7 - y$ .

$(7 - y) = 7 - y$

$(7 - y)$ ocorre $1$ vez.

Etapa 2.7

O fator de $y - 7$ é o próprio $y - 7$ .

$(y - 7) = y - 7$

$(y - 7)$ ocorre $1$ vez.

Etapa 2.8

O fator de $y + 8$ é o próprio $y + 8$ .

$(y + 8) = y + 8$

$(y + 8)$ ocorre $1$ vez.

Etapa 2.9

O MMC de $y + 8, 7 - y, y - 7, y + 8$ é o resultado da multiplicação de todos os fatores pelo maior número de vezes que eles ocorrem em qualquer um dos termos.

$(y + 8) (7 - y) (y - 7)$

Etapa 3

Multiplique cada termo em $- \frac{7}{y + 8} + \frac{6}{7 - y} = \frac{- 8 y - 9}{(y - 7) (y + 8)}$ por $(y + 8) (7 - y) (y - 7)$ para eliminar as frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Multiplique cada termo em $- \frac{7}{y + 8} + \frac{6}{7 - y} = \frac{- 8 y - 9}{(y - 7) (y + 8)}$ por $(y + 8) (7 - y) (y - 7)$ .

$- \frac{7}{y + 8} ((y + 8) (7 - y) (y - 7)) + \frac{6}{7 - y} ((y + 8) (7 - y) (y - 7)) = \frac{- 8 y - 9}{(y - 7) (y + 8)} ((y + 8) (7 - y) (y - 7))$

Etapa 3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.1

Cancele o fator comum de $y + 8$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.1.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{7}{y + 8}$ para o numerador.

$\frac{- 7}{y + 8} ((y + 8) (7 - y) (y - 7)) + \frac{6}{7 - y} ((y + 8) (7 - y) (y - 7)) = \frac{- 8 y - 9}{(y - 7) (y + 8)} ((y + 8) (7 - y) (y - 7))$

Etapa 3.2.1.1.2

Fatore $y + 8$ de $(y + 8) (7 - y) (y - 7)$ .

$\frac{- 7}{y + 8} ((y + 8) ((7 - y) (y - 7))) + \frac{6}{7 - y} ((y + 8) (7 - y) (y - 7)) = \frac{- 8 y - 9}{(y - 7) (y + 8)} ((y + 8) (7 - y) (y - 7))$

Etapa 3.2.1.1.3

Cancele o fator comum.

$\frac{- 7}{y + 8} ((y + 8) ((7 - y) (y - 7))) + \frac{6}{7 - y} ((y + 8) (7 - y) (y - 7)) = \frac{- 8 y - 9}{(y - 7) (y + 8)} ((y + 8) (7 - y) (y - 7))$

Etapa 3.2.1.1.4

Reescreva a expressão.

$- 7 ((7 - y) (y - 7)) + \frac{6}{7 - y} ((y + 8) (7 - y) (y - 7)) = \frac{- 8 y - 9}{(y - 7) (y + 8)} ((y + 8) (7 - y) (y - 7))$

Etapa 3.2.1.2

Reescreva $7$ como $- 1 (- 7)$ .

$- 7 ((- 1 (- 7) - y) (y - 7)) + \frac{6}{7 - y} ((y + 8) (7 - y) (y - 7)) = \frac{- 8 y - 9}{(y - 7) (y + 8)} ((y + 8) (7 - y) (y - 7))$

Etapa 3.2.1.3

Fatore $- 1$ de $- y$ .

$- 7 ((- 1 (- 7) - (y)) (y - 7)) + \frac{6}{7 - y} ((y + 8) (7 - y) (y - 7)) = \frac{- 8 y - 9}{(y - 7) (y + 8)} ((y + 8) (7 - y) (y - 7))$

Etapa 3.2.1.4

Fatore $- 1$ de $- 1 (- 7) - (y)$ .

$- 7 (- 1 (- 7 + y) (y - 7)) + \frac{6}{7 - y} ((y + 8) (7 - y) (y - 7)) = \frac{- 8 y - 9}{(y - 7) (y + 8)} ((y + 8) (7 - y) (y - 7))$

Etapa 3.2.1.5

Reordene os termos.

