Pré-cálculo Exemplos

$x^{3} - 3 x^{2} - 54 x < 0$

Etapa 1

Converta a desigualdade em uma equação.

$x^{3} - 3 x^{2} - 54 x = 0$

Etapa 2

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.1

Fatore $x$ de $x^{3} - 3 x^{2} - 54 x$ .

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Etapa 2.1.1

Fatore $x$ de $x^{3}$ .

$x \cdot x^{2} - 3 x^{2} - 54 x = 0$

Etapa 2.1.2

Fatore $x$ de $- 3 x^{2}$ .

$x \cdot x^{2} + x (- 3 x) - 54 x = 0$

Etapa 2.1.3

Fatore $x$ de $- 54 x$ .

$x \cdot x^{2} + x (- 3 x) + x \cdot - 54 = 0$

Etapa 2.1.4

Fatore $x$ de $x \cdot x^{2} + x (- 3 x)$ .

$x (x^{2} - 3 x) + x \cdot - 54 = 0$

Etapa 2.1.5

Fatore $x$ de $x (x^{2} - 3 x) + x \cdot - 54$ .

$x (x^{2} - 3 x - 54) = 0$

Etapa 2.2

Fatore.

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Etapa 2.2.1

Fatore $x^{2} - 3 x - 54$ usando o método AC.

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Etapa 2.2.1.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 54$ e cuja soma é $- 3$ .

$- 9, 6$

Etapa 2.2.1.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$x ((x - 9) (x + 6)) = 0$

Etapa 2.2.2

Remova os parênteses desnecessários.

$x (x - 9) (x + 6) = 0$

Etapa 3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x = 0$

$x - 9 = 0$

$x + 6 = 0$

Etapa 4

Defina $x$ como igual a $0$ .

$x = 0$

Etapa 5

Defina $x - 9$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 5.1

Defina $x - 9$ como igual a $0$ .

$x - 9 = 0$

Etapa 5.2

Some $9$ aos dois lados da equação.

$x = 9$

Etapa 6

Defina $x + 6$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 6.1

Defina $x + 6$ como igual a $0$ .

$x + 6 = 0$

Etapa 6.2

Subtraia $6$ dos dois lados da equação.

$x = - 6$

Etapa 7

A solução final são todos os valores que tornam $x (x - 9) (x + 6) = 0$ verdadeiro.

$x = 0, 9, - 6$

Etapa 8

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < - 6$

$- 6 < x < 0$

$0 < x < 9$

$x > 9$

Etapa 9

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

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Etapa 9.1

Teste um valor no intervalo $x < - 6$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 9.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < - 6$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 8$

Etapa 9.1.2

Substitua $x$ por $- 8$ na desigualdade original.

${(- 8)}^{3} - 3 {(- 8)}^{2} - 54 \cdot - 8 < 0$

Etapa 9.1.3

O lado esquerdo $- 272$ é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

Verdadeiro

Etapa 9.2

Teste um valor no intervalo $- 6 < x < 0$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 9.2.1

Escolha um valor no intervalo $- 6 < x < 0$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 3$

Etapa 9.2.2

Substitua $x$ por $- 3$ na desigualdade original.

${(- 3)}^{3} - 3 {(- 3)}^{2} - 54 \cdot - 3 < 0$

Etapa 9.2.3

O lado esquerdo $108$ não é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

Falso

Etapa 9.3

Teste um valor no intervalo $0 < x < 9$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 9.3.1

Escolha um valor no intervalo $0 < x < 9$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 4$

Etapa 9.3.2

Substitua $x$ por $4$ na desigualdade original.

${(4)}^{3} - 3 {(4)}^{2} - 54 \cdot 4 < 0$

Etapa 9.3.3

O lado esquerdo $- 200$ é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

Verdadeiro

Etapa 9.4

Teste um valor no intervalo $x > 9$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 9.4.1

Escolha um valor no intervalo $x > 9$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 12$

Etapa 9.4.2

Substitua $x$ por $12$ na desigualdade original.

${(12)}^{3} - 3 {(12)}^{2} - 54 \cdot 12 < 0$

Etapa 9.4.3

O lado esquerdo $648$ não é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

Falso

Etapa 9.5

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < - 6$ Verdadeiro

$- 6 < x < 0$ Falso

$0 < x < 9$ Verdadeiro

$x > 9$ Falso

$x < - 6$ Verdadeiro

$- 6 < x < 0$ Falso

$0 < x < 9$ Verdadeiro

$x > 9$ Falso

Etapa 10

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$x < - 6$ ou $0 < x < 9$

Etapa 11

Converta a desigualdade em notação de intervalo.

$(- \infty, - 6) \cup (0, 9)$

Etapa 12