Pré-cálculo Exemplos

$f (x) = (5 x^{5} + 5) (- 2 x^{5} - 3)$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = 5 x^{5} + 5$ e $g (x) = - 2 x^{5} - 3$ .

$(5 x^{5} + 5) \frac{d}{d x} [- 2 x^{5} - 3] + (- 2 x^{5} - 3) \frac{d}{d x} [5 x^{5} + 5]$

Etapa 2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- 2 x^{5} - 3$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- 2 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$(5 x^{5} + 5) (\frac{d}{d x} [- 2 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 3]) + (- 2 x^{5} - 3) \frac{d}{d x} [5 x^{5} + 5]$

Etapa 3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 2 x^{5}]$ .

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Etapa 3.1

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 x^{5}$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$(5 x^{5} + 5) (- 2 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 3]) + (- 2 x^{5} - 3) \frac{d}{d x} [5 x^{5} + 5]$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 5$ .

$(5 x^{5} + 5) (- 2 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- 3]) + (- 2 x^{5} - 3) \frac{d}{d x} [5 x^{5} + 5]$

Etapa 3.3

Multiplique $5$ por $- 2$ .

$(5 x^{5} + 5) (- 10 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 3]) + (- 2 x^{5} - 3) \frac{d}{d x} [5 x^{5} + 5]$

Etapa 4

Diferencie.

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Etapa 4.1

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3$ em relação a $x$ é $0$ .

$(5 x^{5} + 5) (- 10 x^{4} + 0) + (- 2 x^{5} - 3) \frac{d}{d x} [5 x^{5} + 5]$

Etapa 4.2

Some $- 10 x^{4}$ e $0$ .

$(5 x^{5} + 5) (- 10 x^{4}) + (- 2 x^{5} - 3) \frac{d}{d x} [5 x^{5} + 5]$

Etapa 4.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $5 x^{5} + 5$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [5 x^{5}] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$(5 x^{5} + 5) (- 10 x^{4}) + (- 2 x^{5} - 3) (\frac{d}{d x} [5 x^{5}] + \frac{d}{d x} [5])$

Etapa 5

Avalie $\frac{d}{d x} [5 x^{5}]$ .

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Etapa 5.1

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 x^{5}$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$(5 x^{5} + 5) (- 10 x^{4}) + (- 2 x^{5} - 3) (5 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [5])$

Etapa 5.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 5$ .

$(5 x^{5} + 5) (- 10 x^{4}) + (- 2 x^{5} - 3) (5 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [5])$

Etapa 5.3

Multiplique $5$ por $5$ .

$(5 x^{5} + 5) (- 10 x^{4}) + (- 2 x^{5} - 3) (25 x^{4} + \frac{d}{d x} [5])$

Etapa 6

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 6.1

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5$ em relação a $x$ é $0$ .

$(5 x^{5} + 5) (- 10 x^{4}) + (- 2 x^{5} - 3) (25 x^{4} + 0)$

Etapa 6.2

Some $25 x^{4}$ e $0$ .

$(5 x^{5} + 5) (- 10 x^{4}) + (- 2 x^{5} - 3) (25 x^{4})$

Etapa 7

Simplifique.

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Etapa 7.1

Aplique a propriedade distributiva.

$5 x^{5} (- 10 x^{4}) + 5 (- 10 x^{4}) + (- 2 x^{5} - 3) (25 x^{4})$

Etapa 7.2

Aplique a propriedade distributiva.

$5 x^{5} (- 10 x^{4}) + 5 (- 10 x^{4}) - 2 x^{5} (25 x^{4}) - 3 (25 x^{4})$

Etapa 7.3

Combine os termos.

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Etapa 7.3.1

Multiplique $- 10$ por $5$ .

$- 50 x^{5} x^{4} + 5 (- 10 x^{4}) - 2 x^{5} (25 x^{4}) - 3 (25 x^{4})$

Etapa 7.3.2

Multiplique $x^{5}$ por $x^{4}$ somando os expoentes.

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Etapa 7.3.2.1

Mova $x^{4}$ .

$- 50 (x^{4} x^{5}) + 5 (- 10 x^{4}) - 2 x^{5} (25 x^{4}) - 3 (25 x^{4})$

Etapa 7.3.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- 50 x^{4 + 5} + 5 (- 10 x^{4}) - 2 x^{5} (25 x^{4}) - 3 (25 x^{4})$

Etapa 7.3.2.3

Some $4$ e $5$ .

$- 50 x^{9} + 5 (- 10 x^{4}) - 2 x^{5} (25 x^{4}) - 3 (25 x^{4})$

Etapa 7.3.3

Multiplique $- 10$ por $5$ .

$- 50 x^{9} - 50 x^{4} - 2 x^{5} (25 x^{4}) - 3 (25 x^{4})$

Etapa 7.3.4

Multiplique $25$ por $- 2$ .

$- 50 x^{9} - 50 x^{4} - 50 x^{5} x^{4} - 3 (25 x^{4})$

Etapa 7.3.5

Multiplique $x^{5}$ por $x^{4}$ somando os expoentes.

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Etapa 7.3.5.1

Mova $x^{4}$ .

$- 50 x^{9} - 50 x^{4} - 50 (x^{4} x^{5}) - 3 (25 x^{4})$

Etapa 7.3.5.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- 50 x^{9} - 50 x^{4} - 50 x^{4 + 5} - 3 (25 x^{4})$

Etapa 7.3.5.3

Some $4$ e $5$ .

$- 50 x^{9} - 50 x^{4} - 50 x^{9} - 3 (25 x^{4})$

Etapa 7.3.6

Multiplique $25$ por $- 3$ .

$- 50 x^{9} - 50 x^{4} - 50 x^{9} - 75 x^{4}$

Etapa 7.3.7

Subtraia $50 x^{9}$ de $- 50 x^{9}$ .

$- 100 x^{9} - 50 x^{4} - 75 x^{4}$

Etapa 7.3.8

Subtraia $75 x^{4}$ de $- 50 x^{4}$ .

$- 100 x^{9} - 125 x^{4}$