Pré-cálculo Exemplos

$\frac{1}{27} = b^{- 3}$

Etapa 1

Reescreva a equação como $b^{- 3} = \frac{1}{27}$ .

$b^{- 3} = \frac{1}{27}$

Etapa 2

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{b^{3}} = \frac{1}{27}$

Etapa 3

Multiplique o numerador da primeira fração pelo denominador da segunda. Defina-o como igual ao produto do denominador da primeira fração e o numerador da segunda fração.

$1 \cdot 27 = b^{3} \cdot 1$

Etapa 4

Resolva a equação para $b$ .

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Etapa 4.1

Reescreva a equação como $b^{3} \cdot 1 = 1 \cdot 27$ .

$b^{3} \cdot 1 = 1 \cdot 27$

Etapa 4.2

Multiplique $b^{3}$ por $1$ .

$b^{3} = 1 \cdot 27$

Etapa 4.3

Multiplique $27$ por $1$ .

$b^{3} = 27$

Etapa 4.4

Subtraia $27$ dos dois lados da equação.

$b^{3} - 27 = 0$

Etapa 4.5

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 4.5.1

Reescreva $27$ como $3^{3}$ .

$b^{3} - 3^{3} = 0$

Etapa 4.5.2

Como os dois termos são cubos perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de cubos, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ em que $a = b$ e $b = 3$ .

$(b - 3) (b^{2} + b \cdot 3 + 3^{2}) = 0$

Etapa 4.5.3

Simplifique.

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Etapa 4.5.3.1

Mova $3$ para a esquerda de $b$ .

$(b - 3) (b^{2} + 3 b + 3^{2}) = 0$

Etapa 4.5.3.2

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$(b - 3) (b^{2} + 3 b + 9) = 0$

Etapa 4.6

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$b - 3 = 0$

$b^{2} + 3 b + 9 = 0$

Etapa 4.7

Defina $b - 3$ como igual a $0$ e resolva para $b$ .

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Etapa 4.7.1

Defina $b - 3$ como igual a $0$ .

$b - 3 = 0$

Etapa 4.7.2

Some $3$ aos dois lados da equação.

$b = 3$

Etapa 4.8

Defina $b^{2} + 3 b + 9$ como igual a $0$ e resolva para $b$ .

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Etapa 4.8.1

Defina $b^{2} + 3 b + 9$ como igual a $0$ .

$b^{2} + 3 b + 9 = 0$

Etapa 4.8.2

Resolva $b^{2} + 3 b + 9 = 0$ para $b$ .

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Etapa 4.8.2.1

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 4.8.2.2

Substitua os valores $a = 1$ , $b = 3$ e $c = 9$ na fórmula quadrática e resolva $b$ .

$\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 9)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.8.2.3

Simplifique.

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Etapa 4.8.2.3.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.8.2.3.1.1

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$b = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.8.2.3.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 1 \cdot 9$ .

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Etapa 4.8.2.3.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$b = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.8.2.3.1.2.2

Multiplique $- 4$ por $9$ .

$b = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 36}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.8.2.3.1.3

Subtraia $36$ de $9$ .

$b = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 27}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.8.2.3.1.4

Reescreva $- 27$ como $- 1 (27)$ .

$b = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 27}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.8.2.3.1.5

Reescreva $\sqrt{- 1 (27)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}$ .

$b = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.8.2.3.1.6

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$b = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{27}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.8.2.3.1.7

Reescreva $27$ como $3^{2} \cdot 3$ .

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Etapa 4.8.2.3.1.7.1

Fatore $9$ de $27$ .

$b = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{9 (3)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.8.2.3.1.7.2

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$b = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{3^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.8.2.3.1.8

Elimine os termos abaixo do radical.

$b = \frac{- 3 \pm i \cdot (3 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.8.2.3.1.9

Mova $3$ para a esquerda de $i$ .

$b = \frac{- 3 \pm 3 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.8.2.3.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$b = \frac{- 3 \pm 3 i \sqrt{3}}{2}$

Etapa 4.8.2.4

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$b = - \frac{3 - 3 i \sqrt{3}}{2}, - \frac{3 + 3 i \sqrt{3}}{2}$

Etapa 4.9

A solução final são todos os valores que tornam $(b - 3) (b^{2} + 3 b + 9) = 0$ verdadeiro.

$b = 3, - \frac{3 - 3 i \sqrt{3}}{2}, - \frac{3 + 3 i \sqrt{3}}{2}$