Pré-cálculo Exemplos

$y = 3^{x} + 2$

Step 1

Alterne as variáveis.

$x = 3^{y} + 2$

Step 2

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Reescreva a equação como $3^{y} + 2 = x$ .

$3^{y} + 2 = x$

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$3^{y} = x - 2$

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln (3^{y}) = \ln (x - 2)$

Expanda $\ln (3^{y})$ movendo $y$ para fora do logaritmo.

$y \ln (3) = \ln (x - 2)$

Divida cada termo em $y \ln (3) = \ln (x - 2)$ por $\ln (3)$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Divida cada termo em $y \ln (3) = \ln (x - 2)$ por $\ln (3)$ .

$\frac{y \ln (3)}{\ln (3)} = \frac{\ln (x - 2)}{\ln (3)}$

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Cancele o fator comum de $\ln (3)$ .

Toque para ver mais passagens...

Cancele o fator comum.

$\frac{y \ln (3)}{\ln (3)} = \frac{\ln (x - 2)}{\ln (3)}$

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{\ln (x - 2)}{\ln (3)}$

Step 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x - 2)}{\ln (3)}$

Step 4

Verifique se $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x - 2)}{\ln (3)}$ é o inverso de $f (x) = 3^{x} + 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Para verificar o inverso, veja se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Avalie $f^{- 1} (f (x))$ .

Toque para ver mais passagens...

Estabeleça a função do resultado composto.

$f^{- 1} (f (x))$

Avalie $f^{- 1} (3^{x} + 2)$ substituindo o valor de $f$ em $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (3^{x} + 2) = \frac{\ln ((3^{x} + 2) - 2)}{\ln (3)}$

Combine os termos opostos em $3^{x} + 2 - 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Subtraia $2$ de $2$ .

$f^{- 1} (3^{x} + 2) = \frac{\ln (3^{x} + 0)}{\ln (3)}$

Some $3^{x}$ e $0$ .

$f^{- 1} (3^{x} + 2) = \frac{\ln (3^{x})}{\ln (3)}$

Expanda $\ln (3^{x})$ movendo $x$ para fora do logaritmo.

$f^{- 1} (3^{x} + 2) = \frac{x \ln (3)}{\ln (3)}$

Cancele o fator comum de $\ln (3)$ .

Toque para ver mais passagens...

Cancele o fator comum.

$f^{- 1} (3^{x} + 2) = \frac{x \ln (3)}{\ln (3)}$

Divida $x$ por $1$ .

$f^{- 1} (3^{x} + 2) = x$

Avalie $f (f^{- 1} (x))$ .

Toque para ver mais passagens...

Estabeleça a função do resultado composto.

$f (f^{- 1} (x))$

Avalie $f (\frac{\ln (x - 2)}{\ln (3)})$ substituindo o valor de $f^{- 1}$ em $f$ .

$f (\frac{\ln (x - 2)}{\ln (3)}) = 3^{\frac{\ln (x - 2)}{\ln (3)}} + 2$

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Use a regra da mudança de base $\frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)} = \log_{a} (x)$ .

$f (\frac{\ln (x - 2)}{\ln (3)}) = 3^{\log_{3} (x - 2)} + 2$

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

$f (\frac{\ln (x - 2)}{\ln (3)}) = x - 2 + 2$

Combine os termos opostos em $x - 2 + 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Some $- 2$ e $2$ .

$f (\frac{\ln (x - 2)}{\ln (3)}) = x + 0$

Some $x$ e $0$ .

$f (\frac{\ln (x - 2)}{\ln (3)}) = x$

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , então, $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x - 2)}{\ln (3)}$ é o inverso de $f (x) = 3^{x} + 2$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x - 2)}{\ln (3)}$