Pré-cálculo Exemplos

$\sqrt{10 a - 1} = 1 + \sqrt{5 a - 1}$

Etapa 1

Para remover o radical no lado esquerdo da equação, eleve ao quadrado os dois lados da equação.

${\sqrt{10 a - 1}}^{2} = {(1 + \sqrt{5 a - 1})}^{2}$

Etapa 2

Simplifique cada lado da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{10 a - 1}$ como ${(10 a - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(10 a - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(1 + \sqrt{5 a - 1})}^{2}$

Etapa 2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Simplifique ${({(10 a - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1

Multiplique os expoentes em ${({(10 a - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(10 a - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(1 + \sqrt{5 a - 1})}^{2}$

Etapa 2.2.1.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

${(10 a - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(1 + \sqrt{5 a - 1})}^{2}$

Etapa 2.2.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

${(10 a - 1)}^{1} = {(1 + \sqrt{5 a - 1})}^{2}$

Etapa 2.2.1.2

Simplifique.

$10 a - 1 = {(1 + \sqrt{5 a - 1})}^{2}$

Etapa 2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Simplifique ${(1 + \sqrt{5 a - 1})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.1

Reescreva ${(1 + \sqrt{5 a - 1})}^{2}$ como $(1 + \sqrt{5 a - 1}) (1 + \sqrt{5 a - 1})$ .

$10 a - 1 = (1 + \sqrt{5 a - 1}) (1 + \sqrt{5 a - 1})$

Etapa 2.3.1.2

Expanda $(1 + \sqrt{5 a - 1}) (1 + \sqrt{5 a - 1})$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$10 a - 1 = 1 (1 + \sqrt{5 a - 1}) + \sqrt{5 a - 1} (1 + \sqrt{5 a - 1})$

Etapa 2.3.1.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$10 a - 1 = 1 \cdot 1 + 1 \sqrt{5 a - 1} + \sqrt{5 a - 1} (1 + \sqrt{5 a - 1})$

Etapa 2.3.1.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$10 a - 1 = 1 \cdot 1 + 1 \sqrt{5 a - 1} + \sqrt{5 a - 1} \cdot 1 + \sqrt{5 a - 1} \sqrt{5 a - 1}$

Etapa 2.3.1.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.3.1.1

Multiplique $1$ por $1$ .

$10 a - 1 = 1 + 1 \sqrt{5 a - 1} + \sqrt{5 a - 1} \cdot 1 + \sqrt{5 a - 1} \sqrt{5 a - 1}$

Etapa 2.3.1.3.1.2

Multiplique $\sqrt{5 a - 1}$ por $1$ .

$10 a - 1 = 1 + \sqrt{5 a - 1} + \sqrt{5 a - 1} \cdot 1 + \sqrt{5 a - 1} \sqrt{5 a - 1}$

Etapa 2.3.1.3.1.3

Multiplique $\sqrt{5 a - 1}$ por $1$ .

$10 a - 1 = 1 + \sqrt{5 a - 1} + \sqrt{5 a - 1} + \sqrt{5 a - 1} \sqrt{5 a - 1}$

Etapa 2.3.1.3.1.4

Multiplique $\sqrt{5 a - 1} \sqrt{5 a - 1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.3.1.4.1

Eleve $\sqrt{5 a - 1}$ à potência de $1$ .

$10 a - 1 = 1 + \sqrt{5 a - 1} + \sqrt{5 a - 1} + {\sqrt{5 a - 1}}^{1} \sqrt{5 a - 1}$

Etapa 2.3.1.3.1.4.2

Eleve $\sqrt{5 a - 1}$ à potência de $1$ .

$10 a - 1 = 1 + \sqrt{5 a - 1} + \sqrt{5 a - 1} + {\sqrt{5 a - 1}}^{1} {\sqrt{5 a - 1}}^{1}$

Etapa 2.3.1.3.1.4.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$10 a - 1 = 1 + \sqrt{5 a - 1} + \sqrt{5 a - 1} + {\sqrt{5 a - 1}}^{1 + 1}$

Etapa 2.3.1.3.1.4.4

Some $1$ e $1$ .

$10 a - 1 = 1 + \sqrt{5 a - 1} + \sqrt{5 a - 1} + {\sqrt{5 a - 1}}^{2}$

Etapa 2.3.1.3.1.5

Reescreva ${\sqrt{5 a - 1}}^{2}$ como $5 a - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.3.1.5.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{5 a - 1}$ como ${(5 a - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$10 a - 1 = 1 + \sqrt{5 a - 1} + \sqrt{5 a - 1} + {({(5 a - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Etapa 2.3.1.3.1.5.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$10 a - 1 = 1 + \sqrt{5 a - 1} + \sqrt{5 a - 1} + {(5 a - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Etapa 2.3.1.3.1.5.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$10 a - 1 = 1 + \sqrt{5 a - 1} + \sqrt{5 a - 1} + {(5 a - 1)}^{\frac{2}{2}}$

Etapa 2.3.1.3.1.5.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.3.1.5.4.1

Cancele o fator comum.

