Pré-cálculo Exemplos

$\frac{x^{4} - 81}{x^{2} - 3 x}$

Etapa 1

Encontre onde a expressão $\frac{x^{4} - 81}{x^{2} - 3 x}$ é indefinida.

$x = 0, x = 3$

Etapa 2

$\frac{x^{4} - 81}{x^{2} - 3 x}$ $\to$ $- \infty$ como $x$ $\to$ $0$ a partir da esquerda e $\frac{x^{4} - 81}{x^{2} - 3 x}$ $\to$ $\infty$ como $x$ $\to$ $0$ a partir da direita, então, (EQUATION6 ) é uma assíntota vertical.

$x = 0$

Etapa 3

Considere a função racional $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ , em que $n$ é o grau do numerador e $m$ é o grau do denominador.

1. Se $n < m$ , então o eixo x, $y = 0$ , será a assíntota horizontal.

2. Se $n = m$ , então a assíntota horizontal será a linha $y = \frac{a}{b}$ .

3. Se $n > m$ , então não haverá assíntota horizontal (haverá uma assíntota oblíqua).

Etapa 4

Encontre $n$ e $m$ .

$n = 4$

$m = 2$

Etapa 5

Como $n > m$ , não há assíntota horizontal.

Nenhuma assíntota horizontal

Etapa 6

Encontre a assíntota oblíqua usando a divisão polinomial.

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Etapa 6.1

Simplifique a expressão.

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Etapa 6.1.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 6.1.1.1

Reescreva $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$\frac{{(x^{2})}^{2} - 81}{x^{2} - 3 x}$

Etapa 6.1.1.2

Reescreva $81$ como $9^{2}$ .

$\frac{{(x^{2})}^{2} - 9^{2}}{x^{2} - 3 x}$

Etapa 6.1.1.3

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x^{2}$ e $b = 9$ .

$\frac{(x^{2} + 9) (x^{2} - 9)}{x^{2} - 3 x}$

Etapa 6.1.1.4

Simplifique.

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Etapa 6.1.1.4.1

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$\frac{(x^{2} + 9) (x^{2} - 3^{2})}{x^{2} - 3 x}$

Etapa 6.1.1.4.2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 3$ .

$\frac{(x^{2} + 9) (x + 3) (x - 3)}{x^{2} - 3 x}$

Etapa 6.1.2

Simplifique os termos.

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Etapa 6.1.2.1

Fatore $x$ de $x^{2} - 3 x$ .

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Etapa 6.1.2.1.1

Fatore $x$ de $x^{2}$ .

$\frac{(x^{2} + 9) (x + 3) (x - 3)}{x \cdot x - 3 x}$

Etapa 6.1.2.1.2

Fatore $x$ de $- 3 x$ .

$\frac{(x^{2} + 9) (x + 3) (x - 3)}{x \cdot x + x \cdot - 3}$

Etapa 6.1.2.1.3

Fatore $x$ de $x \cdot x + x \cdot - 3$ .

$\frac{(x^{2} + 9) (x + 3) (x - 3)}{x (x - 3)}$

Etapa 6.1.2.2

Cancele o fator comum de $x - 3$ .

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Etapa 6.1.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{(x^{2} + 9) (x + 3) (x - 3)}{x (x - 3)}$

Etapa 6.1.2.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{(x^{2} + 9) (x + 3)}{x}$

Etapa 6.2

Expanda $(x^{2} + 9) (x + 3)$ .

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Etapa 6.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x^{2} (x + 3) + 9 (x + 3)}{x}$

Etapa 6.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x^{2} x + x^{2} \cdot 3 + 9 (x + 3)}{x}$

Etapa 6.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x^{2} x + x^{2} \cdot 3 + 9 x + 9 \cdot 3}{x}$

Etapa 6.2.4

Reordene $x^{2}$ e $3$ .

$\frac{x^{2} x + 3 x^{2} + 9 x + 9 \cdot 3}{x}$

Etapa 6.2.5

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{x^{2} x + 3 x^{2} + 9 x + 9 \cdot 3}{x}$

Etapa 6.2.6

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{x^{2 + 1} + 3 x^{2} + 9 x + 9 \cdot 3}{x}$

Etapa 6.2.7

Some $2$ e $1$ .

$\frac{x^{3} + 3 x^{2} + 9 x + 9 \cdot 3}{x}$

Etapa 6.2.8

Multiplique $9$ por $3$ .

