Pré-cálculo Exemplos

$y = \sqrt{x + 5}$

Etapa 1

Alterne as variáveis.

$x = \sqrt{y + 5}$

Etapa 2

Resolva $y$ .

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Etapa 2.1

Reescreva a equação como $\sqrt{y + 5} = x$ .

$\sqrt{y + 5} = x$

Etapa 2.2

Para remover o radical no lado esquerdo da equação, eleve ao quadrado os dois lados da equação.

${\sqrt{y + 5}}^{2} = x^{2}$

Etapa 2.3

Simplifique cada lado da equação.

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Etapa 2.3.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{y + 5}$ como ${(y + 5)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(y + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = x^{2}$

Etapa 2.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.3.2.1

Simplifique ${({(y + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Etapa 2.3.2.1.1

Multiplique os expoentes em ${({(y + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Etapa 2.3.2.1.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(y + 5)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Etapa 2.3.2.1.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 2.3.2.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

${(y + 5)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Etapa 2.3.2.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

${(y + 5)}^{1} = x^{2}$

Etapa 2.3.2.1.2

Simplifique.

$y + 5 = x^{2}$

Etapa 2.4

Subtraia $5$ dos dois lados da equação.

$y = x^{2} - 5$

Etapa 3

Substitua $y$ por $f^{- 1} (x)$ para mostrar a resposta final.

$f^{- 1} (x) = x^{2} - 5$

Etapa 4

Verifique se $f^{- 1} (x) = x^{2} - 5$ é o inverso de $f (x) = \sqrt{x + 5}$ .

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Etapa 4.1

Para verificar o inverso, veja se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Etapa 4.2

Avalie $f^{- 1} (f (x))$ .

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Etapa 4.2.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f^{- 1} (f (x))$

Etapa 4.2.2

Avalie $f^{- 1} (\sqrt{x + 5})$ substituindo o valor de $f$ em $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x + 5}) = {(\sqrt{x + 5})}^{2} - 5$

Etapa 4.2.3

Reescreva ${\sqrt{x + 5}}^{2}$ como $x + 5$ .

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Etapa 4.2.3.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x + 5}$ como ${(x + 5)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x + 5}) = {({(x + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2} - 5$

Etapa 4.2.3.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x + 5}) = {(x + 5)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 5$

Etapa 4.2.3.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x + 5}) = {(x + 5)}^{\frac{2}{2}} - 5$

Etapa 4.2.3.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 4.2.3.4.1

Cancele o fator comum.

$f^{- 1} (\sqrt{x + 5}) = {(x + 5)}^{\frac{2}{2}} - 5$

Etapa 4.2.3.4.2

Reescreva a expressão.

$f^{- 1} (\sqrt{x + 5}) = (x + 5) - 5$

Etapa 4.2.3.5

Simplifique.

$f^{- 1} (\sqrt{x + 5}) = x + 5 - 5$

Etapa 4.2.4

Combine os termos opostos em $x + 5 - 5$ .

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Etapa 4.2.4.1

Subtraia $5$ de $5$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x + 5}) = x + 0$

Etapa 4.2.4.2

Some $x$ e $0$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x + 5}) = x$

Etapa 4.3

Avalie $f (f^{- 1} (x))$ .

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Etapa 4.3.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f (f^{- 1} (x))$

Etapa 4.3.2

Avalie $f (x^{2} - 5)$ substituindo o valor de $f^{- 1}$ em $f$ .

$f (x^{2} - 5) = \sqrt{(x^{2} - 5) + 5}$

Etapa 4.3.3

Some $- 5$ e $5$ .

$f (x^{2} - 5) = \sqrt{x^{2} + 0}$

Etapa 4.3.4

Some $x^{2}$ e $0$ .

$f (x^{2} - 5) = \sqrt{x^{2}}$

Etapa 4.3.5

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$f (x^{2} - 5) = x$

Etapa 4.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , então, $f^{- 1} (x) = x^{2} - 5$ é o inverso de $f (x) = \sqrt{x + 5}$ .

$f^{- 1} (x) = x^{2} - 5$