Pré-cálculo Exemplos

$x^{2} + y^{2} - 3 x + 8 y = 20$

Etapa 1

Complete o quadrado de $x^{2} - 3 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Use a forma $a x^{2} + b x + c$ para encontrar os valores de $a$ , $b$ e $c$ .

$a = 1$

$b = - 3$

$c = 0$

Etapa 1.2

Considere a forma de vértice de uma parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Etapa 1.3

Encontre o valor de $d$ usando a fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Etapa 1.3.1

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 3}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.3.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.3.2.1

Multiplique $2$ por $1$ .

$d = \frac{- 3}{2}$

Etapa 1.3.2.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$d = - \frac{3}{2}$

Etapa 1.4

Encontre o valor de $e$ usando a fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Etapa 1.4.1

Substitua os valores de $c$ , $b$ e $a$ na fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 3)}^{2}}{4 \cdot 1}$

Etapa 1.4.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.4.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.4.2.1.1

Eleve $- 3$ à potência de $2$ .

$e = 0 - \frac{9}{4 \cdot 1}$

Etapa 1.4.2.1.2

Multiplique $4$ por $1$ .

$e = 0 - \frac{9}{4}$

Etapa 1.4.2.2

Subtraia $\frac{9}{4}$ de $0$ .

$e = - \frac{9}{4}$

Etapa 1.5

Substitua os valores de $a$ , $d$ e $e$ na forma do vértice ${(x - \frac{3}{2})}^{2} - \frac{9}{4}$ .

${(x - \frac{3}{2})}^{2} - \frac{9}{4}$

Etapa 2

Substitua ${(x - \frac{3}{2})}^{2} - \frac{9}{4}$ por $x^{2} - 3 x$ na equação $x^{2} + y^{2} - 3 x + 8 y = 20$ .

${(x - \frac{3}{2})}^{2} - \frac{9}{4} + y^{2} + 8 y = 20$

Etapa 3

Mova $- \frac{9}{4}$ para o lado direito da equação, somando $\frac{9}{4}$ aos dois lados.

${(x - \frac{3}{2})}^{2} + y^{2} + 8 y = 20 + \frac{9}{4}$

Etapa 4

Complete o quadrado de $y^{2} + 8 y$ .

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Etapa 4.1

Use a forma $a x^{2} + b x + c$ para encontrar os valores de $a$ , $b$ e $c$ .

$a = 1$

$b = 8$

$c = 0$

Etapa 4.2

Considere a forma de vértice de uma parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Etapa 4.3

Encontre o valor de $d$ usando a fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Etapa 4.3.1

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{8}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.3.2

Cancele o fator comum de $8$ e $2$ .

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Etapa 4.3.2.1

Fatore $2$ de $8$ .

$d = \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.3.2.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 4.3.2.2.1

Fatore $2$ de $2 \cdot 1$ .

$d = \frac{2 \cdot 4}{2 (1)}$

Etapa 4.3.2.2.2

Cancele o fator comum.

$d = \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.3.2.2.3

Reescreva a expressão.

$d = \frac{4}{1}$

Etapa 4.3.2.2.4

Divida $4$ por $1$ .

$d = 4$

Etapa 4.4

Encontre o valor de $e$ usando a fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Etapa 4.4.1

Substitua os valores de $c$ , $b$ e $a$ na fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{8^{2}}{4 \cdot 1}$

Etapa 4.4.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 4.4.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.4.2.1.1

Eleve $8$ à potência de $2$ .

$e = 0 - \frac{64}{4 \cdot 1}$

Etapa 4.4.2.1.2

Multiplique $4$ por $1$ .

$e = 0 - \frac{64}{4}$

Etapa 4.4.2.1.3

Divida $64$ por $4$ .

$e = 0 - 1 \cdot 16$

Etapa 4.4.2.1.4

Multiplique $- 1$ por $16$ .

$e = 0 - 16$

Etapa 4.4.2.2

Subtraia $16$ de $0$ .

$e = - 16$

Etapa 4.5

Substitua os valores de $a$ , $d$ e $e$ na forma do vértice ${(y + 4)}^{2} - 16$ .

${(y + 4)}^{2} - 16$

Etapa 5

Substitua ${(y + 4)}^{2} - 16$ por $y^{2} + 8 y$ na equação $x^{2} + y^{2} - 3 x + 8 y = 20$ .

${(x - \frac{3}{2})}^{2} + {(y + 4)}^{2} - 16 = 20 + \frac{9}{4}$

Etapa 6

Mova $- 16$ para o lado direito da equação, somando $16$ aos dois lados.

${(x - \frac{3}{2})}^{2} + {(y + 4)}^{2} = 20 + \frac{9}{4} + 16$

Etapa 7

Simplifique $20 + \frac{9}{4} + 16$ .

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Etapa 7.1

Encontre o denominador comum.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.1

Escreva $20$ como uma fração com denominador $1$ .

${(x - \frac{3}{2})}^{2} + {(y + 4)}^{2} = \frac{20}{1} + \frac{9}{4} + 16$

Etapa 7.1.2

Multiplique $\frac{20}{1}$ por $\frac{4}{4}$ .

${(x - \frac{3}{2})}^{2} + {(y + 4)}^{2} = \frac{20}{1} \cdot \frac{4}{4} + \frac{9}{4} + 16$

Etapa 7.1.3

Multiplique $\frac{20}{1}$ por $\frac{4}{4}$ .

${(x - \frac{3}{2})}^{2} + {(y + 4)}^{2} = \frac{20 \cdot 4}{4} + \frac{9}{4} + 16$

Etapa 7.1.4

Escreva $16$ como uma fração com denominador $1$ .

${(x - \frac{3}{2})}^{2} + {(y + 4)}^{2} = \frac{20 \cdot 4}{4} + \frac{9}{4} + \frac{16}{1}$

Etapa 7.1.5

Multiplique $\frac{16}{1}$ por $\frac{4}{4}$ .

${(x - \frac{3}{2})}^{2} + {(y + 4)}^{2} = \frac{20 \cdot 4}{4} + \frac{9}{4} + \frac{16}{1} \cdot \frac{4}{4}$

Etapa 7.1.6

Multiplique $\frac{16}{1}$ por $\frac{4}{4}$ .

${(x - \frac{3}{2})}^{2} + {(y + 4)}^{2} = \frac{20 \cdot 4}{4} + \frac{9}{4} + \frac{16 \cdot 4}{4}$

Etapa 7.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

${(x - \frac{3}{2})}^{2} + {(y + 4)}^{2} = \frac{20 \cdot 4 + 9 + 16 \cdot 4}{4}$

Etapa 7.3

Simplifique cada termo.

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Etapa 7.3.1

Multiplique $20$ por $4$ .

${(x - \frac{3}{2})}^{2} + {(y + 4)}^{2} = \frac{80 + 9 + 16 \cdot 4}{4}$

Etapa 7.3.2

Multiplique $16$ por $4$ .

${(x - \frac{3}{2})}^{2} + {(y + 4)}^{2} = \frac{80 + 9 + 64}{4}$

Etapa 7.4

Simplifique somando os números.

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Etapa 7.4.1

Some $80$ e $9$ .

${(x - \frac{3}{2})}^{2} + {(y + 4)}^{2} = \frac{89 + 64}{4}$

Etapa 7.4.2

Some $89$ e $64$ .

${(x - \frac{3}{2})}^{2} + {(y + 4)}^{2} = \frac{153}{4}$