Pré-cálculo Exemplos

$x^{2} - 4 y^{2} - 4 x + 8 y - 4 = 0$

Etapa 1

Encontre a forma padrão da hipérbole.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Some $4$ aos dois lados da equação.

$x^{2} - 4 y^{2} - 4 x + 8 y = 4$

Etapa 1.2

Complete o quadrado de $x^{2} - 4 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Use a forma $a x^{2} + b x + c$ para encontrar os valores de $a$ , $b$ e $c$ .

$a = 1$

$b = - 4$

$c = 0$

Etapa 1.2.2

Considere a forma de vértice de uma parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Etapa 1.2.3

Encontre o valor de $d$ usando a fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.1

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 4}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.2.3.2

Cancele o fator comum de $- 4$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.2.1

Fatore $2$ de $- 4$ .

$d = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.2.3.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.2.2.1

Fatore $2$ de $2 \cdot 1$ .

$d = \frac{2 \cdot - 2}{2 (1)}$

Etapa 1.2.3.2.2.2

Cancele o fator comum.

$d = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.2.3.2.2.3

Reescreva a expressão.

$d = \frac{- 2}{1}$

Etapa 1.2.3.2.2.4

Divida $- 2$ por $1$ .

$d = - 2$

Etapa 1.2.4

Encontre o valor de $e$ usando a fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.1

Substitua os valores de $c$ , $b$ e $a$ na fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 4)}^{2}}{4 \cdot 1}$

Etapa 1.2.4.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.2.1.1

Cancele o fator comum de ${(- 4)}^{2}$ e $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.2.1.1.1

Reescreva $- 4$ como $- 1 (4)$ .

$e = 0 - \frac{{(- 1 (4))}^{2}}{4 \cdot 1}$

Etapa 1.2.4.2.1.1.2

Aplique a regra do produto a $- 1 (4)$ .

$e = 0 - \frac{{(- 1)}^{2} \cdot 4^{2}}{4 \cdot 1}$

Etapa 1.2.4.2.1.1.3

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$e = 0 - \frac{1 \cdot 4^{2}}{4 \cdot 1}$

Etapa 1.2.4.2.1.1.4

Multiplique $4^{2}$ por $1$ .

$e = 0 - \frac{4^{2}}{4 \cdot 1}$

Etapa 1.2.4.2.1.1.5

Fatore $4$ de $4^{2}$ .

$e = 0 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1}$

Etapa 1.2.4.2.1.1.6

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.2.1.1.6.1

Fatore $4$ de $4 \cdot 1$ .

$e = 0 - \frac{4 \cdot 4}{4 (1)}$

Etapa 1.2.4.2.1.1.6.2

Cancele o fator comum.

$e = 0 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1}$

Etapa 1.2.4.2.1.1.6.3

Reescreva a expressão.

$e = 0 - \frac{4}{1}$

Etapa 1.2.4.2.1.1.6.4

Divida $4$ por $1$ .

$e = 0 - 1 \cdot 4$

Etapa 1.2.4.2.1.2

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$e = 0 - 4$

Etapa 1.2.4.2.2

Subtraia $4$ de $0$ .

$e = - 4$

Etapa 1.2.5

Substitua os valores de $a$ , $d$ e $e$ na forma do vértice ${(x - 2)}^{2} - 4$ .

${(x - 2)}^{2} - 4$

Etapa 1.3

Substitua ${(x - 2)}^{2} - 4$ por $x^{2} - 4 x$ na equação $x^{2} - 4 y^{2} - 4 x + 8 y = 4$ .

${(x - 2)}^{2} - 4 - 4 y^{2} + 8 y = 4$

Etapa 1.4

Mova $- 4$ para o lado direito da equação, somando $4$ aos dois lados.

${(x - 2)}^{2} - 4 y^{2} + 8 y = 4 + 4$

Etapa 1.5

Complete o quadrado de $- 4 y^{2} + 8 y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.1

Use a forma $a x^{2} + b x + c$ para encontrar os valores de $a$ , $b$ e $c$ .

