Pré-cálculo Exemplos

$10 \sqrt{3} = 20 \sin (\frac{π t}{4} - \frac{π}{2})$

Etapa 1

Reescreva a equação como $20 \sin (\frac{π t}{4} - \frac{π}{2}) = 10 \sqrt{3}$ .

$20 \sin (\frac{π t}{4} - \frac{π}{2}) = 10 \sqrt{3}$

Etapa 2

Divida cada termo em $20 \sin (\frac{π t}{4} - \frac{π}{2}) = 10 \sqrt{3}$ por $20$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Divida cada termo em $20 \sin (\frac{π t}{4} - \frac{π}{2}) = 10 \sqrt{3}$ por $20$ .

$\frac{20 \sin (\frac{π t}{4} - \frac{π}{2})}{20} = \frac{10 \sqrt{3}}{20}$

Etapa 2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Cancele o fator comum de $20$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{20 \sin (\frac{π t}{4} - \frac{π}{2})}{20} = \frac{10 \sqrt{3}}{20}$

Etapa 2.2.1.2

Divida $\sin (\frac{π t}{4} - \frac{π}{2})$ por $1$ .

$\sin (\frac{π t}{4} - \frac{π}{2}) = \frac{10 \sqrt{3}}{20}$

Etapa 2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Cancele o fator comum de $10$ e $20$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.1

Fatore $10$ de $10 \sqrt{3}$ .

$\sin (\frac{π t}{4} - \frac{π}{2}) = \frac{10 (\sqrt{3})}{20}$

Etapa 2.3.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.2.1

Fatore $10$ de $20$ .

$\sin (\frac{π t}{4} - \frac{π}{2}) = \frac{10 \sqrt{3}}{10 \cdot 2}$

Etapa 2.3.1.2.2

Cancele o fator comum.

$\sin (\frac{π t}{4} - \frac{π}{2}) = \frac{10 \sqrt{3}}{10 \cdot 2}$

Etapa 2.3.1.2.3

Reescreva a expressão.

$\sin (\frac{π t}{4} - \frac{π}{2}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Etapa 3

Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair $t$ de dentro do seno.

$\frac{π t}{4} - \frac{π}{2} = \arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2})$

Etapa 4

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

O valor exato de $\arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2})$ é $\frac{π}{3}$ .

$\frac{π t}{4} - \frac{π}{2} = \frac{π}{3}$

Etapa 5

Mova todos os termos que não contêm $t$ para o lado direito da equação.

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Etapa 5.1

Some $\frac{π}{2}$ aos dois lados da equação.

$\frac{π t}{4} = \frac{π}{3} + \frac{π}{2}$

Etapa 5.2

Para escrever $\frac{π}{3}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{π t}{4} = \frac{π}{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{2}$

Etapa 5.3

Para escrever $\frac{π}{2}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{π t}{4} = \frac{π}{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{2} \cdot \frac{3}{3}$

Etapa 5.4

Escreva cada expressão com um denominador comum de $6$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.1

Multiplique $\frac{π}{3}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{π t}{4} = \frac{π \cdot 2}{3 \cdot 2} + \frac{π}{2} \cdot \frac{3}{3}$

Etapa 5.4.2

Multiplique $3$ por $2$ .

$\frac{π t}{4} = \frac{π \cdot 2}{6} + \frac{π}{2} \cdot \frac{3}{3}$

Etapa 5.4.3

Multiplique $\frac{π}{2}$ por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{π t}{4} = \frac{π \cdot 2}{6} + \frac{π \cdot 3}{2 \cdot 3}$

Etapa 5.4.4

Multiplique $2$ por $3$ .

$\frac{π t}{4} = \frac{π \cdot 2}{6} + \frac{π \cdot 3}{6}$

Etapa 5.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{π t}{4} = \frac{π \cdot 2 + π \cdot 3}{6}$

Etapa 5.6

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.6.1

Mova $2$ para a esquerda de $π$ .

$\frac{π t}{4} = \frac{2 \cdot π + π \cdot 3}{6}$

Etapa 5.6.2

Mova $3$ para a esquerda de $π$ .

$\frac{π t}{4} = \frac{2 π + 3 \cdot π}{6}$

Etapa 5.6.3

Some $2 π$ e $3 π$ .

$\frac{π t}{4} = \frac{5 π}{6}$

Etapa 6

Multiplique os dois lados da equação por $\frac{4}{π}$ .

$\frac{4}{π} \cdot \frac{π t}{4} = \frac{4}{π} \cdot \frac{5 π}{6}$

Etapa 7

Simplifique os dois lados da equação.

