Pré-cálculo Exemplos

$x^{4} - 2 x^{3} + 8 x^{2} - 32 x - 128 = 0$

Etapa 1

Fatore o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Reagrupe os termos.

$- 2 x^{3} + 8 x^{2} + x^{4} - 32 x - 128 = 0$

Etapa 1.2

Fatore $- 2 x^{2}$ de $- 2 x^{3} + 8 x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Fatore $- 2 x^{2}$ de $- 2 x^{3}$ .

$- 2 x^{2} x + 8 x^{2} + x^{4} - 32 x - 128 = 0$

Etapa 1.2.2

Fatore $- 2 x^{2}$ de $8 x^{2}$ .

$- 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 4 + x^{4} - 32 x - 128 = 0$

Etapa 1.2.3

Fatore $- 2 x^{2}$ de $- 2 x^{2} (x) - 2 x^{2} (- 4)$ .

$- 2 x^{2} (x - 4) + x^{4} - 32 x - 128 = 0$

Etapa 1.3

Fatore $x^{4} - 32 x - 128$ usando o teste das raízes racionais.

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Etapa 1.3.1

Se uma função polinomial tiver coeficientes inteiros, então todo zero racional terá a forma $\frac{p}{q}$ , em que $p$ é um fator da constante e $q$ é um fator do coeficiente de maior ordem.

$p = \pm 1, \pm 128, \pm 2, \pm 64, \pm 4, \pm 32, \pm 8, \pm 16$

$q = \pm 1$

Etapa 1.3.2

Encontre todas as combinações de $\pm \frac{p}{q}$ . Essas são as raízes possíveis da função polinomial.

$\pm 1, \pm 128, \pm 2, \pm 64, \pm 4, \pm 32, \pm 8, \pm 16$

Etapa 1.3.3

Substitua $4$ e simplifique a expressão. Nesse caso, a expressão é igual a $0$ . Portanto, $4$ é uma raiz do polinômio.

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Etapa 1.3.3.1

Substitua $4$ no polinômio.

$4^{4} - 32 \cdot 4 - 128$

Etapa 1.3.3.2

Eleve $4$ à potência de $4$ .

$256 - 32 \cdot 4 - 128$

Etapa 1.3.3.3

Multiplique $- 32$ por $4$ .

$256 - 128 - 128$

Etapa 1.3.3.4

Subtraia $128$ de $256$ .

$128 - 128$

Etapa 1.3.3.5

Subtraia $128$ de $128$ .

$0$

Etapa 1.3.4

Como $4$ é uma raiz conhecida, divida o polinômio por $x - 4$ para encontrar o polinômio do quociente. Então, esse polinômio pode ser usado para encontrar as raízes restantes.

$\frac{x^{4} - 32 x - 128}{x - 4}$

Etapa 1.3.5

Divida $x^{4} - 32 x - 128$ por $x - 4$ .

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Etapa 1.3.5.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$x$

$4$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$32 x$

$128$

Etapa 1.3.5.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $x^{4}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

$x^{3}$

$x$

$4$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$32 x$

$128$

Etapa 1.3.5.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

$x^{3}$

$x$

$4$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$32 x$

$128$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

Etapa 1.3.5.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $x^{4} - 4 x^{3}$ .

$x^{3}$

$x$

$4$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$32 x$

$128$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

Etapa 1.3.5.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

$x^{3}$

$x$

$4$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$32 x$

$128$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

Etapa 1.3.5.6

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

$x^{3}$

$x$

$4$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$32 x$

$128$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

Etapa 1.3.5.7

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $4 x^{3}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$x$

$4$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$32 x$

$128$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

Etapa 1.3.5.8

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$x$

$4$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$32 x$

$128$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$4 x^{3}$

$16 x^{2}$

Etapa 1.3.5.9

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $4 x^{3} - 16 x^{2}$ .

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$x$

$4$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$32 x$

$128$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$4 x^{3}$

$16 x^{2}$

Etapa 1.3.5.10

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$x$

$4$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$32 x$

$128$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$4 x^{3}$

$16 x^{2}$

Etapa 1.3.5.11

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$x$

$4$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$32 x$

$128$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$4 x^{3}$

$16 x^{2}$

$32 x$

Etapa 1.3.5.12

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $16 x^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$16 x$

$x$

$4$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$32 x$

$128$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$4 x^{3}$

$16 x^{2}$

$32 x$

Etapa 1.3.5.13

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$16 x$

$x$

$4$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$32 x$

$128$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$4 x^{3}$

$16 x^{2}$

$32 x$

$16 x^{2}$

$64 x$

Etapa 1.3.5.14

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $16 x^{2} - 64 x$ .