$10 a - 1 = 1 + \sqrt{5 a - 1} + \sqrt{5 a - 1} + {(5 a - 1)}^{\frac{2}{2}}$

Etapa 2.3.1.3.1.5.4.2

Reescreva a expressão.

$10 a - 1 = 1 + \sqrt{5 a - 1} + \sqrt{5 a - 1} + {(5 a - 1)}^{1}$

Etapa 2.3.1.3.1.5.5

Simplifique.

$10 a - 1 = 1 + \sqrt{5 a - 1} + \sqrt{5 a - 1} + 5 a - 1$

Etapa 2.3.1.3.2

Subtraia $1$ de $1$ .

$10 a - 1 = 0 + \sqrt{5 a - 1} + \sqrt{5 a - 1} + 5 a$

Etapa 2.3.1.3.3

Some $0$ e $\sqrt{5 a - 1}$ .

$10 a - 1 = \sqrt{5 a - 1} + \sqrt{5 a - 1} + 5 a$

Etapa 2.3.1.3.4

Some $\sqrt{5 a - 1}$ e $\sqrt{5 a - 1}$ .

$10 a - 1 = 2 \sqrt{5 a - 1} + 5 a$

Etapa 3

Resolva $2 \sqrt{5 a - 1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Reescreva a equação como $2 \sqrt{5 a - 1} + 5 a = 10 a - 1$ .

$2 \sqrt{5 a - 1} + 5 a = 10 a - 1$

Etapa 3.2

Mova todos os termos que não contêm $2 \sqrt{5 a - 1}$ para o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Subtraia $5 a$ dos dois lados da equação.

$2 \sqrt{5 a - 1} = 10 a - 1 - 5 a$

Etapa 3.2.2

Subtraia $5 a$ de $10 a$ .

$2 \sqrt{5 a - 1} = 5 a - 1$

Etapa 4

Para remover o radical no lado esquerdo da equação, eleve ao quadrado os dois lados da equação.

${(2 \sqrt{5 a - 1})}^{2} = {(5 a - 1)}^{2}$

Etapa 5

Simplifique cada lado da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{5 a - 1}$ como ${(5 a - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(2 {(5 a - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(5 a - 1)}^{2}$

Etapa 5.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Simplifique ${(2 {(5 a - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.1

Aplique a regra do produto a $2 {(5 a - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$2^{2} {({(5 a - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(5 a - 1)}^{2}$

Etapa 5.2.1.2

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$4 {({(5 a - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(5 a - 1)}^{2}$

Etapa 5.2.1.3

Multiplique os expoentes em ${({(5 a - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.3.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 {(5 a - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(5 a - 1)}^{2}$

Etapa 5.2.1.3.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.3.2.1

Cancele o fator comum.

$4 {(5 a - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(5 a - 1)}^{2}$

Etapa 5.2.1.3.2.2

Reescreva a expressão.

$4 {(5 a - 1)}^{1} = {(5 a - 1)}^{2}$

Etapa 5.2.1.4

Simplifique.

$4 (5 a - 1) = {(5 a - 1)}^{2}$

Etapa 5.2.1.5

Aplique a propriedade distributiva.

$4 (5 a) + 4 \cdot - 1 = {(5 a - 1)}^{2}$

Etapa 5.2.1.6

Multiplique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.6.1

Multiplique $5$ por $4$ .

$20 a + 4 \cdot - 1 = {(5 a - 1)}^{2}$

Etapa 5.2.1.6.2

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$20 a - 4 = {(5 a - 1)}^{2}$

Etapa 5.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1

Simplifique ${(5 a - 1)}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1.1

Reescreva ${(5 a - 1)}^{2}$ como $(5 a - 1) (5 a - 1)$ .

$20 a - 4 = (5 a - 1) (5 a - 1)$

Etapa 5.3.1.2

Expanda $(5 a - 1) (5 a - 1)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$20 a - 4 = 5 a (5 a - 1) - 1 (5 a - 1)$

Etapa 5.3.1.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$20 a - 4 = 5 a (5 a) + 5 a \cdot - 1 - 1 (5 a - 1)$

Etapa 5.3.1.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$20 a - 4 = 5 a (5 a) + 5 a \cdot - 1 - 1 (5 a) - 1 \cdot - 1$

Etapa 5.3.1.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1.3.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$20 a - 4 = 5 \cdot 5 a \cdot a + 5 a \cdot - 1 - 1 (5 a) - 1 \cdot - 1$

Etapa 5.3.1.3.1.2

Multiplique $a$ por $a$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1.3.1.2.1

Mova $a$ .

$20 a - 4 = 5 \cdot 5 (a \cdot a) + 5 a \cdot - 1 - 1 (5 a) - 1 \cdot - 1$

Etapa 5.3.1.3.1.2.2

Multiplique $a$ por $a$ .

$20 a - 4 = 5 \cdot 5 a^{2} + 5 a \cdot - 1 - 1 (5 a) - 1 \cdot - 1$

Etapa 5.3.1.3.1.3

Multiplique $5$ por $5$ .

