Pré-cálculo Exemplos

$4 x^{4} + 8 x^{3} - 7 x^{2} - 21 x - 9$

Etapa 1

Se uma função polinomial tiver coeficientes inteiros, então todo zero racional terá a forma $\frac{p}{q}$ , em que $p$ é um fator da constante e $q$ é um fator do coeficiente de maior ordem.

$p = \pm 1, \pm 3, \pm 9$

$q = \pm 1, \pm 2, \pm 4$

Etapa 2

Encontre todas as combinações de $\pm \frac{p}{q}$ . Essas são as raízes possíveis da função polinomial.

$\pm 1, \pm \frac{1}{2}, \pm \frac{1}{4}, \pm 3, \pm \frac{3}{2}, \pm \frac{3}{4}, \pm 9, \pm \frac{9}{2}, \pm \frac{9}{4}$

Etapa 3

Substitua cada raiz possível no polinômio para encontrar as raízes reais. Simplifique para verificar se o valor é $0$ , o que significa que é uma raiz.

$4 {(- \frac{3}{2})}^{4} + 8 {(- \frac{3}{2})}^{3} - 7 {(- \frac{3}{2})}^{2} - 21 (- \frac{3}{2}) - 9$

Etapa 4

Simplifique a expressão. Nesse caso, a expressão é igual a $0$ . Então, $x = - \frac{3}{2}$ é a raiz do polinômio.

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Etapa 4.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.1.1

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

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Etapa 4.1.1.1

Aplique a regra do produto a $- \frac{3}{2}$ .

$4 ({(- 1)}^{4} {(\frac{3}{2})}^{4}) + 8 {(- \frac{3}{2})}^{3} - 7 {(- \frac{3}{2})}^{2} - 21 (- \frac{3}{2}) - 9$

Etapa 4.1.1.2

Aplique a regra do produto a $\frac{3}{2}$ .

$4 ({(- 1)}^{4} \frac{3^{4}}{2^{4}}) + 8 {(- \frac{3}{2})}^{3} - 7 {(- \frac{3}{2})}^{2} - 21 (- \frac{3}{2}) - 9$

Etapa 4.1.2

Eleve $- 1$ à potência de $4$ .

$4 (1 \frac{3^{4}}{2^{4}}) + 8 {(- \frac{3}{2})}^{3} - 7 {(- \frac{3}{2})}^{2} - 21 (- \frac{3}{2}) - 9$

Etapa 4.1.3

Multiplique $\frac{3^{4}}{2^{4}}$ por $1$ .

$4 \frac{3^{4}}{2^{4}} + 8 {(- \frac{3}{2})}^{3} - 7 {(- \frac{3}{2})}^{2} - 21 (- \frac{3}{2}) - 9$

Etapa 4.1.4

Eleve $3$ à potência de $4$ .

$4 \frac{81}{2^{4}} + 8 {(- \frac{3}{2})}^{3} - 7 {(- \frac{3}{2})}^{2} - 21 (- \frac{3}{2}) - 9$

Etapa 4.1.5

Eleve $2$ à potência de $4$ .

$4 (\frac{81}{16}) + 8 {(- \frac{3}{2})}^{3} - 7 {(- \frac{3}{2})}^{2} - 21 (- \frac{3}{2}) - 9$

Etapa 4.1.6

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 4.1.6.1

Fatore $4$ de $16$ .

$4 \frac{81}{4 (4)} + 8 {(- \frac{3}{2})}^{3} - 7 {(- \frac{3}{2})}^{2} - 21 (- \frac{3}{2}) - 9$

Etapa 4.1.6.2

Cancele o fator comum.

$4 \frac{81}{4 \cdot 4} + 8 {(- \frac{3}{2})}^{3} - 7 {(- \frac{3}{2})}^{2} - 21 (- \frac{3}{2}) - 9$

Etapa 4.1.6.3

Reescreva a expressão.

$\frac{81}{4} + 8 {(- \frac{3}{2})}^{3} - 7 {(- \frac{3}{2})}^{2} - 21 (- \frac{3}{2}) - 9$

Etapa 4.1.7

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

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Etapa 4.1.7.1

Aplique a regra do produto a $- \frac{3}{2}$ .

$\frac{81}{4} + 8 ({(- 1)}^{3} {(\frac{3}{2})}^{3}) - 7 {(- \frac{3}{2})}^{2} - 21 (- \frac{3}{2}) - 9$

Etapa 4.1.7.2

Aplique a regra do produto a $\frac{3}{2}$ .

$\frac{81}{4} + 8 ({(- 1)}^{3} \frac{3^{3}}{2^{3}}) - 7 {(- \frac{3}{2})}^{2} - 21 (- \frac{3}{2}) - 9$

Etapa 4.1.8

Eleve $- 1$ à potência de $3$ .

