Pré-cálculo Exemplos

$f (x) = \sin (2 x) + \sin (x)$

Etapa 1

Defina $\sin (2 x) + \sin (x)$ como igual a $0$ .

$\sin (2 x) + \sin (x) = 0$

Etapa 2

Resolva $x$ .

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Etapa 2.1

Aplique a fórmula do arco duplo do seno.

$2 \sin (x) \cos (x) + \sin (x) = 0$

Etapa 2.2

Fatore $\sin (x)$ de $2 \sin (x) \cos (x) + \sin (x)$ .

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Etapa 2.2.1

Fatore $\sin (x)$ de $2 \sin (x) \cos (x)$ .

$\sin (x) (2 \cos (x)) + \sin (x) = 0$

Etapa 2.2.2

Eleve $\sin (x)$ à potência de $1$ .

$\sin (x) (2 \cos (x)) + \sin (x) = 0$

Etapa 2.2.3

Fatore $\sin (x)$ de $\sin^{1} (x)$ .

$\sin (x) (2 \cos (x)) + \sin (x) \cdot 1 = 0$

Etapa 2.2.4

Fatore $\sin (x)$ de $\sin (x) (2 \cos (x)) + \sin (x) \cdot 1$ .

$\sin (x) (2 \cos (x) + 1) = 0$

Etapa 2.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$\sin (x) = 0$

$2 \cos (x) + 1 = 0$

Etapa 2.4

Defina $\sin (x)$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.4.1

Defina $\sin (x)$ como igual a $0$ .

$\sin (x) = 0$

Etapa 2.4.2

Resolva $\sin (x) = 0$ para $x$ .

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Etapa 2.4.2.1

Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do seno.

$x = \arcsin (0)$

Etapa 2.4.2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.4.2.2.1

O valor exato de $\arcsin (0)$ é $0$ .

$x = 0$

Etapa 2.4.2.3

A função do seno é positiva no primeiro e no segundo quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no segundo quadrante.

$x = π - 0$

Etapa 2.4.2.4

Subtraia $0$ de $π$ .

$x = π$

Etapa 2.4.2.5

Encontre o período de $\sin (x)$ .

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Etapa 2.4.2.5.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 2.4.2.5.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 2.4.2.5.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 2.4.2.5.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 2.4.2.6

O período da função $\sin (x)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 2.5

Defina $2 \cos (x) + 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.5.1

Defina $2 \cos (x) + 1$ como igual a $0$ .

$2 \cos (x) + 1 = 0$

Etapa 2.5.2

Resolva $2 \cos (x) + 1 = 0$ para $x$ .

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Etapa 2.5.2.1

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$2 \cos (x) = - 1$

Etapa 2.5.2.2

Divida cada termo em $2 \cos (x) = - 1$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 2.5.2.2.1

Divida cada termo em $2 \cos (x) = - 1$ por $2$ .

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{- 1}{2}$

Etapa 2.5.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.5.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 2.5.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{- 1}{2}$

Etapa 2.5.2.2.2.1.2

Divida $\cos (x)$ por $1$ .

$\cos (x) = \frac{- 1}{2}$

Etapa 2.5.2.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.5.2.2.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\cos (x) = - \frac{1}{2}$

Etapa 2.5.2.3

Obtenha o cosseno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do cosseno.

$x = \arccos (- \frac{1}{2})$

Etapa 2.5.2.4

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.5.2.4.1

O valor exato de $\arccos (- \frac{1}{2})$ é $\frac{2 π}{3}$ .

$x = \frac{2 π}{3}$

Etapa 2.5.2.5

A função do cosseno é negativa no segundo e no terceiro quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $2 π$ para determinar a solução no terceiro quadrante.

$x = 2 π - \frac{2 π}{3}$

Etapa 2.5.2.6

Simplifique $2 π - \frac{2 π}{3}$ .

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Etapa 2.5.2.6.1

Para escrever $2 π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{2 π}{3}$

Etapa 2.5.2.6.2

Combine frações.

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Etapa 2.5.2.6.2.1

Combine $2 π$ e $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{2 π}{3}$

Etapa 2.5.2.6.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x = \frac{2 π \cdot 3 - 2 π}{3}$

Etapa 2.5.2.6.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.5.2.6.3.1

Multiplique $3$ por $2$ .

$x = \frac{6 π - 2 π}{3}$

Etapa 2.5.2.6.3.2

Subtraia $2 π$ de $6 π$ .

$x = \frac{4 π}{3}$

Etapa 2.5.2.7

Encontre o período de $\cos (x)$ .

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Etapa 2.5.2.7.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 2.5.2.7.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 2.5.2.7.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 2.5.2.7.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 2.5.2.8

O período da função $\cos (x)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$x = \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 2.6

A solução final são todos os valores que tornam $\sin (x) (2 \cos (x) + 1) = 0$ verdadeiro.

$x = 2 π n, π + 2 π n, \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 2.7

Consolide $2 π n$ e $π + 2 π n$ em $π n$ .

$x = π n, \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 3