Pré-cálculo Exemplos

$\sin (4 θ) \cos (2 θ)$

Etapa 1

Fatore $2$ de $4 θ$ .

$\sin (2 (2 θ)) \cos (2 θ)$

Etapa 2

Aplique a fórmula do arco duplo do seno.

$2 (2 \sin (θ) \cos (θ)) \cos (2 θ) \cos (2 θ)$

Etapa 3

Multiplique $2$ por $2$ .

$4 (\sin (θ) \cos (θ)) \cos (2 θ) \cos (2 θ)$

Etapa 4

Use a fórmula do arco duplo para transformar $\cos (2 x)$ em $2 \cos^{2} (x) - 1$ .

$4 \sin (θ) \cos (θ) (2 \cos^{2} (θ) - 1) \cos (2 θ)$

Etapa 5

Aplique a propriedade distributiva.

$(4 \sin (θ) \cos (θ) (2 \cos^{2} (θ)) + 4 \sin (θ) \cos (θ) \cdot - 1) \cos (2 θ)$

Etapa 6

Multiplique $\cos (θ)$ por $\cos^{2} (θ)$ somando os expoentes.

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Etapa 6.1

Mova $\cos^{2} (θ)$ .

$(4 \sin (θ) (\cos^{2} (θ) \cos (θ)) \cdot 2 + 4 \sin (θ) \cos (θ) \cdot - 1) \cos (2 θ)$

Etapa 6.2

Multiplique $\cos^{2} (θ)$ por $\cos (θ)$ .

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Etapa 6.2.1

Eleve $\cos (θ)$ à potência de $1$ .

$(4 \sin (θ) (\cos^{2} (θ) \cos^{1} (θ)) \cdot 2 + 4 \sin (θ) \cos (θ) \cdot - 1) \cos (2 θ)$

Etapa 6.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$(4 \sin (θ) {\cos (θ)}^{2 + 1} \cdot 2 + 4 \sin (θ) \cos (θ) \cdot - 1) \cos (2 θ)$

Etapa 6.3

Some $2$ e $1$ .

$(4 \sin (θ) \cos^{3} (θ) \cdot 2 + 4 \sin (θ) \cos (θ) \cdot - 1) \cos (2 θ)$

Etapa 7

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$(4 \sin (θ) \cos^{3} (θ) \cdot 2 - 4 \sin (θ) \cos (θ)) \cos (2 θ)$

Etapa 8

Multiplique $2$ por $4$ .

$(8 \sin (θ) \cos^{3} (θ) - 4 \sin (θ) \cos (θ)) \cos (2 θ)$

Etapa 9

Use a fórmula do arco duplo para transformar $\cos (2 x)$ em $1 - 2 \sin^{2} (x)$ .

$(8 \sin (θ) \cos^{3} (θ) - 4 \sin (θ) \cos (θ)) (1 - 2 \sin^{2} (θ))$

Etapa 10

Expanda $(8 \sin (θ) \cos^{3} (θ) - 4 \sin (θ) \cos (θ)) (1 - 2 \sin^{2} (θ))$ usando o método FOIL.

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Etapa 10.1

Aplique a propriedade distributiva.

$8 \sin (θ) \cos^{3} (θ) (1 - 2 \sin^{2} (θ)) - 4 \sin (θ) \cos (θ) (1 - 2 \sin^{2} (θ))$

Etapa 10.2

Aplique a propriedade distributiva.

$8 \sin (θ) \cos^{3} (θ) \cdot 1 + 8 \sin (θ) \cos^{3} (θ) (- 2 \sin^{2} (θ)) - 4 \sin (θ) \cos (θ) (1 - 2 \sin^{2} (θ))$

Etapa 10.3

Aplique a propriedade distributiva.

$8 \sin (θ) \cos^{3} (θ) \cdot 1 + 8 \sin (θ) \cos^{3} (θ) (- 2 \sin^{2} (θ)) - 4 \sin (θ) \cos (θ) \cdot 1 - 4 \sin (θ) \cos (θ) (- 2 \sin^{2} (θ))$

Etapa 11

Simplifique os termos.

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Etapa 11.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 11.1.1

Multiplique $8$ por $1$ .

$8 \sin (θ) \cos^{3} (θ) + 8 \sin (θ) \cos^{3} (θ) (- 2 \sin^{2} (θ)) - 4 \sin (θ) \cos (θ) \cdot 1 - 4 \sin (θ) \cos (θ) (- 2 \sin^{2} (θ))$

Etapa 11.1.2

Multiplique $\sin (θ)$ por $\sin^{2} (θ)$ somando os expoentes.