$\frac{81}{4} + 8 (- \frac{3^{3}}{2^{3}}) - 7 {(- \frac{3}{2})}^{2} - 21 (- \frac{3}{2}) - 9$

Etapa 4.1.9

Eleve $3$ à potência de $3$ .

$\frac{81}{4} + 8 (- \frac{27}{2^{3}}) - 7 {(- \frac{3}{2})}^{2} - 21 (- \frac{3}{2}) - 9$

Etapa 4.1.10

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$\frac{81}{4} + 8 (- \frac{27}{8}) - 7 {(- \frac{3}{2})}^{2} - 21 (- \frac{3}{2}) - 9$

Etapa 4.1.11

Cancele o fator comum de $8$ .

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Etapa 4.1.11.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{27}{8}$ para o numerador.

$\frac{81}{4} + 8 (\frac{- 27}{8}) - 7 {(- \frac{3}{2})}^{2} - 21 (- \frac{3}{2}) - 9$

Etapa 4.1.11.2

Cancele o fator comum.

$\frac{81}{4} + 8 (\frac{- 27}{8}) - 7 {(- \frac{3}{2})}^{2} - 21 (- \frac{3}{2}) - 9$

Etapa 4.1.11.3

Reescreva a expressão.

$\frac{81}{4} - 27 - 7 {(- \frac{3}{2})}^{2} - 21 (- \frac{3}{2}) - 9$

Etapa 4.1.12

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

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Etapa 4.1.12.1

Aplique a regra do produto a $- \frac{3}{2}$ .

$\frac{81}{4} - 27 - 7 ({(- 1)}^{2} {(\frac{3}{2})}^{2}) - 21 (- \frac{3}{2}) - 9$

Etapa 4.1.12.2

Aplique a regra do produto a $\frac{3}{2}$ .

$\frac{81}{4} - 27 - 7 ({(- 1)}^{2} \frac{3^{2}}{2^{2}}) - 21 (- \frac{3}{2}) - 9$

Etapa 4.1.13

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$\frac{81}{4} - 27 - 7 (1 \frac{3^{2}}{2^{2}}) - 21 (- \frac{3}{2}) - 9$

Etapa 4.1.14

Multiplique $\frac{3^{2}}{2^{2}}$ por $1$ .

$\frac{81}{4} - 27 - 7 \frac{3^{2}}{2^{2}} - 21 (- \frac{3}{2}) - 9$

Etapa 4.1.15

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$\frac{81}{4} - 27 - 7 \frac{9}{2^{2}} - 21 (- \frac{3}{2}) - 9$

Etapa 4.1.16

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$\frac{81}{4} - 27 - 7 (\frac{9}{4}) - 21 (- \frac{3}{2}) - 9$

Etapa 4.1.17

Multiplique $- 7 (\frac{9}{4})$ .

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Etapa 4.1.17.1

Combine $- 7$ e $\frac{9}{4}$ .

$\frac{81}{4} - 27 + \frac{- 7 \cdot 9}{4} - 21 (- \frac{3}{2}) - 9$

Etapa 4.1.17.2

Multiplique $- 7$ por $9$ .

$\frac{81}{4} - 27 + \frac{- 63}{4} - 21 (- \frac{3}{2}) - 9$

Etapa 4.1.18

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{81}{4} - 27 - \frac{63}{4} - 21 (- \frac{3}{2}) - 9$

Etapa 4.1.19

Multiplique $- 21 (- \frac{3}{2})$ .

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Etapa 4.1.19.1

Multiplique $- 1$ por $- 21$ .

$\frac{81}{4} - 27 - \frac{63}{4} + 21 (\frac{3}{2}) - 9$

Etapa 4.1.19.2

Combine $21$ e $\frac{3}{2}$ .

$\frac{81}{4} - 27 - \frac{63}{4} + \frac{21 \cdot 3}{2} - 9$

Etapa 4.1.19.3

Multiplique $21$ por $3$ .

$\frac{81}{4} - 27 - \frac{63}{4} + \frac{63}{2} - 9$

Etapa 4.2

Combine frações.

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Etapa 4.2.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$- 27 - 9 + \frac{81 - 63}{4} + \frac{63}{2}$

Etapa 4.2.2

Subtraia $63$ de $81$ .

$- 27 - 9 + \frac{18}{4} + \frac{63}{2}$

Etapa 4.3

Encontre o denominador comum.

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Etapa 4.3.1

Escreva $- 27$ como uma fração com denominador $1$ .

$\frac{- 27}{1} - 9 + \frac{18}{4} + \frac{63}{2}$

Etapa 4.3.2

Multiplique $\frac{- 27}{1}$ por $\frac{4}{4}$ .

$\frac{- 27}{1} \cdot \frac{4}{4} - 9 + \frac{18}{4} + \frac{63}{2}$

Etapa 4.3.3

Multiplique $\frac{- 27}{1}$ por $\frac{4}{4}$ .

