Pré-cálculo Exemplos

$y = 2 x^{2} - 5$

Etapa 1

Alterne as variáveis.

$x = 2 y^{2} - 5$

Etapa 2

Resolva $y$ .

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Etapa 2.1

Reescreva a equação como $2 y^{2} - 5 = x$ .

$2 y^{2} - 5 = x$

Etapa 2.2

Some $5$ aos dois lados da equação.

$2 y^{2} = x + 5$

Etapa 2.3

Divida cada termo em $2 y^{2} = x + 5$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 2.3.1

Divida cada termo em $2 y^{2} = x + 5$ por $2$ .

$\frac{2 y^{2}}{2} = \frac{x}{2} + \frac{5}{2}$

Etapa 2.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.3.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 2.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 y^{2}}{2} = \frac{x}{2} + \frac{5}{2}$

Etapa 2.3.2.1.2

Divida $y^{2}$ por $1$ .

$y^{2} = \frac{x}{2} + \frac{5}{2}$

Etapa 2.4

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$y = \pm \sqrt{\frac{x}{2} + \frac{5}{2}}$

Etapa 2.5

Simplifique $\pm \sqrt{\frac{x}{2} + \frac{5}{2}}$ .

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Etapa 2.5.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = \pm \sqrt{\frac{x + 5}{2}}$

Etapa 2.5.2

Reescreva $\sqrt{\frac{x + 5}{2}}$ como $\frac{\sqrt{x + 5}}{\sqrt{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x + 5}}{\sqrt{2}}$

Etapa 2.5.3

Multiplique $\frac{\sqrt{x + 5}}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x + 5}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Etapa 2.5.4

Combine e simplifique o denominador.

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Etapa 2.5.4.1

Multiplique $\frac{\sqrt{x + 5}}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x + 5} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Etapa 2.5.4.2

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x + 5} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Etapa 2.5.4.3

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x + 5} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Etapa 2.5.4.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$y = \pm \frac{\sqrt{x + 5} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Etapa 2.5.4.5

Some $1$ e $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x + 5} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Etapa 2.5.4.6

Reescreva ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Etapa 2.5.4.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x + 5} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 2.5.4.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x + 5} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 2.5.4.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x + 5} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 2.5.4.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 2.5.4.6.4.1

Cancele o fator comum.

$y = \pm \frac{\sqrt{x + 5} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 2.5.4.6.4.2

Reescreva a expressão.

$y = \pm \frac{\sqrt{x + 5} \sqrt{2}}{2^{1}}$

Etapa 2.5.4.6.5

Avalie o expoente.

$y = \pm \frac{\sqrt{x + 5} \sqrt{2}}{2}$

Etapa 2.5.5

Combine usando a regra do produto para radicais.

$y = \pm \frac{\sqrt{(x + 5) \cdot 2}}{2}$

Etapa 2.5.6

Reordene os fatores em $\pm \frac{\sqrt{(x + 5) \cdot 2}}{2}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (x + 5)}}{2}$

Etapa 2.6

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 2.6.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$y = \frac{\sqrt{2 (x + 5)}}{2}$

Etapa 2.6.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$y = - \frac{\sqrt{2 (x + 5)}}{2}$

Etapa 2.6.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$y = \frac{\sqrt{2 (x + 5)}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (x + 5)}}{2}$

$y = \frac{\sqrt{2 (x + 5)}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (x + 5)}}{2}$

$y = \frac{\sqrt{2 (x + 5)}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (x + 5)}}{2}$

Etapa 3

Substitua $y$ por $f^{- 1} (x)$ para mostrar a resposta final.

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{2 (x + 5)}}{2}, - \frac{\sqrt{2 (x + 5)}}{2}$

Etapa 4

Verifique se $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{2 (x + 5)}}{2}, - \frac{\sqrt{2 (x + 5)}}{2}$ é o inverso de $f (x) = 2 x^{2} - 5$ .

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Etapa 4.1

O domínio do inverso é o intervalo da função original e vice-versa. Encontre o domínio e o intervalo de $f (x) = 2 x^{2} - 5$ e $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{2 (x + 5)}}{2}, - \frac{\sqrt{2 (x + 5)}}{2}$ e os compare.

Etapa 4.2

Encontre o intervalo de $f (x) = 2 x^{2} - 5$ .

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Etapa 4.2.1

O intervalo é o conjunto de todos os valores $y$ válidos. Use o gráfico para encontrar o intervalo.

Notação de intervalo:

$[- 5, \infty)$

Etapa 4.3

Encontre o domínio de $\frac{\sqrt{2 (x + 5)}}{2}$ .

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Etapa 4.3.1

Defina o radicando em $\sqrt{2 (x + 5)}$ como maior do que ou igual a $0$ para encontrar onde a expressão está definida.

$2 (x + 5) \geq 0$

Etapa 4.3.2

Resolva $x$ .

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Etapa 4.3.2.1

Divida cada termo em $2 (x + 5) \geq 0$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 4.3.2.1.1

Divida cada termo em $2 (x + 5) \geq 0$ por $2$ .

$\frac{2 (x + 5)}{2} \geq \frac{0}{2}$

Etapa 4.3.2.1.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 4.3.2.1.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 4.3.2.1.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 (x + 5)}{2} \geq \frac{0}{2}$

Etapa 4.3.2.1.2.1.2

Divida $x + 5$ por $1$ .

$x + 5 \geq \frac{0}{2}$

Etapa 4.3.2.1.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 4.3.2.1.3.1

Divida $0$ por $2$ .

$x + 5 \geq 0$

Etapa 4.3.2.2

Subtraia $5$ dos dois lados da desigualdade.

$x \geq - 5$

Etapa 4.3.3

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

$[- 5, \infty)$

Etapa 4.4

Encontre o domínio de $f (x) = 2 x^{2} - 5$ .

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Etapa 4.4.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

$(- \infty, \infty)$

Etapa 4.5

Como o domínio de $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{2 (x + 5)}}{2}, - \frac{\sqrt{2 (x + 5)}}{2}$ é o intervalo de $f (x) = 2 x^{2} - 5$ , e o intervalo de $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{2 (x + 5)}}{2}, - \frac{\sqrt{2 (x + 5)}}{2}$ é o domínio de $f (x) = 2 x^{2} - 5$ , então, $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{2 (x + 5)}}{2}, - \frac{\sqrt{2 (x + 5)}}{2}$ é o inverso de $f (x) = 2 x^{2} - 5$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{2 (x + 5)}}{2}, - \frac{\sqrt{2 (x + 5)}}{2}$

Etapa 5