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Etapa 11.1.2.1

Mova $\sin^{2} (θ)$ .

$8 \sin (θ) \cos^{3} (θ) + 8 (\sin^{2} (θ) \sin (θ)) \cos^{3} (θ) \cdot - 2 - 4 \sin (θ) \cos (θ) \cdot 1 - 4 \sin (θ) \cos (θ) (- 2 \sin^{2} (θ))$

Etapa 11.1.2.2

Multiplique $\sin^{2} (θ)$ por $\sin (θ)$ .

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Etapa 11.1.2.2.1

Eleve $\sin (θ)$ à potência de $1$ .

$8 \sin (θ) \cos^{3} (θ) + 8 (\sin^{2} (θ) \sin^{1} (θ)) \cos^{3} (θ) \cdot - 2 - 4 \sin (θ) \cos (θ) \cdot 1 - 4 \sin (θ) \cos (θ) (- 2 \sin^{2} (θ))$

Etapa 11.1.2.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$8 \sin (θ) \cos^{3} (θ) + 8 {\sin (θ)}^{2 + 1} \cos^{3} (θ) \cdot - 2 - 4 \sin (θ) \cos (θ) \cdot 1 - 4 \sin (θ) \cos (θ) (- 2 \sin^{2} (θ))$

Etapa 11.1.2.3

Some $2$ e $1$ .

$8 \sin (θ) \cos^{3} (θ) + 8 \sin^{3} (θ) \cos^{3} (θ) \cdot - 2 - 4 \sin (θ) \cos (θ) \cdot 1 - 4 \sin (θ) \cos (θ) (- 2 \sin^{2} (θ))$

Etapa 11.1.3

Multiplique $- 2$ por $8$ .

$8 \sin (θ) \cos^{3} (θ) - 16 \sin^{3} (θ) \cos^{3} (θ) - 4 \sin (θ) \cos (θ) \cdot 1 - 4 \sin (θ) \cos (θ) (- 2 \sin^{2} (θ))$

Etapa 11.1.4

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$8 \sin (θ) \cos^{3} (θ) - 16 \sin^{3} (θ) \cos^{3} (θ) - 4 \sin (θ) \cos (θ) - 4 \sin (θ) \cos (θ) (- 2 \sin^{2} (θ))$

Etapa 11.1.5

Multiplique $\sin (θ)$ por $\sin^{2} (θ)$ somando os expoentes.

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Etapa 11.1.5.1

Mova $\sin^{2} (θ)$ .

$8 \sin (θ) \cos^{3} (θ) - 16 \sin^{3} (θ) \cos^{3} (θ) - 4 \sin (θ) \cos (θ) - 4 (\sin^{2} (θ) \sin (θ)) \cos (θ) \cdot - 2$

Etapa 11.1.5.2

Multiplique $\sin^{2} (θ)$ por $\sin (θ)$ .

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Etapa 11.1.5.2.1

Eleve $\sin (θ)$ à potência de $1$ .

$8 \sin (θ) \cos^{3} (θ) - 16 \sin^{3} (θ) \cos^{3} (θ) - 4 \sin (θ) \cos (θ) - 4 (\sin^{2} (θ) \sin^{1} (θ)) \cos (θ) \cdot - 2$

Etapa 11.1.5.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$8 \sin (θ) \cos^{3} (θ) - 16 \sin^{3} (θ) \cos^{3} (θ) - 4 \sin (θ) \cos (θ) - 4 {\sin (θ)}^{2 + 1} \cos (θ) \cdot - 2$

Etapa 11.1.5.3

Some $2$ e $1$ .

$8 \sin (θ) \cos^{3} (θ) - 16 \sin^{3} (θ) \cos^{3} (θ) - 4 \sin (θ) \cos (θ) - 4 \sin^{3} (θ) \cos (θ) \cdot - 2$

Etapa 11.1.6

Multiplique $- 2$ por $- 4$ .

$8 \sin (θ) \cos^{3} (θ) - 16 \sin^{3} (θ) \cos^{3} (θ) - 4 \sin (θ) \cos (θ) + 8 \sin^{3} (θ) \cos (θ)$

Etapa 11.2

Simplifique com fatoração.