$\frac{- 27 \cdot 4}{4} - 9 + \frac{18}{4} + \frac{63}{2}$

Etapa 4.3.4

Escreva $- 9$ como uma fração com denominador $1$ .

$\frac{- 27 \cdot 4}{4} + \frac{- 9}{1} + \frac{18}{4} + \frac{63}{2}$

Etapa 4.3.5

Multiplique $\frac{- 9}{1}$ por $\frac{4}{4}$ .

$\frac{- 27 \cdot 4}{4} + \frac{- 9}{1} \cdot \frac{4}{4} + \frac{18}{4} + \frac{63}{2}$

Etapa 4.3.6

Multiplique $\frac{- 9}{1}$ por $\frac{4}{4}$ .

$\frac{- 27 \cdot 4}{4} + \frac{- 9 \cdot 4}{4} + \frac{18}{4} + \frac{63}{2}$

Etapa 4.3.7

Multiplique $\frac{63}{2}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- 27 \cdot 4}{4} + \frac{- 9 \cdot 4}{4} + \frac{18}{4} + \frac{63}{2} \cdot \frac{2}{2}$

Etapa 4.3.8

Multiplique $\frac{63}{2}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- 27 \cdot 4}{4} + \frac{- 9 \cdot 4}{4} + \frac{18}{4} + \frac{63 \cdot 2}{2 \cdot 2}$

Etapa 4.3.9

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{- 27 \cdot 4}{4} + \frac{- 9 \cdot 4}{4} + \frac{18}{4} + \frac{63 \cdot 2}{4}$

Etapa 4.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{- 27 \cdot 4 - 9 \cdot 4 + 18 + 63 \cdot 2}{4}$

Etapa 4.5

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.5.1

Multiplique $- 27$ por $4$ .

$\frac{- 108 - 9 \cdot 4 + 18 + 63 \cdot 2}{4}$

Etapa 4.5.2

Multiplique $- 9$ por $4$ .

$\frac{- 108 - 36 + 18 + 63 \cdot 2}{4}$

Etapa 4.5.3

Multiplique $63$ por $2$ .

$\frac{- 108 - 36 + 18 + 126}{4}$

Etapa 4.6

Simplifique a expressão.

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Etapa 4.6.1

Subtraia $36$ de $- 108$ .

$\frac{- 144 + 18 + 126}{4}$

Etapa 4.6.2

Some $- 144$ e $18$ .

$\frac{- 126 + 126}{4}$

Etapa 4.6.3

Some $- 126$ e $126$ .

$\frac{0}{4}$

Etapa 4.6.4

Divida $0$ por $4$ .

$0$

Etapa 5

Como $- \frac{3}{2}$ é uma raiz conhecida, divida o polinômio por $x + \frac{3}{2}$ para encontrar o polinômio do quociente. Então, esse polinômio poderá ser usado para encontrar as raízes restantes.

$\frac{4 x^{4} + 8 x^{3} - 7 x^{2} - 21 x - 9}{x + \frac{3}{2}}$

Etapa 6

Depois, encontre as raízes do polinômio restante. A ordem do polinômio foi reduzida em $1$ .

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Etapa 6.1

Coloque os números que representam o divisor e o dividendo em uma configuração semelhante à de divisão.

$- \frac{3}{2}$	$4$	$8$	$- 7$	$- 21$	$- 9$

Etapa 6.2

O primeiro número no dividendo $(4)$ é colocado na primeira posição da área de resultado (abaixo da linha horizontal).

$- \frac{3}{2}$	$4$	$8$	$- 7$	$- 21$	$- 9$

	$4$

Etapa 6.3

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(4)$ pelo divisor $(- \frac{3}{2})$ e coloque o resultado de $(- 6)$ sob o próximo termo no dividendo $(8)$ .

$- \frac{3}{2}$	$4$	$8$	$- 7$	$- 21$	$- 9$
		$- 6$
	$4$

Etapa 6.4

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$- \frac{3}{2}$	$4$	$8$	$- 7$	$- 21$	$- 9$
		$- 6$
	$4$	$2$

Etapa 6.5

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(2)$ pelo divisor $(- \frac{3}{2})$ e coloque o resultado de $(- 3)$ sob o próximo termo no dividendo $(- 7)$ .

$- \frac{3}{2}$	$4$	$8$	$- 7$	$- 21$	$- 9$
		$- 6$	$- 3$
	$4$	$2$

Etapa 6.6

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$- \frac{3}{2}$	$4$	$8$	$- 7$	$- 21$	$- 9$
		$- 6$	$- 3$
	$4$	$2$	$- 10$

Etapa 6.7

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(- 10)$ pelo divisor $(- \frac{3}{2})$ e coloque o resultado de $(15)$ sob o próximo termo no dividendo $(- 21)$ .