$- 7 (- 1 (y - 7) (y - 7)) + \frac{6}{7 - y} ((y + 8) (7 - y) (y - 7)) = \frac{- 8 y - 9}{(y - 7) (y + 8)} ((y + 8) (7 - y) (y - 7))$

Etapa 3.2.1.6

Eleve $y - 7$ à potência de $1$ .

$- 7 (- 1 ({(y - 7)}^{1} (y - 7))) + \frac{6}{7 - y} ((y + 8) (7 - y) (y - 7)) = \frac{- 8 y - 9}{(y - 7) (y + 8)} ((y + 8) (7 - y) (y - 7))$

Etapa 3.2.1.7

Eleve $y - 7$ à potência de $1$ .

$- 7 (- 1 ({(y - 7)}^{1} {(y - 7)}^{1})) + \frac{6}{7 - y} ((y + 8) (7 - y) (y - 7)) = \frac{- 8 y - 9}{(y - 7) (y + 8)} ((y + 8) (7 - y) (y - 7))$

Etapa 3.2.1.8

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- 7 (- 1 {(y - 7)}^{1 + 1}) + \frac{6}{7 - y} ((y + 8) (7 - y) (y - 7)) = \frac{- 8 y - 9}{(y - 7) (y + 8)} ((y + 8) (7 - y) (y - 7))$

Etapa 3.2.1.9

Some $1$ e $1$ .

$- 7 (- 1 {(y - 7)}^{2}) + \frac{6}{7 - y} ((y + 8) (7 - y) (y - 7)) = \frac{- 8 y - 9}{(y - 7) (y + 8)} ((y + 8) (7 - y) (y - 7))$

Etapa 3.2.1.10

Multiplique $- 1$ por $- 7$ .

$7 {(y - 7)}^{2} + \frac{6}{7 - y} ((y + 8) (7 - y) (y - 7)) = \frac{- 8 y - 9}{(y - 7) (y + 8)} ((y + 8) (7 - y) (y - 7))$

Etapa 3.2.1.11

Cancele o fator comum de $7 - y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.11.1

Fatore $7 - y$ de $(y + 8) (7 - y) (y - 7)$ .

$7 {(y - 7)}^{2} + \frac{6}{7 - y} ((7 - y) ((y + 8) (y - 7))) = \frac{- 8 y - 9}{(y - 7) (y + 8)} ((y + 8) (7 - y) (y - 7))$

Etapa 3.2.1.11.2

Cancele o fator comum.

$7 {(y - 7)}^{2} + \frac{6}{7 - y} ((7 - y) ((y + 8) (y - 7))) = \frac{- 8 y - 9}{(y - 7) (y + 8)} ((y + 8) (7 - y) (y - 7))$

Etapa 3.2.1.11.3

Reescreva a expressão.

$7 {(y - 7)}^{2} + 6 ((y + 8) (y - 7)) = \frac{- 8 y - 9}{(y - 7) (y + 8)} ((y + 8) (7 - y) (y - 7))$

Etapa 3.2.1.12

Expanda $(y + 8) (y - 7)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.12.1

Aplique a propriedade distributiva.

$7 {(y - 7)}^{2} + 6 (y (y - 7) + 8 (y - 7)) = \frac{- 8 y - 9}{(y - 7) (y + 8)} ((y + 8) (7 - y) (y - 7))$

Etapa 3.2.1.12.2

Aplique a propriedade distributiva.

$7 {(y - 7)}^{2} + 6 (y \cdot y + y \cdot - 7 + 8 (y - 7)) = \frac{- 8 y - 9}{(y - 7) (y + 8)} ((y + 8) (7 - y) (y - 7))$

Etapa 3.2.1.12.3

Aplique a propriedade distributiva.

$7 {(y - 7)}^{2} + 6 (y \cdot y + y \cdot - 7 + 8 y + 8 \cdot - 7) = \frac{- 8 y - 9}{(y - 7) (y + 8)} ((y + 8) (7 - y) (y - 7))$

Etapa 3.2.1.13

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 3.2.1.13.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.13.1.1

Multiplique $y$ por $y$ .

