Pré-cálculo Exemplos

$6 x^{2} - 12 x + 54 y^{2} + 108 y - 426 = 0$

Etapa 1

Some $426$ aos dois lados da equação.

$6 x^{2} - 12 x + 54 y^{2} + 108 y = 426$

Etapa 2

Complete o quadrado de $6 x^{2} - 12 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Use a forma $a x^{2} + b x + c$ para encontrar os valores de $a$ , $b$ e $c$ .

$a = 6$

$b = - 12$

$c = 0$

Etapa 2.2

Considere a forma de vértice de uma parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Etapa 2.3

Encontre o valor de $d$ usando a fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 12}{2 \cdot 6}$

Etapa 2.3.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.1

Cancele o fator comum de $- 12$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.1.1

Fatore $2$ de $- 12$ .

$d = \frac{2 \cdot - 6}{2 \cdot 6}$

Etapa 2.3.2.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.1.2.1

Fatore $2$ de $2 \cdot 6$ .

$d = \frac{2 \cdot - 6}{2 (6)}$

Etapa 2.3.2.1.2.2

Cancele o fator comum.

$d = \frac{2 \cdot - 6}{2 \cdot 6}$

Etapa 2.3.2.1.2.3

Reescreva a expressão.

$d = \frac{- 6}{6}$

Etapa 2.3.2.2

Cancele o fator comum de $- 6$ e $6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.2.1

Fatore $6$ de $- 6$ .

$d = \frac{6 \cdot - 1}{6}$

Etapa 2.3.2.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.2.2.1

Fatore $6$ de $6$ .

$d = \frac{6 \cdot - 1}{6 (1)}$

Etapa 2.3.2.2.2.2

Cancele o fator comum.

$d = \frac{6 \cdot - 1}{6 \cdot 1}$

Etapa 2.3.2.2.2.3

Reescreva a expressão.

$d = \frac{- 1}{1}$

Etapa 2.3.2.2.2.4

Divida $- 1$ por $1$ .

$d = - 1$

Etapa 2.4

Encontre o valor de $e$ usando a fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1

Substitua os valores de $c$ , $b$ e $a$ na fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 12)}^{2}}{4 \cdot 6}$

Etapa 2.4.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.1.1

Eleve $- 12$ à potência de $2$ .

$e = 0 - \frac{144}{4 \cdot 6}$

Etapa 2.4.2.1.2

Multiplique $4$ por $6$ .

$e = 0 - \frac{144}{24}$

Etapa 2.4.2.1.3

Divida $144$ por $24$ .

$e = 0 - 1 \cdot 6$

Etapa 2.4.2.1.4

Multiplique $- 1$ por $6$ .

$e = 0 - 6$

Etapa 2.4.2.2

Subtraia $6$ de $0$ .

$e = - 6$

Etapa 2.5

Substitua os valores de $a$ , $d$ e $e$ na forma do vértice $6 {(x - 1)}^{2} - 6$ .

$6 {(x - 1)}^{2} - 6$

Etapa 3

Substitua $6 {(x - 1)}^{2} - 6$ por $6 x^{2} - 12 x$ na equação $6 x^{2} - 12 x + 54 y^{2} + 108 y = 426$ .

$6 {(x - 1)}^{2} - 6 + 54 y^{2} + 108 y = 426$

Etapa 4

Mova $- 6$ para o lado direito da equação, somando $6$ aos dois lados.

$6 {(x - 1)}^{2} + 54 y^{2} + 108 y = 426 + 6$

Etapa 5

Complete o quadrado de $54 y^{2} + 108 y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Use a forma $a x^{2} + b x + c$ para encontrar os valores de $a$ , $b$ e $c$ .

$a = 54$

$b = 108$

$c = 0$

Etapa 5.2

Considere a forma de vértice de uma parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Etapa 5.3

Encontre o valor de $d$ usando a fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{108}{2 \cdot 54}$

Etapa 5.3.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.1

Cancele o fator comum de $108$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.1.1

Fatore $2$ de $108$ .

$d = \frac{2 \cdot 54}{2 \cdot 54}$

Etapa 5.3.2.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.1.2.1

Fatore $2$ de $2 \cdot 54$ .

$d = \frac{2 \cdot 54}{2 (54)}$

Etapa 5.3.2.1.2.2

Cancele o fator comum.

$d = \frac{2 \cdot 54}{2 \cdot 54}$

Etapa 5.3.2.1.2.3

Reescreva a expressão.

$d = \frac{54}{54}$

Etapa 5.3.2.2

Cancele o fator comum de $54$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.2.1

Cancele o fator comum.

$d = \frac{54}{54}$

Etapa 5.3.2.2.2

Reescreva a expressão.

