Pré-cálculo Exemplos

$f (x) = \csc (x) + \sqrt{2}$

Etapa 1

Defina $\csc (x) + \sqrt{2}$ como igual a $0$ .

$\csc (x) + \sqrt{2} = 0$

Etapa 2

Resolva $x$ .

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Etapa 2.1

Subtraia $\sqrt{2}$ dos dois lados da equação.

$\csc (x) = - \sqrt{2}$

Etapa 2.2

Obtenha a cossecante inversa dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro da cossecante.

$x = arccsc (- \sqrt{2})$

Etapa 2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.3.1

O valor exato de $arccsc (- \sqrt{2})$ é $- \frac{π}{4}$ .

$x = - \frac{π}{4}$

Etapa 2.4

A função do cosseno é negativa no terceiro e no quarto quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia a solução de $2 π$ para determinar um ângulo de referência. Depois, some esse ângulo de referência com $π$ para encontrar a solução no terceiro quadrante.

$x = 2 π + \frac{π}{4} + π$

Etapa 2.5

Simplifique a expressão para encontrar a segunda solução.

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Etapa 2.5.1

Subtraia $2 π$ de $2 π + \frac{π}{4} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{4} + π - 2 π$

Etapa 2.5.2

O ângulo resultante de $\frac{5 π}{4}$ é positivo, menor do que $2 π$ e coterminal com $2 π + \frac{π}{4} + π$ .

$x = \frac{5 π}{4}$

Etapa 2.6

Encontre o período de $\csc (x)$ .

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Etapa 2.6.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 2.6.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 2.6.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 2.6.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 2.7

Some $2 π$ com todos os ângulos negativos para obter os ângulos positivos.

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Etapa 2.7.1

Some $2 π$ com $- \frac{π}{4}$ para encontrar o ângulo positivo.

$- \frac{π}{4} + 2 π$

Etapa 2.7.2

Para escrever $2 π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Etapa 2.7.3

Combine frações.

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Etapa 2.7.3.1

Combine $2 π$ e $\frac{4}{4}$ .

$\frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Etapa 2.7.3.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{2 π \cdot 4 - π}{4}$

Etapa 2.7.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.7.4.1

Multiplique $4$ por $2$ .

$\frac{8 π - π}{4}$

Etapa 2.7.4.2

Subtraia $π$ de $8 π$ .

$\frac{7 π}{4}$

Etapa 2.7.5

Liste os novos ângulos.

$x = \frac{7 π}{4}$

Etapa 2.8

O período da função $\csc (x)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$x = \frac{5 π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 3