$- \frac{3}{2}$	$4$	$8$	$- 7$	$- 21$	$- 9$
		$- 6$	$- 3$	$15$
	$4$	$2$	$- 10$

Etapa 6.8

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$- \frac{3}{2}$	$4$	$8$	$- 7$	$- 21$	$- 9$
		$- 6$	$- 3$	$15$
	$4$	$2$	$- 10$	$- 6$

Etapa 6.9

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(- 6)$ pelo divisor $(- \frac{3}{2})$ e coloque o resultado de $(9)$ sob o próximo termo no dividendo $(- 9)$ .

$- \frac{3}{2}$	$4$	$8$	$- 7$	$- 21$	$- 9$
		$- 6$	$- 3$	$15$	$9$
	$4$	$2$	$- 10$	$- 6$

Etapa 6.10

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$- \frac{3}{2}$	$4$	$8$	$- 7$	$- 21$	$- 9$
		$- 6$	$- 3$	$15$	$9$
	$4$	$2$	$- 10$	$- 6$	$0$

Etapa 6.11

Todos os números, exceto o último, tornam-se os coeficientes do polinômio do quociente. O último valor na linha de resultados é o resto.

$4 x^{3} + 2 x^{2} + (- 10) x - 6$

Etapa 6.12

Simplifique o polinômio do quociente.

$4 x^{3} + 2 x^{2} - 10 x - 6$

Etapa 7

Fatore $2$ de $4 x^{3} + 2 x^{2} - 10 x - 6$ .

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Etapa 7.1

Fatore $2$ de $4 x^{3}$ .

$(x + \frac{3}{2}) (2 (2 x^{3}) + 2 x^{2} - 10 x - 6)$

Etapa 7.2

Fatore $2$ de $2 x^{2}$ .

$(x + \frac{3}{2}) (2 (2 x^{3}) + 2 (x^{2}) - 10 x - 6)$

Etapa 7.3

Fatore $2$ de $- 10 x$ .

$(x + \frac{3}{2}) (2 (2 x^{3}) + 2 (x^{2}) + 2 (- 5 x) - 6)$

Etapa 7.4

Fatore $2$ de $- 6$ .

$(x + \frac{3}{2}) (2 (2 x^{3}) + 2 x^{2} + 2 (- 5 x) + 2 \cdot - 3)$

Etapa 7.5

Fatore $2$ de $2 (2 x^{3}) + 2 x^{2}$ .

$(x + \frac{3}{2}) (2 (2 x^{3} + x^{2}) + 2 (- 5 x) + 2 \cdot - 3)$

Etapa 7.6

Fatore $2$ de $2 (2 x^{3} + x^{2}) + 2 (- 5 x)$ .

$(x + \frac{3}{2}) (2 (2 x^{3} + x^{2} - 5 x) + 2 \cdot - 3)$

Etapa 7.7

Fatore $2$ de $2 (2 x^{3} + x^{2} - 5 x) + 2 \cdot - 3$ .

$(x + \frac{3}{2}) (2 (2 x^{3} + x^{2} - 5 x - 3))$

Etapa 8

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 8.1

Fatore $4 x^{4} + 8 x^{3} - 7 x^{2} - 21 x - 9$ usando o teste das raízes racionais.

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Etapa 8.1.1

Se uma função polinomial tiver coeficientes inteiros, então todo zero racional terá a forma $\frac{p}{q}$ , em que $p$ é um fator da constante e $q$ é um fator do coeficiente de maior ordem.

$p = \pm 1, \pm 9, \pm 3$

$q = \pm 1, \pm 4, \pm 2$

Etapa 8.1.2

Encontre todas as combinações de $\pm \frac{p}{q}$ . Essas são as raízes possíveis da função polinomial.

$\pm 1, \pm 0.25, \pm 0.5, \pm 9, \pm 2.25, \pm 4.5, \pm 3, \pm 0.75, \pm 1.5$

Etapa 8.1.3

Substitua $- 1.5$ e simplifique a expressão. Nesse caso, a expressão é igual a $0$ . Portanto, $- 1.5$ é uma raiz do polinômio.

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Etapa 8.1.3.1

Substitua $- 1.5$ no polinômio.

$4 {(- 1.5)}^{4} + 8 {(- 1.5)}^{3} - 7 {(- 1.5)}^{2} - 21 \cdot - 1.5 - 9$

Etapa 8.1.3.2

Eleve $- 1.5$ à potência de $4$ .

$4 \cdot 5.0625 + 8 {(- 1.5)}^{3} - 7 {(- 1.5)}^{2} - 21 \cdot - 1.5 - 9$

Etapa 8.1.3.3

Multiplique $4$ por $5.0625$ .

$20.25 + 8 {(- 1.5)}^{3} - 7 {(- 1.5)}^{2} - 21 \cdot - 1.5 - 9$

Etapa 8.1.3.4

Eleve $- 1.5$ à potência de $3$ .