$d = 1$

Etapa 5.4

Encontre o valor de $e$ usando a fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.1

Substitua os valores de $c$ , $b$ e $a$ na fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{108^{2}}{4 \cdot 54}$

Etapa 5.4.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.2.1.1

Eleve $108$ à potência de $2$ .

$e = 0 - \frac{11664}{4 \cdot 54}$

Etapa 5.4.2.1.2

Multiplique $4$ por $54$ .

$e = 0 - \frac{11664}{216}$

Etapa 5.4.2.1.3

Divida $11664$ por $216$ .

$e = 0 - 1 \cdot 54$

Etapa 5.4.2.1.4

Multiplique $- 1$ por $54$ .

$e = 0 - 54$

Etapa 5.4.2.2

Subtraia $54$ de $0$ .

$e = - 54$

Etapa 5.5

Substitua os valores de $a$ , $d$ e $e$ na forma do vértice $54 {(y + 1)}^{2} - 54$ .

$54 {(y + 1)}^{2} - 54$

Etapa 6

Substitua $54 {(y + 1)}^{2} - 54$ por $54 y^{2} + 108 y$ na equação $6 x^{2} - 12 x + 54 y^{2} + 108 y = 426$ .

$6 {(x - 1)}^{2} + 54 {(y + 1)}^{2} - 54 = 426 + 6$

Etapa 7

Mova $- 54$ para o lado direito da equação, somando $54$ aos dois lados.

$6 {(x - 1)}^{2} + 54 {(y + 1)}^{2} = 426 + 6 + 54$

Etapa 8

Simplifique $426 + 6 + 54$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Some $426$ e $6$ .

$6 {(x - 1)}^{2} + 54 {(y + 1)}^{2} = 432 + 54$

Etapa 8.2

Some $432$ e $54$ .

$6 {(x - 1)}^{2} + 54 {(y + 1)}^{2} = 486$

Etapa 9

Divida cada termo por $486$ para que o lado direito seja igual a um.

$\frac{6 {(x - 1)}^{2}}{486} + \frac{54 {(y + 1)}^{2}}{486} = \frac{486}{486}$

Etapa 10

Simplifique cada termo na equação para definir o lado direito como igual a $1$ . A forma padrão de uma elipse ou hipérbole exige que o lado direito da equação seja $1$ .

$\frac{{(x - 1)}^{2}}{81} + \frac{{(y + 1)}^{2}}{9} = 1$

Etapa 11

Esta é a forma de uma elipse. Use-a para determinar os valores usados para encontrar o centro junto com os eixos maior e menor da elipse.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Etapa 12

Associe os valores nesta elipse com os da forma padrão. A variável $a$ representa o raio do eixo maior da elipse, $b$ representa o raio do eixo menor da elipse, $h$ representa o deslocamento de x em relação à origem e $k$ representa o deslocamento de y em relação à origem.

$a = 9$

$b = 3$

$k = - 1$

$h = 1$

Etapa 13

Encontre a excentricidade usando a seguinte fórmula.

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

Etapa 14

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula.

$\frac{\sqrt{{(9)}^{2} - {(3)}^{2}}}{9}$

Etapa 15

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.1.1

Eleve $9$ à potência de $2$ .

$\frac{\sqrt{81 - 3^{2}}}{9}$

Etapa 15.1.2

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$\frac{\sqrt{81 - 1 \cdot 9}}{9}$

Etapa 15.1.3

Multiplique $- 1$ por $9$ .

$\frac{\sqrt{81 - 9}}{9}$

Etapa 15.1.4

Subtraia $9$ de $81$ .

$\frac{\sqrt{72}}{9}$

Etapa 15.1.5

Reescreva $72$ como $6^{2} \cdot 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.1.5.1

Fatore $36$ de $72$ .

$\frac{\sqrt{36 (2)}}{9}$

Etapa 15.1.5.2

Reescreva $36$ como $6^{2}$ .

$\frac{\sqrt{6^{2} \cdot 2}}{9}$

Etapa 15.1.6

Elimine os termos abaixo do radical.

$\frac{6 \sqrt{2}}{9}$

Etapa 15.2

Cancele o fator comum de $6$ e $9$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1

Fatore $3$ de $6 \sqrt{2}$ .

$\frac{3 (2 \sqrt{2})}{9}$

Etapa 15.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.2.1

Fatore $3$ de $9$ .

$\frac{3 (2 \sqrt{2})}{3 (3)}$

Etapa 15.2.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{3 (2 \sqrt{2})}{3 \cdot 3}$

Etapa 15.2.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{2 \sqrt{2}}{3}$

Etapa 16

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{2 \sqrt{2}}{3}$

Forma decimal:

$0.94280904 \dots$

Etapa 17