Pré-cálculo Exemplos

$f (x) = x^{4} - 7 x^{3} + 8 x^{2} + 28 x - 48$

Etapa 1

Defina $x^{4} - 7 x^{3} + 8 x^{2} + 28 x - 48$ como igual a $0$ .

$x^{4} - 7 x^{3} + 8 x^{2} + 28 x - 48 = 0$

Etapa 2

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Fatore o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Reagrupe os termos.

$- 7 x^{3} + 28 x + x^{4} + 8 x^{2} - 48 = 0$

Etapa 2.1.2

Fatore $- 7 x$ de $- 7 x^{3} + 28 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1

Fatore $- 7 x$ de $- 7 x^{3}$ .

$- 7 x \cdot x^{2} + 28 x + x^{4} + 8 x^{2} - 48 = 0$

Etapa 2.1.2.2

Fatore $- 7 x$ de $28 x$ .

$- 7 x \cdot x^{2} - 7 x \cdot - 4 + x^{4} + 8 x^{2} - 48 = 0$

Etapa 2.1.2.3

Fatore $- 7 x$ de $- 7 x (x^{2}) - 7 x (- 4)$ .

$- 7 x (x^{2} - 4) + x^{4} + 8 x^{2} - 48 = 0$

Etapa 2.1.3

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$- 7 x (x^{2} - 2^{2}) + x^{4} + 8 x^{2} - 48 = 0$

Etapa 2.1.4

Fatore.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.4.1

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 2$ .

$- 7 x ((x + 2) (x - 2)) + x^{4} + 8 x^{2} - 48 = 0$

Etapa 2.1.4.2

Remova os parênteses desnecessários.

$- 7 x (x + 2) (x - 2) + x^{4} + 8 x^{2} - 48 = 0$

Etapa 2.1.5

Reescreva $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$- 7 x (x + 2) (x - 2) + {(x^{2})}^{2} + 8 x^{2} - 48 = 0$

Etapa 2.1.6

Deixe $u = x^{2}$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $x^{2}$ .

$- 7 x (x + 2) (x - 2) + u^{2} + 8 u - 48 = 0$

Etapa 2.1.7

Fatore $u^{2} + 8 u - 48$ usando o método AC.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.7.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 48$ e cuja soma é $8$ .

$- 4, 12$

Etapa 2.1.7.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$- 7 x (x + 2) (x - 2) + (u - 4) (u + 12) = 0$

Etapa 2.1.8

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2}$ .

$- 7 x (x + 2) (x - 2) + (x^{2} - 4) (x^{2} + 12) = 0$

Etapa 2.1.9

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$- 7 x (x + 2) (x - 2) + (x^{2} - 2^{2}) (x^{2} + 12) = 0$

Etapa 2.1.10

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 2$ .

$- 7 x (x + 2) (x - 2) + (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 12) = 0$

Etapa 2.1.11

Fatore $(x + 2) (x - 2)$ de $- 7 x (x + 2) (x - 2) + (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 12)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.11.1

Fatore $(x + 2) (x - 2)$ de $- 7 x (x + 2) (x - 2)$ .

$(x + 2) (x - 2) (- 7 x) + (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 12) = 0$

Etapa 2.1.11.2

Fatore $(x + 2) (x - 2)$ de $(x + 2) (x - 2) (- 7 x) + (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 12)$ .

$(x + 2) (x - 2) (- 7 x + x^{2} + 12) = 0$

Etapa 2.1.12

Deixe $u = x$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $x$ .

$(x + 2) (x - 2) (- 7 u + u^{2} + 12) = 0$

Etapa 2.1.13

Fatore $- 7 u + u^{2} + 12$ usando o método AC.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.13.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $12$ e cuja soma é $- 7$ .

$- 4, - 3$

Etapa 2.1.13.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$(x + 2) (x - 2) ((u - 4) (u - 3)) = 0$

Etapa 2.1.14

Fatore.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.14.1

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x$ .

$(x + 2) (x - 2) ((x - 4) (x - 3)) = 0$

Etapa 2.1.14.2

Remova os parênteses desnecessários.

$(x + 2) (x - 2) (x - 4) (x - 3) = 0$

Etapa 2.2

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x + 2 = 0$

$x - 2 = 0$

$x - 4 = 0$

$x - 3 = 0$

Etapa 2.3

Defina $x + 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Defina $x + 2$ como igual a $0$ .

$x + 2 = 0$

Etapa 2.3.2

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$x = - 2$

Etapa 2.4

Defina $x - 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1

Defina $x - 2$ como igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

Etapa 2.4.2

Some $2$ aos dois lados da equação.

$x = 2$

Etapa 2.5

Defina $x - 4$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.1

Defina $x - 4$ como igual a $0$ .

$x - 4 = 0$

Etapa 2.5.2

Some $4$ aos dois lados da equação.

$x = 4$

Etapa 2.6

Defina $x - 3$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.1

Defina $x - 3$ como igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

Etapa 2.6.2

Some $3$ aos dois lados da equação.

$x = 3$

Etapa 2.7

A solução final são todos os valores que tornam $(x + 2) (x - 2) (x - 4) (x - 3) = 0$ verdadeiro.

$x = - 2, 2, 4, 3$

Etapa 3