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Etapa 11.2.1

Fatore $4 \sin (θ) \cos (θ)$ de $8 \sin (θ) \cos^{3} (θ) - 16 \sin^{3} (θ) \cos^{3} (θ) - 4 \sin (θ) \cos (θ) + 8 \sin^{3} (θ) \cos (θ)$ .

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Etapa 11.2.1.1

Fatore $4 \sin (θ) \cos (θ)$ de $8 \sin (θ) \cos^{3} (θ)$ .

$4 \sin (θ) \cos (θ) (2 \cos^{2} (θ)) - 16 \sin^{3} (θ) \cos^{3} (θ) - 4 \sin (θ) \cos (θ) + 8 \sin^{3} (θ) \cos (θ)$

Etapa 11.2.1.2

Fatore $4 \sin (θ) \cos (θ)$ de $- 16 \sin^{3} (θ) \cos^{3} (θ)$ .

$4 \sin (θ) \cos (θ) (2 \cos^{2} (θ)) + 4 \sin (θ) \cos (θ) (- 4 \sin^{2} (θ) \cos^{2} (θ)) - 4 \sin (θ) \cos (θ) + 8 \sin^{3} (θ) \cos (θ)$

Etapa 11.2.1.3

Fatore $4 \sin (θ) \cos (θ)$ de $- 4 \sin (θ) \cos (θ)$ .

$4 \sin (θ) \cos (θ) (2 \cos^{2} (θ)) + 4 \sin (θ) \cos (θ) (- 4 \sin^{2} (θ) \cos^{2} (θ)) + 4 \sin (θ) \cos (θ) (- 1) + 8 \sin^{3} (θ) \cos (θ)$

Etapa 11.2.1.4

Fatore $4 \sin (θ) \cos (θ)$ de $8 \sin^{3} (θ) \cos (θ)$ .

$4 \sin (θ) \cos (θ) (2 \cos^{2} (θ)) + 4 \sin (θ) \cos (θ) (- 4 \sin^{2} (θ) \cos^{2} (θ)) + 4 \sin (θ) \cos (θ) (- 1) + 4 \sin (θ) \cos (θ) (2 \sin^{2} (θ))$

Etapa 11.2.1.5

Fatore $4 \sin (θ) \cos (θ)$ de $4 \sin (θ) \cos (θ) (2 \cos^{2} (θ)) + 4 \sin (θ) \cos (θ) (- 4 \sin^{2} (θ) \cos^{2} (θ))$ .

$4 \sin (θ) \cos (θ) (2 \cos^{2} (θ) - 4 \sin^{2} (θ) \cos^{2} (θ)) + 4 \sin (θ) \cos (θ) (- 1) + 4 \sin (θ) \cos (θ) (2 \sin^{2} (θ))$

Etapa 11.2.1.6

Fatore $4 \sin (θ) \cos (θ)$ de $4 \sin (θ) \cos (θ) (2 \cos^{2} (θ) - 4 \sin^{2} (θ) \cos^{2} (θ)) + 4 \sin (θ) \cos (θ) (- 1)$ .

$4 \sin (θ) \cos (θ) (2 \cos^{2} (θ) - 4 \sin^{2} (θ) \cos^{2} (θ) - 1) + 4 \sin (θ) \cos (θ) (2 \sin^{2} (θ))$

Etapa 11.2.1.7

Fatore $4 \sin (θ) \cos (θ)$ de $4 \sin (θ) \cos (θ) (2 \cos^{2} (θ) - 4 \sin^{2} (θ) \cos^{2} (θ) - 1) + 4 \sin (θ) \cos (θ) (2 \sin^{2} (θ))$ .

$4 \sin (θ) \cos (θ) (2 \cos^{2} (θ) - 4 \sin^{2} (θ) \cos^{2} (θ) - 1 + 2 \sin^{2} (θ))$

Etapa 11.2.2

Mova $2 \sin^{2} (θ)$ .

$4 \sin (θ) \cos (θ) (2 \cos^{2} (θ) + 2 \sin^{2} (θ) - 4 \sin^{2} (θ) \cos^{2} (θ) - 1)$

Etapa 11.2.3

Fatore $2$ de $2 \cos^{2} (θ)$ .

$4 \sin (θ) \cos (θ) (2 (\cos^{2} (θ)) + 2 \sin^{2} (θ) - 4 \sin^{2} (θ) \cos^{2} (θ) - 1)$

Etapa 11.2.4

Fatore $2$ de $2 \sin^{2} (θ)$ .