$20.25 + 8 \cdot - 3.375 - 7 {(- 1.5)}^{2} - 21 \cdot - 1.5 - 9$

Etapa 8.1.3.5

Multiplique $8$ por $- 3.375$ .

$20.25 - 27 - 7 {(- 1.5)}^{2} - 21 \cdot - 1.5 - 9$

Etapa 8.1.3.6

Subtraia $27$ de $20.25$ .

$- 6.75 - 7 {(- 1.5)}^{2} - 21 \cdot - 1.5 - 9$

Etapa 8.1.3.7

Eleve $- 1.5$ à potência de $2$ .

$- 6.75 - 7 \cdot 2.25 - 21 \cdot - 1.5 - 9$

Etapa 8.1.3.8

Multiplique $- 7$ por $2.25$ .

$- 6.75 - 15.75 - 21 \cdot - 1.5 - 9$

Etapa 8.1.3.9

Subtraia $15.75$ de $- 6.75$ .

$- 22.5 - 21 \cdot - 1.5 - 9$

Etapa 8.1.3.10

Multiplique $- 21$ por $- 1.5$ .

$- 22.5 + 31.5 - 9$

Etapa 8.1.3.11

Some $- 22.5$ e $31.5$ .

$9 - 9$

Etapa 8.1.3.12

Subtraia $9$ de $9$ .

$0$

Etapa 8.1.4

Como $- 1.5$ é uma raiz conhecida, divida o polinômio por $2 x + 3$ para encontrar o polinômio do quociente. Então, esse polinômio pode ser usado para encontrar as raízes restantes.

$\frac{4 x^{4} + 8 x^{3} - 7 x^{2} - 21 x - 9}{2 x + 3}$

Etapa 8.1.5

Divida $4 x^{4} + 8 x^{3} - 7 x^{2} - 21 x - 9$ por $2 x + 3$ .

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Etapa 8.1.5.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$2 x$

$3$

$4 x^{4}$

$8 x^{3}$

$7 x^{2}$

$21 x$

$9$

Etapa 8.1.5.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $4 x^{4}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $2 x$ .

$2 x^{3}$

$2 x$

$3$

$4 x^{4}$

$8 x^{3}$

$7 x^{2}$

$21 x$

$9$

Etapa 8.1.5.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

$2 x^{3}$

$2 x$

$3$

$4 x^{4}$

$8 x^{3}$

$7 x^{2}$

$21 x$

$9$

$4 x^{4}$

$6 x^{3}$

Etapa 8.1.5.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $4 x^{4} + 6 x^{3}$ .

				$2 x^{3}$
$2 x$	+	$3$		$4 x^{4}$	+	$8 x^{3}$	-	$7 x^{2}$	-	$21 x$	-	$9$
			-	$4 x^{4}$	-	$6 x^{3}$

Etapa 8.1.5.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

$2 x^{3}$

$2 x$

$3$

$4 x^{4}$

$8 x^{3}$

$7 x^{2}$

$21 x$

$9$

$4 x^{4}$

$6 x^{3}$

$2 x^{3}$

Etapa 8.1.5.6

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

$2 x^{3}$

$2 x$

$3$

$4 x^{4}$

$8 x^{3}$

$7 x^{2}$

$21 x$

$9$

$4 x^{4}$

$6 x^{3}$

$2 x^{3}$

$7 x^{2}$

Etapa 8.1.5.7

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $2 x^{3}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $2 x$ .

$2 x^{3}$

$x^{2}$

$2 x$

$3$

$4 x^{4}$

$8 x^{3}$

$7 x^{2}$

$21 x$

$9$

$4 x^{4}$

$6 x^{3}$

$2 x^{3}$

$7 x^{2}$

Etapa 8.1.5.8

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

$2 x^{3}$

$x^{2}$

$2 x$

$3$

$4 x^{4}$

$8 x^{3}$

$7 x^{2}$

$21 x$

$9$

$4 x^{4}$

$6 x^{3}$

$2 x^{3}$

$7 x^{2}$

$2 x^{3}$

$3 x^{2}$

Etapa 8.1.5.9

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $2 x^{3} + 3 x^{2}$ .

$2 x^{3}$

$x^{2}$

$2 x$

$3$

$4 x^{4}$

$8 x^{3}$

$7 x^{2}$

$21 x$

$9$

$4 x^{4}$

$6 x^{3}$

$2 x^{3}$

$7 x^{2}$

$2 x^{3}$

$3 x^{2}$

Etapa 8.1.5.10

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

$2 x^{3}$

$x^{2}$

$2 x$

$3$

$4 x^{4}$

$8 x^{3}$

$7 x^{2}$

$21 x$

$9$

$4 x^{4}$

$6 x^{3}$

$2 x^{3}$

$7 x^{2}$

$2 x^{3}$

$3 x^{2}$

$10 x^{2}$

Etapa 8.1.5.11

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

$2 x^{3}$

$x^{2}$

$2 x$

$3$

$4 x^{4}$

$8 x^{3}$

$7 x^{2}$

$21 x$

$9$

$4 x^{4}$

$6 x^{3}$

$2 x^{3}$

$7 x^{2}$

$2 x^{3}$

$3 x^{2}$

$10 x^{2}$

$21 x$

Etapa 8.1.5.12

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- 10 x^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $2 x$ .