$7 {(y - 7)}^{2} + 6 (y^{2} + y \cdot - 7 + 8 y + 8 \cdot - 7) = \frac{- 8 y - 9}{(y - 7) (y + 8)} ((y + 8) (7 - y) (y - 7))$

Etapa 3.2.1.13.1.2

Mova $- 7$ para a esquerda de $y$ .

$7 {(y - 7)}^{2} + 6 (y^{2} - 7 \cdot y + 8 y + 8 \cdot - 7) = \frac{- 8 y - 9}{(y - 7) (y + 8)} ((y + 8) (7 - y) (y - 7))$

Etapa 3.2.1.13.1.3

Multiplique $8$ por $- 7$ .

$7 {(y - 7)}^{2} + 6 (y^{2} - 7 y + 8 y - 56) = \frac{- 8 y - 9}{(y - 7) (y + 8)} ((y + 8) (7 - y) (y - 7))$

Etapa 3.2.1.13.2

Some $- 7 y$ e $8 y$ .

$7 {(y - 7)}^{2} + 6 (y^{2} + y - 56) = \frac{- 8 y - 9}{(y - 7) (y + 8)} ((y + 8) (7 - y) (y - 7))$

Etapa 3.2.1.14

Aplique a propriedade distributiva.

$7 {(y - 7)}^{2} + 6 y^{2} + 6 y + 6 \cdot - 56 = \frac{- 8 y - 9}{(y - 7) (y + 8)} ((y + 8) (7 - y) (y - 7))$

Etapa 3.2.1.15

Multiplique $6$ por $- 56$ .

$7 {(y - 7)}^{2} + 6 y^{2} + 6 y - 336 = \frac{- 8 y - 9}{(y - 7) (y + 8)} ((y + 8) (7 - y) (y - 7))$

Etapa 3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.3.1

Cancele o fator comum de $(y + 8) (y - 7)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1.1

Fatore $(y + 8) (y - 7)$ de $(y - 7) (y + 8)$ .

$7 {(y - 7)}^{2} + 6 y^{2} + 6 y - 336 = \frac{- 8 y - 9}{(y + 8) (y - 7) (1)} ((y + 8) (7 - y) (y - 7))$

Etapa 3.3.1.2

Fatore $(y + 8) (y - 7)$ de $(y + 8) (7 - y) (y - 7)$ .

$7 {(y - 7)}^{2} + 6 y^{2} + 6 y - 336 = \frac{- 8 y - 9}{(y + 8) (y - 7) (1)} ((y + 8) (y - 7) (7 - y))$

Etapa 3.3.1.3

Cancele o fator comum.

$7 {(y - 7)}^{2} + 6 y^{2} + 6 y - 336 = \frac{- 8 y - 9}{(y + 8) (y - 7) \cdot 1} ((y + 8) (y - 7) (7 - y))$

Etapa 3.3.1.4

Reescreva a expressão.

$7 {(y - 7)}^{2} + 6 y^{2} + 6 y - 336 = (- 8 y - 9) (7 - y)$

Etapa 3.3.2

Expanda $(- 8 y - 9) (7 - y)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$7 {(y - 7)}^{2} + 6 y^{2} + 6 y - 336 = - 8 y (7 - y) - 9 (7 - y)$

Etapa 3.3.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$7 {(y - 7)}^{2} + 6 y^{2} + 6 y - 336 = - 8 y \cdot 7 - 8 y (- y) - 9 (7 - y)$

Etapa 3.3.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$7 {(y - 7)}^{2} + 6 y^{2} + 6 y - 336 = - 8 y \cdot 7 - 8 y (- y) - 9 \cdot 7 - 9 (- y)$

Etapa 3.3.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 3.3.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.3.1.1

Multiplique $7$ por $- 8$ .

$7 {(y - 7)}^{2} + 6 y^{2} + 6 y - 336 = - 56 y - 8 y (- y) - 9 \cdot 7 - 9 (- y)$

Etapa 3.3.3.1.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$7 {(y - 7)}^{2} + 6 y^{2} + 6 y - 336 = - 56 y - 8 \cdot - 1 y \cdot y - 9 \cdot 7 - 9 (- y)$

Etapa 3.3.3.1.3

Multiplique $y$ por $y$ somando os expoentes.