$20 a - 4 = 25 a^{2} + 5 a \cdot - 1 - 1 (5 a) - 1 \cdot - 1$

Etapa 5.3.1.3.1.4

Multiplique $- 1$ por $5$ .

$20 a - 4 = 25 a^{2} - 5 a - 1 (5 a) - 1 \cdot - 1$

Etapa 5.3.1.3.1.5

Multiplique $5$ por $- 1$ .

$20 a - 4 = 25 a^{2} - 5 a - 5 a - 1 \cdot - 1$

Etapa 5.3.1.3.1.6

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$20 a - 4 = 25 a^{2} - 5 a - 5 a + 1$

Etapa 5.3.1.3.2

Subtraia $5 a$ de $- 5 a$ .

$20 a - 4 = 25 a^{2} - 10 a + 1$

Etapa 6

Resolva $a$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Como $a$ está do lado direito da equação, troque os lados para que ela fique do lado esquerdo da equação.

$25 a^{2} - 10 a + 1 = 20 a - 4$

Etapa 6.2

Mova todos os termos que contêm $a$ para o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Subtraia $20 a$ dos dois lados da equação.

$25 a^{2} - 10 a + 1 - 20 a = - 4$

Etapa 6.2.2

Subtraia $20 a$ de $- 10 a$ .

$25 a^{2} - 30 a + 1 = - 4$

Etapa 6.3

Some $4$ aos dois lados da equação.

$25 a^{2} - 30 a + 1 + 4 = 0$

Etapa 6.4

Some $1$ e $4$ .

$25 a^{2} - 30 a + 5 = 0$

Etapa 6.5

Fatore o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.1

Fatore $5$ de $25 a^{2} - 30 a + 5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.1.1

Fatore $5$ de $25 a^{2}$ .

$5 (5 a^{2}) - 30 a + 5 = 0$

Etapa 6.5.1.2

Fatore $5$ de $- 30 a$ .

$5 (5 a^{2}) + 5 (- 6 a) + 5 = 0$

Etapa 6.5.1.3

Fatore $5$ de $5$ .

$5 (5 a^{2}) + 5 (- 6 a) + 5 (1) = 0$

Etapa 6.5.1.4

Fatore $5$ de $5 (5 a^{2}) + 5 (- 6 a)$ .

$5 (5 a^{2} - 6 a) + 5 (1) = 0$

Etapa 6.5.1.5

Fatore $5$ de $5 (5 a^{2} - 6 a) + 5 (1)$ .

$5 (5 a^{2} - 6 a + 1) = 0$

Etapa 6.5.2

Fatore.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.2.1

Fatore por agrupamento.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.2.1.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 5 \cdot 1 = 5$ e cuja soma é $b = - 6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.2.1.1.1

Fatore $- 6$ de $- 6 a$ .

$5 (5 a^{2} - 6 a + 1) = 0$

Etapa 6.5.2.1.1.2

Reescreva $- 6$ como $- 1$ mais $- 5$

$5 (5 a^{2} + (- 1 - 5) a + 1) = 0$

Etapa 6.5.2.1.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$5 (5 a^{2} - 1 a - 5 a + 1) = 0$

Etapa 6.5.2.1.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.2.1.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$5 ((5 a^{2} - 1 a) - 5 a + 1) = 0$

Etapa 6.5.2.1.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$5 (a (5 a - 1) - (5 a - 1)) = 0$

Etapa 6.5.2.1.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $5 a - 1$ .

$5 ((5 a - 1) (a - 1)) = 0$

Etapa 6.5.2.2

Remova os parênteses desnecessários.

$5 (5 a - 1) (a - 1) = 0$

Etapa 6.6

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$5 a - 1 = 0$

$a - 1 = 0$

Etapa 6.7

Defina $5 a - 1$ como igual a $0$ e resolva para $a$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.7.1

Defina $5 a - 1$ como igual a $0$ .

$5 a - 1 = 0$

Etapa 6.7.2

Resolva $5 a - 1 = 0$ para $a$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.7.2.1

Some $1$ aos dois lados da equação.

$5 a = 1$

Etapa 6.7.2.2

Divida cada termo em $5 a = 1$ por $5$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.7.2.2.1

Divida cada termo em $5 a = 1$ por $5$ .

$\frac{5 a}{5} = \frac{1}{5}$

Etapa 6.7.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.7.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.7.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{5 a}{5} = \frac{1}{5}$

Etapa 6.7.2.2.2.1.2

Divida $a$ por $1$ .

$a = \frac{1}{5}$

Etapa 6.8

Defina $a - 1$ como igual a $0$ e resolva para $a$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.8.1

Defina $a - 1$ como igual a $0$ .

$a - 1 = 0$

Etapa 6.8.2

Some $1$ aos dois lados da equação.

$a = 1$

Etapa 6.9

A solução final são todos os valores que tornam $5 (5 a - 1) (a - 1) = 0$ verdadeiro.

$a = \frac{1}{5}, 1$

Etapa 7

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$a = \frac{1}{5}, 1$

Forma decimal:

$a = 0.2, 1$