$\frac{x^{3} + 3 x^{2} + 9 x + 27}{x}$

Etapa 6.3

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$x$

$0$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$9 x$

$27$

Etapa 6.4

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $x^{3}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	+	$0$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$9 x$	+	$27$

Etapa 6.5

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$x^{2}$
$x$	+	$0$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$9 x$	+	$27$
			+	$x^{3}$	+	$0$

Etapa 6.6

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $x^{3} + 0$ .

				$x^{2}$
$x$	+	$0$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$9 x$	+	$27$
			-	$x^{3}$	-	$0$

Etapa 6.7

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$x^{2}$
$x$	+	$0$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$9 x$	+	$27$
			-	$x^{3}$	-	$0$
					+	$3 x^{2}$

Etapa 6.8

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$x^{2}$
$x$	+	$0$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$9 x$	+	$27$
			-	$x^{3}$	-	$0$
					+	$3 x^{2}$	+	$9 x$

Etapa 6.9

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $3 x^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

				$x^{2}$	+	$3 x$
$x$	+	$0$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$9 x$	+	$27$
			-	$x^{3}$	-	$0$
					+	$3 x^{2}$	+	$9 x$

Etapa 6.10

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$x^{2}$	+	$3 x$
$x$	+	$0$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$9 x$	+	$27$
			-	$x^{3}$	-	$0$
					+	$3 x^{2}$	+	$9 x$
					+	$3 x^{2}$	+	$0$

Etapa 6.11

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $3 x^{2} + 0$ .

				$x^{2}$	+	$3 x$
$x$	+	$0$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$9 x$	+	$27$
			-	$x^{3}$	-	$0$
					+	$3 x^{2}$	+	$9 x$
					-	$3 x^{2}$	-	$0$

Etapa 6.12

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$x^{2}$	+	$3 x$
$x$	+	$0$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$9 x$	+	$27$
			-	$x^{3}$	-	$0$
					+	$3 x^{2}$	+	$9 x$
					-	$3 x^{2}$	-	$0$
							+	$9 x$

Etapa 6.13

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$x^{2}$	+	$3 x$
$x$	+	$0$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$9 x$	+	$27$
			-	$x^{3}$	-	$0$
					+	$3 x^{2}$	+	$9 x$
					-	$3 x^{2}$	-	$0$
							+	$9 x$	+	$27$

Etapa 6.14

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $9 x$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

				$x^{2}$	+	$3 x$	+	$9$
$x$	+	$0$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$9 x$	+	$27$
			-	$x^{3}$	-	$0$
					+	$3 x^{2}$	+	$9 x$
					-	$3 x^{2}$	-	$0$
							+	$9 x$	+	$27$

Etapa 6.15

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$x^{2}$	+	$3 x$	+	$9$
$x$	+	$0$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$9 x$	+	$27$
			-	$x^{3}$	-	$0$
					+	$3 x^{2}$	+	$9 x$
					-	$3 x^{2}$	-	$0$
							+	$9 x$	+	$27$
							+	$9 x$	+	$0$

Etapa 6.16

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $9 x + 0$ .

				$x^{2}$	+	$3 x$	+	$9$
$x$	+	$0$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$9 x$	+	$27$
			-	$x^{3}$	-	$0$
					+	$3 x^{2}$	+	$9 x$
					-	$3 x^{2}$	-	$0$
							+	$9 x$	+	$27$
							-	$9 x$	-	$0$

Etapa 6.17

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$x^{2}$	+	$3 x$	+	$9$
$x$	+	$0$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$9 x$	+	$27$
			-	$x^{3}$	-	$0$
					+	$3 x^{2}$	+	$9 x$
					-	$3 x^{2}$	-	$0$
							+	$9 x$	+	$27$
							-	$9 x$	-	$0$
									+	$27$

Etapa 6.18

A resposta final é o quociente mais o resto sobre o divisor.

$x^{2} + 3 x + 9 + \frac{27}{x}$

Etapa 6.19

Divida a solução na parte polinomial e no resto.

$x^{2} + 3 x + 9 + \frac{27 x - 81}{x^{2} - 3 x}$

Etapa 6.20

A assíntota oblíqua é a parte polinomial do resultado da divisão longa.

$y = x^{2} + 3 x + 9$

Etapa 7

Este é o conjunto de todas as assíntotas.

Assíntotas verticais: $x = 0$

Nenhuma assíntota horizontal

Assíntotas oblíquas: $y = x^{2} + 3 x + 9$

Etapa 8