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Etapa 7.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.1

Simplifique $\frac{4}{π} \cdot \frac{π t}{4}$ .

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Etapa 7.1.1.1

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.1.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4}{π} \cdot \frac{π t}{4} = \frac{4}{π} \cdot \frac{5 π}{6}$

Etapa 7.1.1.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{π} (π t) = \frac{4}{π} \cdot \frac{5 π}{6}$

Etapa 7.1.1.2

Cancele o fator comum de $π$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.1.2.1

Fatore $π$ de $π t$ .

$\frac{1}{π} (π (t)) = \frac{4}{π} \cdot \frac{5 π}{6}$

Etapa 7.1.1.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{π} (π t) = \frac{4}{π} \cdot \frac{5 π}{6}$

Etapa 7.1.1.2.3

Reescreva a expressão.

$t = \frac{4}{π} \cdot \frac{5 π}{6}$

Etapa 7.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1

Simplifique $\frac{4}{π} \cdot \frac{5 π}{6}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1.1.1

Fatore $2$ de $4$ .

$t = \frac{2 (2)}{π} \cdot \frac{5 π}{6}$

Etapa 7.2.1.1.2

Fatore $2$ de $6$ .

$t = \frac{2 \cdot 2}{π} \cdot \frac{5 π}{2 \cdot 3}$

Etapa 7.2.1.1.3

Cancele o fator comum.

$t = \frac{2 \cdot 2}{π} \cdot \frac{5 π}{2 \cdot 3}$

Etapa 7.2.1.1.4

Reescreva a expressão.

$t = \frac{2}{π} \cdot \frac{5 π}{3}$

Etapa 7.2.1.2

Cancele o fator comum de $π$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1.2.1

Fatore $π$ de $5 π$ .

$t = \frac{2}{π} \cdot \frac{π \cdot 5}{3}$

Etapa 7.2.1.2.2

Cancele o fator comum.

$t = \frac{2}{π} \cdot \frac{π \cdot 5}{3}$

Etapa 7.2.1.2.3

Reescreva a expressão.

$t = 2 (\frac{5}{3})$

Etapa 7.2.1.3

Combine $2$ e $\frac{5}{3}$ .

$t = \frac{2 \cdot 5}{3}$

Etapa 7.2.1.4

Multiplique $2$ por $5$ .

$t = \frac{10}{3}$

Etapa 8

A função do seno é positiva no primeiro e no segundo quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no segundo quadrante.

$\frac{π t}{4} - \frac{π}{2} = π - \frac{π}{3}$

Etapa 9

Resolva $t$ .

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Etapa 9.1

Simplifique $π - \frac{π}{3}$ .

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Etapa 9.1.1

Para escrever $π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{π t}{4} - \frac{π}{2} = π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Etapa 9.1.2

Combine frações.

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Etapa 9.1.2.1

Combine $π$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{π t}{4} - \frac{π}{2} = \frac{π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Etapa 9.1.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{π t}{4} - \frac{π}{2} = \frac{π \cdot 3 - π}{3}$

Etapa 9.1.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 9.1.3.1

Mova $3$ para a esquerda de $π$ .

$\frac{π t}{4} - \frac{π}{2} = \frac{3 \cdot π - π}{3}$

Etapa 9.1.3.2

Subtraia $π$ de $3 π$ .

$\frac{π t}{4} - \frac{π}{2} = \frac{2 π}{3}$

Etapa 9.2

Mova todos os termos que não contêm $t$ para o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.1

Some $\frac{π}{2}$ aos dois lados da equação.

$\frac{π t}{4} = \frac{2 π}{3} + \frac{π}{2}$

Etapa 9.2.2

Para escrever $\frac{2 π}{3}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{π t}{4} = \frac{2 π}{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{2}$

Etapa 9.2.3

Para escrever $\frac{π}{2}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{π t}{4} = \frac{2 π}{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{2} \cdot \frac{3}{3}$

Etapa 9.2.4

Escreva cada expressão com um denominador comum de $6$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.4.1

Multiplique $\frac{2 π}{3}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{π t}{4} = \frac{2 π \cdot 2}{3 \cdot 2} + \frac{π}{2} \cdot \frac{3}{3}$

Etapa 9.2.4.2

Multiplique $3$ por $2$ .

$\frac{π t}{4} = \frac{2 π \cdot 2}{6} + \frac{π}{2} \cdot \frac{3}{3}$

Etapa 9.2.4.3

Multiplique $\frac{π}{2}$ por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{π t}{4} = \frac{2 π \cdot 2}{6} + \frac{π \cdot 3}{2 \cdot 3}$

Etapa 9.2.4.4

Multiplique $2$ por $3$ .

