Pré-cálculo Exemplos

$\frac{x}{x^{3} - 125}$

Etapa 1

Defina o denominador em $\frac{x}{x^{3} - 125}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x^{3} - 125 = 0$

Etapa 2

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Some $125$ aos dois lados da equação.

$x^{3} = 125$

Etapa 2.2

Subtraia $125$ dos dois lados da equação.

$x^{3} - 125 = 0$

Etapa 2.3

Fatore o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Reescreva $125$ como $5^{3}$ .

$x^{3} - 5^{3} = 0$

Etapa 2.3.2

Como os dois termos são cubos perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de cubos, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ em que $a = x$ e $b = 5$ .

$(x - 5) (x^{2} + x \cdot 5 + 5^{2}) = 0$

Etapa 2.3.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.1

Mova $5$ para a esquerda de $x$ .

$(x - 5) (x^{2} + 5 x + 5^{2}) = 0$

Etapa 2.3.3.2

Eleve $5$ à potência de $2$ .

$(x - 5) (x^{2} + 5 x + 25) = 0$

Etapa 2.4

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x - 5 = 0$

$x^{2} + 5 x + 25 = 0$

Etapa 2.5

Defina $x - 5$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.1

Defina $x - 5$ como igual a $0$ .

$x - 5 = 0$

Etapa 2.5.2

Some $5$ aos dois lados da equação.

$x = 5$

Etapa 2.6

Defina $x^{2} + 5 x + 25$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.1

Defina $x^{2} + 5 x + 25$ como igual a $0$ .

$x^{2} + 5 x + 25 = 0$

Etapa 2.6.2

Resolva $x^{2} + 5 x + 25 = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.2.1

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 2.6.2.2

Substitua os valores $a = 1$ , $b = 5$ e $c = 25$ na fórmula quadrática e resolva $x$ .

$\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 25)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.6.2.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.2.3.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.2.3.1.1

Eleve $5$ à potência de $2$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 1 \cdot 25}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.6.2.3.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 1 \cdot 25$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.2.3.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 25}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.6.2.3.1.2.2

Multiplique $- 4$ por $25$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 100}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.6.2.3.1.3

Subtraia $100$ de $25$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 75}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.6.2.3.1.4

Reescreva $- 75$ como $- 1 (75)$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 1 \cdot 75}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.6.2.3.1.5

Reescreva $\sqrt{- 1 (75)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{75}$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{75}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.6.2.3.1.6

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{- 5 \pm i \cdot \sqrt{75}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.6.2.3.1.7

Reescreva $75$ como $5^{2} \cdot 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.2.3.1.7.1

Fatore $25$ de $75$ .

$x = \frac{- 5 \pm i \cdot \sqrt{25 (3)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.6.2.3.1.7.2

Reescreva $25$ como $5^{2}$ .

$x = \frac{- 5 \pm i \cdot \sqrt{5^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.6.2.3.1.8

Elimine os termos abaixo do radical.

$x = \frac{- 5 \pm i \cdot (5 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.6.2.3.1.9

Mova $5$ para a esquerda de $i$ .

$x = \frac{- 5 \pm 5 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.6.2.3.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$x = \frac{- 5 \pm 5 i \sqrt{3}}{2}$

Etapa 2.6.2.4

Simplifique a expressão para resolver a parte $+$ de $\pm$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.2.4.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.2.4.1.1

Eleve $5$ à potência de $2$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 1 \cdot 25}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.6.2.4.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 1 \cdot 25$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.2.4.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 25}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.6.2.4.1.2.2

Multiplique $- 4$ por $25$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 100}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.6.2.4.1.3

Subtraia $100$ de $25$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 75}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.6.2.4.1.4

Reescreva $- 75$ como $- 1 (75)$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 1 \cdot 75}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.6.2.4.1.5

Reescreva $\sqrt{- 1 (75)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{75}$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{75}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.6.2.4.1.6

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{- 5 \pm i \cdot \sqrt{75}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.6.2.4.1.7

Reescreva $75$ como $5^{2} \cdot 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.2.4.1.7.1

Fatore $25$ de $75$ .

