Pré-cálculo Exemplos

$6 x < \frac{36}{x + 5}$

Etapa 1

Subtraia $\frac{36}{x + 5}$ dos dois lados da desigualdade.

$6 x - \frac{36}{x + 5} < 0$

Etapa 2

Simplifique $6 x - \frac{36}{x + 5}$ .

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Etapa 2.1

Para escrever $6 x$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x + 5}{x + 5}$ .

$\frac{6 x (x + 5)}{x + 5} - \frac{36}{x + 5} < 0$

Etapa 2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{6 x (x + 5) - 36}{x + 5} < 0$

Etapa 2.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.3.1

Fatore $6$ de $6 x (x + 5) - 36$ .

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Etapa 2.3.1.1

Fatore $6$ de $6 x (x + 5)$ .

$\frac{6 (x (x + 5)) - 36}{x + 5} < 0$

Etapa 2.3.1.2

Fatore $6$ de $- 36$ .

$\frac{6 (x (x + 5)) + 6 \cdot - 6}{x + 5} < 0$

Etapa 2.3.1.3

Fatore $6$ de $6 (x (x + 5)) + 6 \cdot - 6$ .

$\frac{6 (x (x + 5) - 6)}{x + 5} < 0$

Etapa 2.3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{6 (x \cdot x + x \cdot 5 - 6)}{x + 5} < 0$

Etapa 2.3.3

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{6 (x^{2} + x \cdot 5 - 6)}{x + 5} < 0$

Etapa 2.3.4

Mova $5$ para a esquerda de $x$ .

$\frac{6 (x^{2} + 5 \cdot x - 6)}{x + 5} < 0$

Etapa 2.3.5

Fatore $x^{2} + 5 x - 6$ usando o método AC.

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Etapa 2.3.5.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 6$ e cuja soma é $5$ .

$- 1, 6$

Etapa 2.3.5.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$\frac{6 ((x - 1) (x + 6))}{x + 5} < 0$

$\frac{6 (x - 1) (x + 6)}{x + 5} < 0$

Etapa 3

Encontre todos os valores em que a expressão muda de negativo para positivo, definindo cada fator igual a $0$ . Depois, resolva.

$x - 1 = 0$

$x + 6 = 0$

$x + 5 = 0$

Etapa 4

Some $1$ aos dois lados da equação.

$x = 1$

Etapa 5

Subtraia $6$ dos dois lados da equação.

$x = - 6$

Etapa 6

Subtraia $5$ dos dois lados da equação.

$x = - 5$

Etapa 7

Resolva cada fator para encontrar os valores em que a expressão de valor absoluto passa de negativa para positiva.

$x = 1$

$x = - 6$

$x = - 5$

Etapa 8

Consolide as soluções.

$x = 1, - 6, - 5$

Etapa 9

Encontre o domínio de $\frac{6 (x - 1) (x + 6)}{x + 5}$ .

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Etapa 9.1

Defina o denominador em $\frac{6 (x - 1) (x + 6)}{x + 5}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x + 5 = 0$

Etapa 9.2

Subtraia $5$ dos dois lados da equação.

$x = - 5$

Etapa 9.3

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

$(- \infty, - 5) \cup (- 5, \infty)$

Etapa 10

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < - 6$

$- 6 < x < - 5$

$- 5 < x < 1$

$x > 1$

Etapa 11

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

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Etapa 11.1

Teste um valor no intervalo $x < - 6$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 11.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < - 6$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 8$

Etapa 11.1.2

Substitua $x$ por $- 8$ na desigualdade original.

$6 (- 8) < \frac{36}{(- 8) + 5}$

Etapa 11.1.3

O lado esquerdo $- 48$ é menor do que o lado direito $- 12$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

Verdadeiro

Etapa 11.2

Teste um valor no intervalo $- 6 < x < - 5$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 11.2.1

Escolha um valor no intervalo $- 6 < x < - 5$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 5.5$

Etapa 11.2.2

Substitua $x$ por $- 5.5$ na desigualdade original.

$6 (- 5.5) < \frac{36}{(- 5.5) + 5}$

Etapa 11.2.3

O lado esquerdo $- 33$ não é menor do que o lado direito $- 72$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

Falso

Etapa 11.3

Teste um valor no intervalo $- 5 < x < 1$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 11.3.1

Escolha um valor no intervalo $- 5 < x < 1$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 0$

Etapa 11.3.2

Substitua $x$ por $0$ na desigualdade original.

$6 (0) < \frac{36}{(0) + 5}$

Etapa 11.3.3

O lado esquerdo $0$ é menor do que o lado direito $7.2$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

Verdadeiro

Etapa 11.4

Teste um valor no intervalo $x > 1$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 11.4.1

Escolha um valor no intervalo $x > 1$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 4$

Etapa 11.4.2

Substitua $x$ por $4$ na desigualdade original.

$6 (4) < \frac{36}{(4) + 5}$

Etapa 11.4.3

O lado esquerdo $24$ não é menor do que o lado direito $4$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

Falso

Etapa 11.5

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < - 6$ Verdadeiro

$- 6 < x < - 5$ Falso

$- 5 < x < 1$ Verdadeiro

$x > 1$ Falso

$x < - 6$ Verdadeiro

$- 6 < x < - 5$ Falso

$- 5 < x < 1$ Verdadeiro

$x > 1$ Falso

Etapa 12

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$x < - 6$ ou $- 5 < x < 1$

Etapa 13

Converta a desigualdade em notação de intervalo.

$(- \infty, - 6) \cup (- 5, 1)$

Etapa 14