$\frac{π t}{4} = \frac{2 π \cdot 2}{6} + \frac{π \cdot 3}{6}$

Etapa 9.2.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{π t}{4} = \frac{2 π \cdot 2 + π \cdot 3}{6}$

Etapa 9.2.6

Simplifique o numerador.

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Etapa 9.2.6.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{π t}{4} = \frac{4 π + π \cdot 3}{6}$

Etapa 9.2.6.2

Mova $3$ para a esquerda de $π$ .

$\frac{π t}{4} = \frac{4 π + 3 \cdot π}{6}$

Etapa 9.2.6.3

Some $4 π$ e $3 π$ .

$\frac{π t}{4} = \frac{7 π}{6}$

Etapa 9.3

Multiplique os dois lados da equação por $\frac{4}{π}$ .

$\frac{4}{π} \cdot \frac{π t}{4} = \frac{4}{π} \cdot \frac{7 π}{6}$

Etapa 9.4

Simplifique os dois lados da equação.

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Etapa 9.4.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.4.1.1

Simplifique $\frac{4}{π} \cdot \frac{π t}{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.4.1.1.1

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.4.1.1.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4}{π} \cdot \frac{π t}{4} = \frac{4}{π} \cdot \frac{7 π}{6}$

Etapa 9.4.1.1.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{π} (π t) = \frac{4}{π} \cdot \frac{7 π}{6}$

Etapa 9.4.1.1.2

Cancele o fator comum de $π$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.4.1.1.2.1

Fatore $π$ de $π t$ .

$\frac{1}{π} (π (t)) = \frac{4}{π} \cdot \frac{7 π}{6}$

Etapa 9.4.1.1.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{π} (π t) = \frac{4}{π} \cdot \frac{7 π}{6}$

Etapa 9.4.1.1.2.3

Reescreva a expressão.

$t = \frac{4}{π} \cdot \frac{7 π}{6}$

Etapa 9.4.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.4.2.1

Simplifique $\frac{4}{π} \cdot \frac{7 π}{6}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.4.2.1.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.4.2.1.1.1

Fatore $2$ de $4$ .

$t = \frac{2 (2)}{π} \cdot \frac{7 π}{6}$

Etapa 9.4.2.1.1.2

Fatore $2$ de $6$ .

$t = \frac{2 \cdot 2}{π} \cdot \frac{7 π}{2 \cdot 3}$

Etapa 9.4.2.1.1.3

Cancele o fator comum.

$t = \frac{2 \cdot 2}{π} \cdot \frac{7 π}{2 \cdot 3}$

Etapa 9.4.2.1.1.4

Reescreva a expressão.

$t = \frac{2}{π} \cdot \frac{7 π}{3}$

Etapa 9.4.2.1.2

Cancele o fator comum de $π$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.4.2.1.2.1

Fatore $π$ de $7 π$ .

$t = \frac{2}{π} \cdot \frac{π \cdot 7}{3}$

Etapa 9.4.2.1.2.2

Cancele o fator comum.

$t = \frac{2}{π} \cdot \frac{π \cdot 7}{3}$

Etapa 9.4.2.1.2.3

Reescreva a expressão.

$t = 2 (\frac{7}{3})$

Etapa 9.4.2.1.3

Combine $2$ e $\frac{7}{3}$ .

$t = \frac{2 \cdot 7}{3}$

Etapa 9.4.2.1.4

Multiplique $2$ por $7$ .

$t = \frac{14}{3}$

Etapa 10

Encontre o período de $\sin (\frac{π t}{4} - \frac{π}{2})$ .

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Etapa 10.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 10.2

Substitua $b$ por $\frac{π}{4}$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| \frac{π}{4} |}$

Etapa 10.3

$\frac{π}{4}$ é aproximadamente $0.78539816$ , que é positivo, então remova o valor absoluto

$\frac{2 π}{\frac{π}{4}}$

Etapa 10.4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$2 π \frac{4}{π}$

Etapa 10.5

Cancele o fator comum de $π$ .

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Etapa 10.5.1

Fatore $π$ de $2 π$ .

$π \cdot 2 \frac{4}{π}$

Etapa 10.5.2

Cancele o fator comum.

$π \cdot 2 \frac{4}{π}$

Etapa 10.5.3

Reescreva a expressão.

$2 \cdot 4$

Etapa 10.6

Multiplique $2$ por $4$ .

$8$

Etapa 11

O período da função $\sin (\frac{π t}{4} - \frac{π}{2})$ é $8$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $8$ radianos nas duas direções.

$t = \frac{10}{3} + 8 n, \frac{14}{3} + 8 n$ , para qualquer número inteiro $n$