$a = - 4$

$b = 8$

$c = 0$

Etapa 1.5.2

Considere a forma de vértice de uma parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Etapa 1.5.3

Encontre o valor de $d$ usando a fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.3.1

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{8}{2 \cdot - 4}$

Etapa 1.5.3.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.3.2.1

Cancele o fator comum de $8$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.3.2.1.1

Fatore $2$ de $8$ .

$d = \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot - 4}$

Etapa 1.5.3.2.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.3.2.1.2.1

Fatore $2$ de $2 \cdot - 4$ .

$d = \frac{2 \cdot 4}{2 (- 4)}$

Etapa 1.5.3.2.1.2.2

Cancele o fator comum.

$d = \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot - 4}$

Etapa 1.5.3.2.1.2.3

Reescreva a expressão.

$d = \frac{4}{- 4}$

Etapa 1.5.3.2.2

Cancele o fator comum de $4$ e $- 4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.3.2.2.1

Fatore $4$ de $4$ .

$d = \frac{4 (1)}{- 4}$

Etapa 1.5.3.2.2.2

Mova o número negativo do denominador de $\frac{1}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot 1$

Etapa 1.5.3.2.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$d = - 1$

Etapa 1.5.4

Encontre o valor de $e$ usando a fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.4.1

Substitua os valores de $c$ , $b$ e $a$ na fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{8^{2}}{4 \cdot - 4}$

Etapa 1.5.4.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.4.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.4.2.1.1

Eleve $8$ à potência de $2$ .

$e = 0 - \frac{64}{4 \cdot - 4}$

Etapa 1.5.4.2.1.2

Multiplique $4$ por $- 4$ .

$e = 0 - \frac{64}{- 16}$

Etapa 1.5.4.2.1.3

Divida $64$ por $- 16$ .

$e = 0 - - 4$

Etapa 1.5.4.2.1.4

Multiplique $- 1$ por $- 4$ .

$e = 0 + 4$

Etapa 1.5.4.2.2

Some $0$ e $4$ .

$e = 4$

Etapa 1.5.5

Substitua os valores de $a$ , $d$ e $e$ na forma do vértice $- 4 {(y - 1)}^{2} + 4$ .

$- 4 {(y - 1)}^{2} + 4$

Etapa 1.6

Substitua $- 4 {(y - 1)}^{2} + 4$ por $- 4 y^{2} + 8 y$ na equação $x^{2} - 4 y^{2} - 4 x + 8 y = 4$ .

${(x - 2)}^{2} - 4 {(y - 1)}^{2} + 4 = 4 + 4$

Etapa 1.7

Mova $4$ para o lado direito da equação, somando $4$ aos dois lados.

${(x - 2)}^{2} - 4 {(y - 1)}^{2} = 4 + 4 - 4$

Etapa 1.8

Simplifique $4 + 4 - 4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.8.1

Some $4$ e $4$ .

${(x - 2)}^{2} - 4 {(y - 1)}^{2} = 8 - 4$

Etapa 1.8.2

Subtraia $4$ de $8$ .

${(x - 2)}^{2} - 4 {(y - 1)}^{2} = 4$

Etapa 1.9

Divida cada termo por $4$ para que o lado direito seja igual a um.

$\frac{{(x - 2)}^{2}}{4} - \frac{4 {(y - 1)}^{2}}{4} = \frac{4}{4}$

Etapa 1.10

Simplifique cada termo na equação para definir o lado direito como igual a $1$ . A forma padrão de uma elipse ou hipérbole exige que o lado direito da equação seja $1$ .

$\frac{{(x - 2)}^{2}}{4} - \frac{{(y - 1)}^{2}}{1} = 1$

Etapa 2

Esta é a forma de uma hipérbole. Use-a para determinar os valores usados para encontrar os vértices e as assíntotas da hipérbole.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Etapa 3

Associe os valores nesta hipérbole com os da forma padrão. A variável $h$ representa o deslocamento de x em relação à origem, $k$ representa o deslocamento de y em relação à origem, $a$ .

$a = 2$

$b = 1$

$k = 1$

$h = 2$

Etapa 4

O centro de uma hipérbole segue a forma de $(h, k)$ . Substitua os valores de $h$ e $k$ .

$(2, 1)$

Etapa 5