$2 x^{3}$

$x^{2}$

$5 x$

$2 x$

$3$

$4 x^{4}$

$8 x^{3}$

$7 x^{2}$

$21 x$

$9$

$4 x^{4}$

$6 x^{3}$

$2 x^{3}$

$7 x^{2}$

$2 x^{3}$

$3 x^{2}$

$10 x^{2}$

$21 x$

Etapa 8.1.5.13

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$5 x$
$2 x$	+	$3$		$4 x^{4}$	+	$8 x^{3}$	-	$7 x^{2}$	-	$21 x$	-	$9$
			-	$4 x^{4}$	-	$6 x^{3}$
					+	$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$
					-	$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
							-	$10 x^{2}$	-	$21 x$
							-	$10 x^{2}$	-	$15 x$

Etapa 8.1.5.14

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- 10 x^{2} - 15 x$ .

$2 x^{3}$

$x^{2}$

$5 x$

$2 x$

$3$

$4 x^{4}$

$8 x^{3}$

$7 x^{2}$

$21 x$

$9$

$4 x^{4}$

$6 x^{3}$

$2 x^{3}$

$7 x^{2}$

$2 x^{3}$

$3 x^{2}$

$10 x^{2}$

$21 x$

$10 x^{2}$

$15 x$

Etapa 8.1.5.15

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

$2 x^{3}$

$x^{2}$

$5 x$

$2 x$

$3$

$4 x^{4}$

$8 x^{3}$

$7 x^{2}$

$21 x$

$9$

$4 x^{4}$

$6 x^{3}$

$2 x^{3}$

$7 x^{2}$

$2 x^{3}$

$3 x^{2}$

$10 x^{2}$

$21 x$

$10 x^{2}$

$15 x$

$6 x$

Etapa 8.1.5.16

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

$2 x^{3}$

$x^{2}$

$5 x$

$2 x$

$3$

$4 x^{4}$

$8 x^{3}$

$7 x^{2}$

$21 x$

$9$

$4 x^{4}$

$6 x^{3}$

$2 x^{3}$

$7 x^{2}$

$2 x^{3}$

$3 x^{2}$

$10 x^{2}$

$21 x$

$10 x^{2}$

$15 x$

$6 x$

$9$

Etapa 8.1.5.17

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- 6 x$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $2 x$ .

				$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$5 x$	-	$3$
$2 x$	+	$3$		$4 x^{4}$	+	$8 x^{3}$	-	$7 x^{2}$	-	$21 x$	-	$9$
			-	$4 x^{4}$	-	$6 x^{3}$
					+	$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$
					-	$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
							-	$10 x^{2}$	-	$21 x$
							+	$10 x^{2}$	+	$15 x$
									-	$6 x$	-	$9$

Etapa 8.1.5.18

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$5 x$	-	$3$
$2 x$	+	$3$		$4 x^{4}$	+	$8 x^{3}$	-	$7 x^{2}$	-	$21 x$	-	$9$
			-	$4 x^{4}$	-	$6 x^{3}$
					+	$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$
					-	$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
							-	$10 x^{2}$	-	$21 x$
							+	$10 x^{2}$	+	$15 x$
									-	$6 x$	-	$9$
									-	$6 x$	-	$9$

Etapa 8.1.5.19

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- 6 x - 9$ .

				$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$5 x$	-	$3$
$2 x$	+	$3$		$4 x^{4}$	+	$8 x^{3}$	-	$7 x^{2}$	-	$21 x$	-	$9$
			-	$4 x^{4}$	-	$6 x^{3}$
					+	$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$
					-	$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
							-	$10 x^{2}$	-	$21 x$
							+	$10 x^{2}$	+	$15 x$
									-	$6 x$	-	$9$
									+	$6 x$	+	$9$

Etapa 8.1.5.20

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$5 x$	-	$3$
$2 x$	+	$3$		$4 x^{4}$	+	$8 x^{3}$	-	$7 x^{2}$	-	$21 x$	-	$9$
			-	$4 x^{4}$	-	$6 x^{3}$
					+	$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$
					-	$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
							-	$10 x^{2}$	-	$21 x$
							+	$10 x^{2}$	+	$15 x$
									-	$6 x$	-	$9$
									+	$6 x$	+	$9$
												$0$

Etapa 8.1.5.21

Já que o resto é $0$ , a resposta final é o quociente.