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$16 x$

$x$

$4$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$32 x$

$128$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$4 x^{3}$

$16 x^{2}$

$32 x$

$16 x^{2}$

$64 x$

Etapa 1.3.5.15

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$16 x$

$x$

$4$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$32 x$

$128$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$4 x^{3}$

$16 x^{2}$

$32 x$

$16 x^{2}$

$64 x$

$32 x$

Etapa 1.3.5.16

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$16 x$

$x$

$4$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$32 x$

$128$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$4 x^{3}$

$16 x^{2}$

$32 x$

$16 x^{2}$

$64 x$

$32 x$

$128$

Etapa 1.3.5.17

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $32 x$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$16 x$

$32$

$x$

$4$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$32 x$

$128$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$4 x^{3}$

$16 x^{2}$

$32 x$

$16 x^{2}$

$64 x$

$32 x$

$128$

Etapa 1.3.5.18

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$16 x$

$32$

$x$

$4$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$32 x$

$128$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$4 x^{3}$

$16 x^{2}$

$32 x$

$16 x^{2}$

$64 x$

$32 x$

$128$

$32 x$

$128$

Etapa 1.3.5.19

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $32 x - 128$ .

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$16 x$

$32$

$x$

$4$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$32 x$

$128$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$4 x^{3}$

$16 x^{2}$

$32 x$

$16 x^{2}$

$64 x$

$32 x$

$128$

$32 x$

$128$

Etapa 1.3.5.20

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$16 x$

$32$

$x$

$4$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$32 x$

$128$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$4 x^{3}$

$16 x^{2}$

$32 x$

$16 x^{2}$

$64 x$

$32 x$

$128$

$32 x$

$128$

$0$

Etapa 1.3.5.21

Já que o resto é $0$ , a resposta final é o quociente.

$x^{3} + 4 x^{2} + 16 x + 32$

Etapa 1.3.6

Escreva $x^{4} - 32 x - 128$ como um conjunto de fatores.

$- 2 x^{2} (x - 4) + (x - 4) (x^{3} + 4 x^{2} + 16 x + 32) = 0$

Etapa 1.4

Fatore $x - 4$ de $- 2 x^{2} (x - 4) + (x - 4) (x^{3} + 4 x^{2} + 16 x + 32)$ .

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Etapa 1.4.1

Fatore $x - 4$ de $- 2 x^{2} (x - 4)$ .

$(x - 4) (- 2 x^{2}) + (x - 4) (x^{3} + 4 x^{2} + 16 x + 32) = 0$

Etapa 1.4.2

Fatore $x - 4$ de $(x - 4) (- 2 x^{2}) + (x - 4) (x^{3} + 4 x^{2} + 16 x + 32)$ .

$(x - 4) (- 2 x^{2} + x^{3} + 4 x^{2} + 16 x + 32) = 0$

Etapa 1.5

Some $- 2 x^{2}$ e $4 x^{2}$ .

$(x - 4) (x^{3} + 2 x^{2} + 16 x + 32) = 0$

Etapa 1.6

Fatore.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.6.1

Reescreva $x^{3} + 2 x^{2} + 16 x + 32$ em uma forma fatorada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.6.1.1

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 1.6.1.1.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$(x - 4) ((x^{3} + 2 x^{2}) + 16 x + 32) = 0$

Etapa 1.6.1.1.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$(x - 4) (x^{2} (x + 2) + 16 (x + 2)) = 0$

Etapa 1.6.1.2

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $x + 2$ .

$(x - 4) ((x + 2) (x^{2} + 16)) = 0$

Etapa 1.6.2

Remova os parênteses desnecessários.

$(x - 4) (x + 2) (x^{2} + 16) = 0$

Etapa 2

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x - 4 = 0$

$x + 2 = 0$

$x^{2} + 16 = 0$

Etapa 3

Defina $x - 4$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Defina $x - 4$ como igual a $0$ .

$x - 4 = 0$

Etapa 3.2

Some $4$ aos dois lados da equação.

$x = 4$

Etapa 4

Defina $x + 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Defina $x + 2$ como igual a $0$ .

$x + 2 = 0$

Etapa 4.2

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$x = - 2$

Etapa 5

Defina $x^{2} + 16$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Defina $x^{2} + 16$ como igual a $0$ .

$x^{2} + 16 = 0$

Etapa 5.2

Resolva $x^{2} + 16 = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Subtraia $16$ dos dois lados da equação.

$x^{2} = - 16$

Etapa 5.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 16}$

Etapa 5.2.3

Simplifique $\pm \sqrt{- 16}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.3.1

Reescreva $- 16$ como $- 1 (16)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (16)}$

Etapa 5.2.3.2

Reescreva $\sqrt{- 1 (16)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}$

Etapa 5.2.3.3

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{16}$

Etapa 5.2.3.4

Reescreva $16$ como $4^{2}$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{4^{2}}$

Etapa 5.2.3.5

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm i \cdot 4$

Etapa 5.2.3.6

Mova $4$ para a esquerda de $i$ .

$x = \pm 4 i$

Etapa 5.2.4

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.4.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = 4 i$

Etapa 5.2.4.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - 4 i$

Etapa 5.2.4.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = 4 i, - 4 i$

Etapa 6

A solução final são todos os valores que tornam $(x - 4) (x + 2) (x^{2} + 16) = 0$ verdadeiro.

$x = 4, - 2, 4 i, - 4 i$

Etapa 7