Pré-cálculo Exemplos

$4 x^{2} - 8 x + 144 y + 36 y^{2} + 4 = 0$

Etapa 1

Subtraia $4$ dos dois lados da equação.

$4 x^{2} - 8 x + 144 y + 36 y^{2} = - 4$

Etapa 2

Complete o quadrado de $4 x^{2} - 8 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Use a forma $a x^{2} + b x + c$ para encontrar os valores de $a$ , $b$ e $c$ .

$a = 4$

$b = - 8$

$c = 0$

Etapa 2.2

Considere a forma de vértice de uma parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Etapa 2.3

Encontre o valor de $d$ usando a fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 8}{2 \cdot 4}$

Etapa 2.3.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.1

Cancele o fator comum de $- 8$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.1.1

Fatore $2$ de $- 8$ .

$d = \frac{2 \cdot - 4}{2 \cdot 4}$

Etapa 2.3.2.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.1.2.1

Fatore $2$ de $2 \cdot 4$ .

$d = \frac{2 \cdot - 4}{2 (4)}$

Etapa 2.3.2.1.2.2

Cancele o fator comum.

$d = \frac{2 \cdot - 4}{2 \cdot 4}$

Etapa 2.3.2.1.2.3

Reescreva a expressão.

$d = \frac{- 4}{4}$

Etapa 2.3.2.2

Cancele o fator comum de $- 4$ e $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.2.1

Fatore $4$ de $- 4$ .

$d = \frac{4 \cdot - 1}{4}$

Etapa 2.3.2.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.2.2.1

Fatore $4$ de $4$ .

$d = \frac{4 \cdot - 1}{4 (1)}$

Etapa 2.3.2.2.2.2

Cancele o fator comum.

$d = \frac{4 \cdot - 1}{4 \cdot 1}$

Etapa 2.3.2.2.2.3

Reescreva a expressão.

$d = \frac{- 1}{1}$

Etapa 2.3.2.2.2.4

Divida $- 1$ por $1$ .

$d = - 1$

Etapa 2.4

Encontre o valor de $e$ usando a fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1

Substitua os valores de $c$ , $b$ e $a$ na fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 8)}^{2}}{4 \cdot 4}$

Etapa 2.4.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.1.1

Eleve $- 8$ à potência de $2$ .

$e = 0 - \frac{64}{4 \cdot 4}$

Etapa 2.4.2.1.2

Multiplique $4$ por $4$ .

$e = 0 - \frac{64}{16}$

Etapa 2.4.2.1.3

Divida $64$ por $16$ .

$e = 0 - 1 \cdot 4$

Etapa 2.4.2.1.4

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$e = 0 - 4$

Etapa 2.4.2.2

Subtraia $4$ de $0$ .

$e = - 4$

Etapa 2.5

Substitua os valores de $a$ , $d$ e $e$ na forma do vértice $4 {(x - 1)}^{2} - 4$ .

$4 {(x - 1)}^{2} - 4$

Etapa 3

Substitua $4 {(x - 1)}^{2} - 4$ por $4 x^{2} - 8 x$ na equação $4 x^{2} - 8 x + 144 y + 36 y^{2} = - 4$ .

$4 {(x - 1)}^{2} - 4 + 144 y + 36 y^{2} = - 4$

Etapa 4

Mova $- 4$ para o lado direito da equação, somando $4$ aos dois lados.

$4 {(x - 1)}^{2} + 144 y + 36 y^{2} = - 4 + 4$

Etapa 5

Complete o quadrado de $144 y + 36 y^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Reordene $144 y$ e $36 y^{2}$ .

$36 y^{2} + 144 y$

Etapa 5.2

Use a forma $a x^{2} + b x + c$ para encontrar os valores de $a$ , $b$ e $c$ .

$a = 36$

$b = 144$

$c = 0$

Etapa 5.3

Considere a forma de vértice de uma parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Etapa 5.4

Encontre o valor de $d$ usando a fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.1

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{144}{2 \cdot 36}$

Etapa 5.4.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.2.1

Cancele o fator comum de $144$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.2.1.1

Fatore $2$ de $144$ .

$d = \frac{2 \cdot 72}{2 \cdot 36}$

Etapa 5.4.2.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.2.1.2.1

Fatore $2$ de $2 \cdot 36$ .

$d = \frac{2 \cdot 72}{2 (36)}$

Etapa 5.4.2.1.2.2

Cancele o fator comum.

$d = \frac{2 \cdot 72}{2 \cdot 36}$

Etapa 5.4.2.1.2.3

Reescreva a expressão.

$d = \frac{72}{36}$

Etapa 5.4.2.2

Cancele o fator comum de $72$ e $36$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.2.2.1

Fatore $36$ de $72$ .

$d = \frac{36 \cdot 2}{36}$

Etapa 5.4.2.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.2.2.2.1

Fatore $36$ de $36$ .

$d = \frac{36 \cdot 2}{36 (1)}$

Etapa 5.4.2.2.2.2

Cancele o fator comum.

$d = \frac{36 \cdot 2}{36 \cdot 1}$

Etapa 5.4.2.2.2.3

Reescreva a expressão.

$d = \frac{2}{1}$

Etapa 5.4.2.2.2.4

Divida $2$ por $1$ .

$d = 2$

Etapa 5.5

Encontre o valor de $e$ usando a fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.1

Substitua os valores de $c$ , $b$ e $a$ na fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{144^{2}}{4 \cdot 36}$

Etapa 5.5.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.2.1.1

Eleve $144$ à potência de $2$ .

$e = 0 - \frac{20736}{4 \cdot 36}$

Etapa 5.5.2.1.2

Multiplique $4$ por $36$ .

$e = 0 - \frac{20736}{144}$

Etapa 5.5.2.1.3

Divida $20736$ por $144$ .

$e = 0 - 1 \cdot 144$

Etapa 5.5.2.1.4

Multiplique $- 1$ por $144$ .

$e = 0 - 144$

Etapa 5.5.2.2

Subtraia $144$ de $0$ .

$e = - 144$

Etapa 5.6

Substitua os valores de $a$ , $d$ e $e$ na forma do vértice $36 {(y + 2)}^{2} - 144$ .

$36 {(y + 2)}^{2} - 144$

Etapa 6

Substitua $36 {(y + 2)}^{2} - 144$ por $144 y + 36 y^{2}$ na equação $4 x^{2} - 8 x + 144 y + 36 y^{2} = - 4$ .

$4 {(x - 1)}^{2} + 36 {(y + 2)}^{2} - 144 = - 4 + 4$

Etapa 7

Mova $- 144$ para o lado direito da equação, somando $144$ aos dois lados.

$4 {(x - 1)}^{2} + 36 {(y + 2)}^{2} = - 4 + 4 + 144$

Etapa 8

Simplifique $- 4 + 4 + 144$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Some $- 4$ e $4$ .

$4 {(x - 1)}^{2} + 36 {(y + 2)}^{2} = 0 + 144$

Etapa 8.2

Some $0$ e $144$ .

$4 {(x - 1)}^{2} + 36 {(y + 2)}^{2} = 144$

Etapa 9

Divida cada termo por $144$ para que o lado direito seja igual a um.

$\frac{4 {(x - 1)}^{2}}{144} + \frac{36 {(y + 2)}^{2}}{144} = \frac{144}{144}$

Etapa 10

Simplifique cada termo na equação para definir o lado direito como igual a $1$ . A forma padrão de uma elipse ou hipérbole exige que o lado direito da equação seja $1$ .

$\frac{{(x - 1)}^{2}}{36} + \frac{{(y + 2)}^{2}}{4} = 1$