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Etapa 3.3.3.1.3.1

Mova $y$ .

$7 {(y - 7)}^{2} + 6 y^{2} + 6 y - 336 = - 56 y - 8 \cdot - 1 (y \cdot y) - 9 \cdot 7 - 9 (- y)$

Etapa 3.3.3.1.3.2

Multiplique $y$ por $y$ .

$7 {(y - 7)}^{2} + 6 y^{2} + 6 y - 336 = - 56 y - 8 \cdot - 1 y^{2} - 9 \cdot 7 - 9 (- y)$

Etapa 3.3.3.1.4

Multiplique $- 8$ por $- 1$ .

$7 {(y - 7)}^{2} + 6 y^{2} + 6 y - 336 = - 56 y + 8 y^{2} - 9 \cdot 7 - 9 (- y)$

Etapa 3.3.3.1.5

Multiplique $- 9$ por $7$ .

$7 {(y - 7)}^{2} + 6 y^{2} + 6 y - 336 = - 56 y + 8 y^{2} - 63 - 9 (- y)$

Etapa 3.3.3.1.6

Multiplique $- 1$ por $- 9$ .

$7 {(y - 7)}^{2} + 6 y^{2} + 6 y - 336 = - 56 y + 8 y^{2} - 63 + 9 y$

Etapa 3.3.3.2

Some $- 56 y$ e $9 y$ .

$7 {(y - 7)}^{2} + 6 y^{2} + 6 y - 336 = - 47 y + 8 y^{2} - 63$

Etapa 4

Resolva a equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Mova todos os termos que contêm $y$ para o lado esquerdo da equação.

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Etapa 4.1.1

Some $47 y$ aos dois lados da equação.

$7 {(y - 7)}^{2} + 6 y^{2} + 6 y - 336 + 47 y = 8 y^{2} - 63$

Etapa 4.1.2

Subtraia $8 y^{2}$ dos dois lados da equação.

$7 {(y - 7)}^{2} + 6 y^{2} + 6 y - 336 + 47 y - 8 y^{2} = - 63$

Etapa 4.1.3

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.3.1

Reescreva ${(y - 7)}^{2}$ como $(y - 7) (y - 7)$ .

$7 ((y - 7) (y - 7)) + 6 y^{2} + 6 y - 336 + 47 y - 8 y^{2} = - 63$

Etapa 4.1.3.2

Expanda $(y - 7) (y - 7)$ usando o método FOIL.

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Etapa 4.1.3.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$7 (y (y - 7) - 7 (y - 7)) + 6 y^{2} + 6 y - 336 + 47 y - 8 y^{2} = - 63$

Etapa 4.1.3.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$7 (y \cdot y + y \cdot - 7 - 7 (y - 7)) + 6 y^{2} + 6 y - 336 + 47 y - 8 y^{2} = - 63$

Etapa 4.1.3.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$7 (y \cdot y + y \cdot - 7 - 7 y - 7 \cdot - 7) + 6 y^{2} + 6 y - 336 + 47 y - 8 y^{2} = - 63$

Etapa 4.1.3.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 4.1.3.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.3.3.1.1

Multiplique $y$ por $y$ .

$7 (y^{2} + y \cdot - 7 - 7 y - 7 \cdot - 7) + 6 y^{2} + 6 y - 336 + 47 y - 8 y^{2} = - 63$

Etapa 4.1.3.3.1.2

Mova $- 7$ para a esquerda de $y$ .

$7 (y^{2} - 7 \cdot y - 7 y - 7 \cdot - 7) + 6 y^{2} + 6 y - 336 + 47 y - 8 y^{2} = - 63$

Etapa 4.1.3.3.1.3

Multiplique $- 7$ por $- 7$ .

$7 (y^{2} - 7 y - 7 y + 49) + 6 y^{2} + 6 y - 336 + 47 y - 8 y^{2} = - 63$

Etapa 4.1.3.3.2

Subtraia $7 y$ de $- 7 y$ .

$7 (y^{2} - 14 y + 49) + 6 y^{2} + 6 y - 336 + 47 y - 8 y^{2} = - 63$

Etapa 4.1.3.4

Aplique a propriedade distributiva.