$2 x^{3} + x^{2} - 5 x - 3$

Etapa 8.1.6

Escreva $4 x^{4} + 8 x^{3} - 7 x^{2} - 21 x - 9$ como um conjunto de fatores.

$(2 x + 3) (2 x^{3} + x^{2} - 5 x - 3) = 0$

Etapa 8.2

Fatore $2 x^{3} + x^{2} - 5 x - 3$ usando o teste das raízes racionais.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1

Fatore $2 x^{3} + x^{2} - 5 x - 3$ usando o teste das raízes racionais.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1.1

Se uma função polinomial tiver coeficientes inteiros, então todo zero racional terá a forma $\frac{p}{q}$ , em que $p$ é um fator da constante e $q$ é um fator do coeficiente de maior ordem.

$p = \pm 1, \pm 3$

$q = \pm 1, \pm 2$

Etapa 8.2.1.2

Encontre todas as combinações de $\pm \frac{p}{q}$ . Essas são as raízes possíveis da função polinomial.

$\pm 1, \pm 0.5, \pm 3, \pm 1.5$

Etapa 8.2.1.3

Substitua $- 1.5$ e simplifique a expressão. Nesse caso, a expressão é igual a $0$ . Portanto, $- 1.5$ é uma raiz do polinômio.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1.3.1

Substitua $- 1.5$ no polinômio.

$2 {(- 1.5)}^{3} + {(- 1.5)}^{2} - 5 \cdot - 1.5 - 3$

Etapa 8.2.1.3.2

Eleve $- 1.5$ à potência de $3$ .

$2 \cdot - 3.375 + {(- 1.5)}^{2} - 5 \cdot - 1.5 - 3$

Etapa 8.2.1.3.3

Multiplique $2$ por $- 3.375$ .

$- 6.75 + {(- 1.5)}^{2} - 5 \cdot - 1.5 - 3$

Etapa 8.2.1.3.4

Eleve $- 1.5$ à potência de $2$ .

$- 6.75 + 2.25 - 5 \cdot - 1.5 - 3$

Etapa 8.2.1.3.5

Some $- 6.75$ e $2.25$ .

$- 4.5 - 5 \cdot - 1.5 - 3$

Etapa 8.2.1.3.6

Multiplique $- 5$ por $- 1.5$ .

$- 4.5 + 7.5 - 3$

Etapa 8.2.1.3.7

Some $- 4.5$ e $7.5$ .

$3 - 3$

Etapa 8.2.1.3.8

Subtraia $3$ de $3$ .

$0$

Etapa 8.2.1.4

Como $- 1.5$ é uma raiz conhecida, divida o polinômio por $2 x + 3$ para encontrar o polinômio do quociente. Então, esse polinômio pode ser usado para encontrar as raízes restantes.

$\frac{2 x^{3} + x^{2} - 5 x - 3}{2 x + 3}$

Etapa 8.2.1.5

Divida $2 x^{3} + x^{2} - 5 x - 3$ por $2 x + 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1.5.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$2 x$

$3$

$2 x^{3}$

$x^{2}$

$5 x$

$3$

Etapa 8.2.1.5.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $2 x^{3}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $2 x$ .

					$x^{2}$
	$2 x$	+	$3$		$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$5 x$	-	$3$

Etapa 8.2.1.5.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$x^{2}$
$2 x$	+	$3$		$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$5 x$	-	$3$
			+	$2 x^{3}$	+	$3 x^{2}$

Etapa 8.2.1.5.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $2 x^{3} + 3 x^{2}$ .

				$x^{2}$
$2 x$	+	$3$		$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$5 x$	-	$3$
			-	$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$

Etapa 8.2.1.5.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$x^{2}$
$2 x$	+	$3$		$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$5 x$	-	$3$
			-	$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$

Etapa 8.2.1.5.6

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$x^{2}$
$2 x$	+	$3$		$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$5 x$	-	$3$
			-	$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$5 x$

Etapa 8.2.1.5.7

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- 2 x^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $2 x$ .

				$x^{2}$	-	$x$
$2 x$	+	$3$		$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$5 x$	-	$3$
			-	$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$5 x$

Etapa 8.2.1.5.8

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$x^{2}$	-	$x$
$2 x$	+	$3$		$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$5 x$	-	$3$
			-	$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$5 x$
					-	$2 x^{2}$	-	$3 x$

Etapa 8.2.1.5.9

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- 2 x^{2} - 3 x$ .

				$x^{2}$	-	$x$
$2 x$	+	$3$		$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$5 x$	-	$3$
			-	$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$5 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$3 x$

Etapa 8.2.1.5.10

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$x^{2}$	-	$x$
$2 x$	+	$3$		$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$5 x$	-	$3$
			-	$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$5 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$3 x$
							-	$2 x$

Etapa 8.2.1.5.11

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$x^{2}$	-	$x$
$2 x$	+	$3$		$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$5 x$	-	$3$
			-	$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$5 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$3 x$
							-	$2 x$	-	$3$

Etapa 8.2.1.5.12

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- 2 x$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $2 x$ .