$4 \sin (θ) \cos (θ) (2 (\cos^{2} (θ)) + 2 (\sin^{2} (θ)) - 4 \sin^{2} (θ) \cos^{2} (θ) - 1)$

Etapa 11.2.5

Fatore $2$ de $2 (\cos^{2} (θ)) + 2 (\sin^{2} (θ))$ .

$4 \sin (θ) \cos (θ) (2 (\cos^{2} (θ) + \sin^{2} (θ)) - 4 \sin^{2} (θ) \cos^{2} (θ) - 1)$

Etapa 12

Reorganize os termos.

$4 \sin (θ) \cos (θ) (2 (\sin^{2} (θ) + \cos^{2} (θ)) - 4 \sin^{2} (θ) \cos^{2} (θ) - 1)$

Etapa 13

Aplique a identidade trigonométrica fundamental.

$4 \sin (θ) \cos (θ) (2 \cdot 1 - 4 \sin^{2} (θ) \cos^{2} (θ) - 1)$

Etapa 14

Simplifique multiplicando.

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Etapa 14.1

Multiplique $2$ por $1$ .

$4 \sin (θ) \cos (θ) (2 - 4 \sin^{2} (θ) \cos^{2} (θ) - 1)$

Etapa 14.2

Subtraia $1$ de $2$ .

$4 \sin (θ) \cos (θ) (- 4 \sin^{2} (θ) \cos^{2} (θ) + 1)$

Etapa 14.3

Aplique a propriedade distributiva.

$4 \sin (θ) \cos (θ) (- 4 \sin^{2} (θ) \cos^{2} (θ)) + 4 \sin (θ) \cos (θ) \cdot 1$

Etapa 15

Multiplique $\sin (θ)$ por $\sin^{2} (θ)$ somando os expoentes.

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Etapa 15.1

Mova $\sin^{2} (θ)$ .

$4 (\sin^{2} (θ) \sin (θ)) \cos (θ) (- 4 \cos^{2} (θ)) + 4 \sin (θ) \cos (θ) \cdot 1$

Etapa 15.2

Multiplique $\sin^{2} (θ)$ por $\sin (θ)$ .

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Etapa 15.2.1

Eleve $\sin (θ)$ à potência de $1$ .

$4 (\sin^{2} (θ) \sin^{1} (θ)) \cos (θ) (- 4 \cos^{2} (θ)) + 4 \sin (θ) \cos (θ) \cdot 1$

Etapa 15.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$4 {\sin (θ)}^{2 + 1} \cos (θ) (- 4 \cos^{2} (θ)) + 4 \sin (θ) \cos (θ) \cdot 1$

Etapa 15.3

Some $2$ e $1$ .

$4 \sin^{3} (θ) \cos (θ) (- 4 \cos^{2} (θ)) + 4 \sin (θ) \cos (θ) \cdot 1$

Etapa 16

Multiplique $4$ por $1$ .

$4 \sin^{3} (θ) \cos (θ) (- 4 \cos^{2} (θ)) + 4 \sin (θ) \cos (θ)$

Etapa 17

Simplifique cada termo.

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Etapa 17.1

Multiplique $\cos (θ)$ por $\cos^{2} (θ)$ somando os expoentes.

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Etapa 17.1.1

Mova $\cos^{2} (θ)$ .

$4 \sin^{3} (θ) (\cos^{2} (θ) \cos (θ)) \cdot - 4 + 4 \sin (θ) \cos (θ)$

Etapa 17.1.2

Multiplique $\cos^{2} (θ)$ por $\cos (θ)$ .

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Etapa 17.1.2.1

Eleve $\cos (θ)$ à potência de $1$ .

$4 \sin^{3} (θ) (\cos^{2} (θ) \cos^{1} (θ)) \cdot - 4 + 4 \sin (θ) \cos (θ)$

Etapa 17.1.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$4 \sin^{3} (θ) {\cos (θ)}^{2 + 1} \cdot - 4 + 4 \sin (θ) \cos (θ)$

Etapa 17.1.3

Some $2$ e $1$ .

$4 \sin^{3} (θ) \cos^{3} (θ) \cdot - 4 + 4 \sin (θ) \cos (θ)$

Etapa 17.2

Multiplique $- 4$ por $4$ .

$- 16 \sin^{3} (θ) \cos^{3} (θ) + 4 \sin (θ) \cos (θ)$