$7 y^{2} + 7 (- 14 y) + 7 \cdot 49 + 6 y^{2} + 6 y - 336 + 47 y - 8 y^{2} = - 63$

Etapa 4.1.3.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.3.5.1

Multiplique $- 14$ por $7$ .

$7 y^{2} - 98 y + 7 \cdot 49 + 6 y^{2} + 6 y - 336 + 47 y - 8 y^{2} = - 63$

Etapa 4.1.3.5.2

Multiplique $7$ por $49$ .

$7 y^{2} - 98 y + 343 + 6 y^{2} + 6 y - 336 + 47 y - 8 y^{2} = - 63$

Etapa 4.1.4

Some $7 y^{2}$ e $6 y^{2}$ .

$13 y^{2} - 98 y + 343 + 6 y - 336 + 47 y - 8 y^{2} = - 63$

Etapa 4.1.5

Subtraia $8 y^{2}$ de $13 y^{2}$ .

$5 y^{2} - 98 y + 343 + 6 y - 336 + 47 y = - 63$

Etapa 4.1.6

Some $- 98 y$ e $6 y$ .

$5 y^{2} - 92 y + 343 - 336 + 47 y = - 63$

Etapa 4.1.7

Some $- 92 y$ e $47 y$ .

$5 y^{2} - 45 y + 343 - 336 = - 63$

Etapa 4.1.8

Subtraia $336$ de $343$ .

$5 y^{2} - 45 y + 7 = - 63$

Etapa 4.2

Some $63$ aos dois lados da equação.

$5 y^{2} - 45 y + 7 + 63 = 0$

Etapa 4.3

Some $7$ e $63$ .

$5 y^{2} - 45 y + 70 = 0$

Etapa 4.4

Fatore o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.4.1

Fatore $5$ de $5 y^{2} - 45 y + 70$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.4.1.1

Fatore $5$ de $5 y^{2}$ .

$5 (y^{2}) - 45 y + 70 = 0$

Etapa 4.4.1.2

Fatore $5$ de $- 45 y$ .

$5 (y^{2}) + 5 (- 9 y) + 70 = 0$

Etapa 4.4.1.3

Fatore $5$ de $70$ .

$5 y^{2} + 5 (- 9 y) + 5 \cdot 14 = 0$

Etapa 4.4.1.4

Fatore $5$ de $5 y^{2} + 5 (- 9 y)$ .

$5 (y^{2} - 9 y) + 5 \cdot 14 = 0$

Etapa 4.4.1.5

Fatore $5$ de $5 (y^{2} - 9 y) + 5 \cdot 14$ .

$5 (y^{2} - 9 y + 14) = 0$

Etapa 4.4.2

Fatore.

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Etapa 4.4.2.1

Fatore $y^{2} - 9 y + 14$ usando o método AC.

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Etapa 4.4.2.1.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $14$ e cuja soma é $- 9$ .

$- 7, - 2$

Etapa 4.4.2.1.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$5 ((y - 7) (y - 2)) = 0$

Etapa 4.4.2.2

Remova os parênteses desnecessários.

$5 (y - 7) (y - 2) = 0$

Etapa 4.5

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$y - 7 = 0$

$y - 2 = 0$

Etapa 4.6

Defina $y - 7$ como igual a $0$ e resolva para $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.6.1

Defina $y - 7$ como igual a $0$ .

$y - 7 = 0$

Etapa 4.6.2

Some $7$ aos dois lados da equação.

$y = 7$

Etapa 4.7

Defina $y - 2$ como igual a $0$ e resolva para $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.7.1

Defina $y - 2$ como igual a $0$ .

$y - 2 = 0$

Etapa 4.7.2

Some $2$ aos dois lados da equação.

$y = 2$

Etapa 4.8

A solução final são todos os valores que tornam $5 (y - 7) (y - 2) = 0$ verdadeiro.

$y = 7, 2$

Etapa 5

Exclua as soluções que não tornam $\frac{- 7}{y + 8} + \frac{6}{7 - y} = \frac{(- 8) y - 9}{y^{2} + y - 56}$ verdadeira.

$y = 2$