				$x^{2}$	-	$x$	-	$1$
$2 x$	+	$3$		$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$5 x$	-	$3$
			-	$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$5 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$3 x$
							-	$2 x$	-	$3$

Etapa 8.2.1.5.13

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$x^{2}$	-	$x$	-	$1$
$2 x$	+	$3$		$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$5 x$	-	$3$
			-	$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$5 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$3 x$
							-	$2 x$	-	$3$
							-	$2 x$	-	$3$

Etapa 8.2.1.5.14

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- 2 x - 3$ .

				$x^{2}$	-	$x$	-	$1$
$2 x$	+	$3$		$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$5 x$	-	$3$
			-	$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$5 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$3 x$
							-	$2 x$	-	$3$
							+	$2 x$	+	$3$

Etapa 8.2.1.5.15

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$x^{2}$	-	$x$	-	$1$
$2 x$	+	$3$		$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$5 x$	-	$3$
			-	$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$5 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$3 x$
							-	$2 x$	-	$3$
							+	$2 x$	+	$3$
										$0$

Etapa 8.2.1.5.16

Já que o resto é $0$ , a resposta final é o quociente.

$x^{2} - x - 1$

Etapa 8.2.1.6

Escreva $2 x^{3} + x^{2} - 5 x - 3$ como um conjunto de fatores.

$(2 x + 3) ((2 x + 3) (x^{2} - x - 1)) = 0$

Etapa 8.2.2

Remova os parênteses desnecessários.

$(2 x + 3) (2 x + 3) (x^{2} - x - 1) = 0$

Etapa 8.3

Combine como fatores.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.1

Eleve $2 x + 3$ à potência de $1$ .

$(2 x + 3) (2 x + 3) (x^{2} - x - 1) = 0$

Etapa 8.3.2

Eleve $2 x + 3$ à potência de $1$ .

$(2 x + 3) (2 x + 3) (x^{2} - x - 1) = 0$

Etapa 8.3.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

${(2 x + 3)}^{1 + 1} (x^{2} - x - 1) = 0$

Etapa 8.3.4

Some $1$ e $1$ .

${(2 x + 3)}^{2} (x^{2} - x - 1) = 0$

Etapa 9

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

${(2 x + 3)}^{2} = 0$

$x^{2} - x - 1 = 0$

Etapa 10

Defina ${(2 x + 3)}^{2}$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.1

Defina ${(2 x + 3)}^{2}$ como igual a $0$ .

${(2 x + 3)}^{2} = 0$

Etapa 10.2

Resolva ${(2 x + 3)}^{2} = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.2.1

Defina $2 x + 3$ como igual a $0$ .

$2 x + 3 = 0$

Etapa 10.2.2

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.2.2.1

Subtraia $3$ dos dois lados da equação.

$2 x = - 3$

Etapa 10.2.2.2

Divida cada termo em $2 x = - 3$ por $2$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.2.2.2.1

Divida cada termo em $2 x = - 3$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 3}{2}$

Etapa 10.2.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.2.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.2.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 3}{2}$

Etapa 10.2.2.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 3}{2}$

Etapa 10.2.2.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.2.2.2.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x = - \frac{3}{2}$

Etapa 11

Defina $x^{2} - x - 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.1

Defina $x^{2} - x - 1$ como igual a $0$ .

$x^{2} - x - 1 = 0$

Etapa 11.2

Resolva $x^{2} - x - 1 = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 11.2.2

Substitua os valores $a = 1$ , $b = - 1$ e $c = - 1$ na fórmula quadrática e resolva $x$ .

$\frac{1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 1)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 11.2.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.3.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.3.1.1

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Etapa 11.2.3.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.3.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Etapa 11.2.3.1.2.2

Multiplique $- 4$ por $- 1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 4}}{2 \cdot 1}$

Etapa 11.2.3.1.3

Some $1$ e $4$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

Etapa 11.2.3.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$

Etapa 11.2.4

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$x = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}, \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$

Etapa 12

A solução final são todos os valores que tornam ${(2 x + 3)}^{2} (x^{2} - x - 1) = 0$ verdadeiro.

$x = - \frac{3}{2}, \frac{1 + \sqrt{5}}{2}, \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$

Etapa 13

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$x = - \frac{3}{2}, \frac{1 + \sqrt{5}}{2}, \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$

Forma decimal:

$x = - 1.5, 1.61803398 \dots, - 0.61803398 \dots$

Forma de número misto:

$x = - 1 \frac{1}{2}, \frac{1 + \sqrt{5}}{2}, \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$

Etapa 14