$x = \frac{- 5 \pm i \cdot \sqrt{25 (3)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.6.2.4.1.7.2

Reescreva $25$ como $5^{2}$ .

$x = \frac{- 5 \pm i \cdot \sqrt{5^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.6.2.4.1.8

Elimine os termos abaixo do radical.

$x = \frac{- 5 \pm i \cdot (5 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.6.2.4.1.9

Mova $5$ para a esquerda de $i$ .

$x = \frac{- 5 \pm 5 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.6.2.4.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$x = \frac{- 5 \pm 5 i \sqrt{3}}{2}$

Etapa 2.6.2.4.3

Altere $\pm$ para $+$ .

$x = \frac{- 5 + 5 i \sqrt{3}}{2}$

Etapa 2.6.2.4.4

Reescreva $- 5$ como $- 1 (5)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 5 + 5 i \sqrt{3}}{2}$

Etapa 2.6.2.4.5

Fatore $- 1$ de $5 i \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 5 - (- 5 i \sqrt{3})}{2}$

Etapa 2.6.2.4.6

Fatore $- 1$ de $- 1 (5) - (- 5 i \sqrt{3})$ .

$x = \frac{- 1 (5 - 5 i \sqrt{3})}{2}$

Etapa 2.6.2.4.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x = - \frac{5 - 5 i \sqrt{3}}{2}$

Etapa 2.6.2.5

Simplifique a expressão para resolver a parte $-$ de $\pm$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.2.5.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.2.5.1.1

Eleve $5$ à potência de $2$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 1 \cdot 25}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.6.2.5.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 1 \cdot 25$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.2.5.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 25}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.6.2.5.1.2.2

Multiplique $- 4$ por $25$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 100}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.6.2.5.1.3

Subtraia $100$ de $25$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 75}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.6.2.5.1.4

Reescreva $- 75$ como $- 1 (75)$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 1 \cdot 75}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.6.2.5.1.5

Reescreva $\sqrt{- 1 (75)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{75}$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{75}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.6.2.5.1.6

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{- 5 \pm i \cdot \sqrt{75}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.6.2.5.1.7

Reescreva $75$ como $5^{2} \cdot 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.2.5.1.7.1

Fatore $25$ de $75$ .

$x = \frac{- 5 \pm i \cdot \sqrt{25 (3)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.6.2.5.1.7.2

Reescreva $25$ como $5^{2}$ .

$x = \frac{- 5 \pm i \cdot \sqrt{5^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.6.2.5.1.8

Elimine os termos abaixo do radical.

$x = \frac{- 5 \pm i \cdot (5 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.6.2.5.1.9

Mova $5$ para a esquerda de $i$ .

$x = \frac{- 5 \pm 5 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.6.2.5.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$x = \frac{- 5 \pm 5 i \sqrt{3}}{2}$

Etapa 2.6.2.5.3

Altere $\pm$ para $-$ .

$x = \frac{- 5 - 5 i \sqrt{3}}{2}$

Etapa 2.6.2.5.4

Reescreva $- 5$ como $- 1 (5)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 5 - 5 i \sqrt{3}}{2}$

Etapa 2.6.2.5.5

Fatore $- 1$ de $- 5 i \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 5 - (5 i \sqrt{3})}{2}$

Etapa 2.6.2.5.6

Fatore $- 1$ de $- 1 (5) - (5 i \sqrt{3})$ .

$x = \frac{- 1 (5 + 5 i \sqrt{3})}{2}$

Etapa 2.6.2.5.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x = - \frac{5 + 5 i \sqrt{3}}{2}$

Etapa 2.6.2.6

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$x = - \frac{5 - 5 i \sqrt{3}}{2}, - \frac{5 + 5 i \sqrt{3}}{2}$

Etapa 2.7

A solução final são todos os valores que tornam $(x - 5) (x^{2} + 5 x + 25) = 0$ verdadeiro.

$x = 5, - \frac{5 - 5 i \sqrt{3}}{2}, - \frac{5 + 5 i \sqrt{3}}{2}$

Etapa 3

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

Notação de intervalo:

$(- \infty, 5) \cup (5, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \neq 5}$

Etapa 4