Pré-cálculo Exemplos

$x^{3} < 2 x^{2} + 3 x$

Etapa 1

Mova todas as expressões para o lado esquerdo da equação.

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Etapa 1.1

Subtraia $2 x^{2}$ dos dois lados da desigualdade.

$x^{3} - 2 x^{2} < 3 x$

Etapa 1.2

Subtraia $3 x$ dos dois lados da desigualdade.

$x^{3} - 2 x^{2} - 3 x < 0$

Etapa 2

Converta a desigualdade em uma equação.

$x^{3} - 2 x^{2} - 3 x = 0$

Etapa 3

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 3.1

Fatore $x$ de $x^{3} - 2 x^{2} - 3 x$ .

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Etapa 3.1.1

Fatore $x$ de $x^{3}$ .

$x \cdot x^{2} - 2 x^{2} - 3 x = 0$

Etapa 3.1.2

Fatore $x$ de $- 2 x^{2}$ .

$x \cdot x^{2} + x (- 2 x) - 3 x = 0$

Etapa 3.1.3

Fatore $x$ de $- 3 x$ .

$x \cdot x^{2} + x (- 2 x) + x \cdot - 3 = 0$

Etapa 3.1.4

Fatore $x$ de $x \cdot x^{2} + x (- 2 x)$ .

$x (x^{2} - 2 x) + x \cdot - 3 = 0$

Etapa 3.1.5

Fatore $x$ de $x (x^{2} - 2 x) + x \cdot - 3$ .

$x (x^{2} - 2 x - 3) = 0$

Etapa 3.2

Fatore.

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Etapa 3.2.1

Fatore $x^{2} - 2 x - 3$ usando o método AC.

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Etapa 3.2.1.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 3$ e cuja soma é $- 2$ .

$- 3, 1$

Etapa 3.2.1.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$x ((x - 3) (x + 1)) = 0$

Etapa 3.2.2

Remova os parênteses desnecessários.

$x (x - 3) (x + 1) = 0$

Etapa 4

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x = 0$

$x - 3 = 0$

$x + 1 = 0$

Etapa 5

Defina $x$ como igual a $0$ .

$x = 0$

Etapa 6

Defina $x - 3$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 6.1

Defina $x - 3$ como igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

Etapa 6.2

Some $3$ aos dois lados da equação.

$x = 3$

Etapa 7

Defina $x + 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 7.1

Defina $x + 1$ como igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

Etapa 7.2

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$x = - 1$

Etapa 8

A solução final são todos os valores que tornam $x (x - 3) (x + 1) = 0$ verdadeiro.

$x = 0, 3, - 1$

Etapa 9

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < - 1$

$- 1 < x < 0$

$0 < x < 3$

$x > 3$

Etapa 10

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

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Etapa 10.1

Teste um valor no intervalo $x < - 1$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 10.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < - 1$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 4$

Etapa 10.1.2

Substitua $x$ por $- 4$ na desigualdade original.

${(- 4)}^{3} < 2 {(- 4)}^{2} + 3 (- 4)$

Etapa 10.1.3

O lado esquerdo $- 64$ é menor do que o lado direito $20$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

Verdadeiro

Etapa 10.2

Teste um valor no intervalo $- 1 < x < 0$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 10.2.1

Escolha um valor no intervalo $- 1 < x < 0$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 0.5$

Etapa 10.2.2

Substitua $x$ por $- 0.5$ na desigualdade original.

${(- 0.5)}^{3} < 2 {(- 0.5)}^{2} + 3 (- 0.5)$

Etapa 10.2.3

O lado esquerdo $- 0.125$ não é menor do que o lado direito $- 1$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

Falso

Etapa 10.3

Teste um valor no intervalo $0 < x < 3$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 10.3.1

Escolha um valor no intervalo $0 < x < 3$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 2$

Etapa 10.3.2

Substitua $x$ por $2$ na desigualdade original.

${(2)}^{3} < 2 {(2)}^{2} + 3 (2)$

Etapa 10.3.3

O lado esquerdo $8$ é menor do que o lado direito $14$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

Verdadeiro

Etapa 10.4

Teste um valor no intervalo $x > 3$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 10.4.1

Escolha um valor no intervalo $x > 3$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 6$

Etapa 10.4.2

Substitua $x$ por $6$ na desigualdade original.

${(6)}^{3} < 2 {(6)}^{2} + 3 (6)$

Etapa 10.4.3

O lado esquerdo $216$ não é menor do que o lado direito $90$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

Falso

Etapa 10.5

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < - 1$ Verdadeiro

$- 1 < x < 0$ Falso

$0 < x < 3$ Verdadeiro

$x > 3$ Falso

$x < - 1$ Verdadeiro

$- 1 < x < 0$ Falso

$0 < x < 3$ Verdadeiro

$x > 3$ Falso

Etapa 11

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$x < - 1$ ou $0 < x < 3$

Etapa 12

Converta a desigualdade em notação de intervalo.

$(- \infty, - 1) \cup (0, 3)$

Etapa 13