Pré-cálculo Exemplos

${(1 + y)}^{2} - (1 + y) y - y^{2} + 1 = 0$

Etapa 1

Simplifique ${(1 + y)}^{2} - (1 + y) y - y^{2} + 1$ .

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Etapa 1.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

${(1 + y)}^{2} + (- 1 \cdot 1 - y) y - y^{2} + 1 = 0$

Etapa 1.1.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

${(1 + y)}^{2} + (- 1 - y) y - y^{2} + 1 = 0$

Etapa 1.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

${(1 + y)}^{2} - 1 y - y \cdot y - y^{2} + 1 = 0$

Etapa 1.1.4

Reescreva $- 1 y$ como $- y$ .

${(1 + y)}^{2} - y - y \cdot y - y^{2} + 1 = 0$

Etapa 1.1.5

Multiplique $y$ por $y$ somando os expoentes.

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Etapa 1.1.5.1

Mova $y$ .

${(1 + y)}^{2} - y - (y \cdot y) - y^{2} + 1 = 0$

Etapa 1.1.5.2

Multiplique $y$ por $y$ .

${(1 + y)}^{2} - y - y^{2} - y^{2} + 1 = 0$

Etapa 1.2

Subtraia $y^{2}$ de $- y^{2}$ .

${(1 + y)}^{2} - y - 2 y^{2} + 1 = 0$

Etapa 2

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.1

Reagrupe os termos.

${(1 + y)}^{2} - 2 y^{2} - y + 1 = 0$

Etapa 2.2

Reescreva ${(1 + y)}^{2}$ como $(1 + y) (1 + y)$ .

$(1 + y) (1 + y) - 2 y^{2} - y + 1 = 0$

Etapa 2.3

Expanda $(1 + y) (1 + y)$ usando o método FOIL.

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Etapa 2.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$1 (1 + y) + y (1 + y) - 2 y^{2} - y + 1 = 0$

Etapa 2.3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$1 \cdot 1 + 1 y + y (1 + y) - 2 y^{2} - y + 1 = 0$

Etapa 2.3.3

Aplique a propriedade distributiva.

$1 \cdot 1 + 1 y + y \cdot 1 + y \cdot y - 2 y^{2} - y + 1 = 0$

Etapa 2.4

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 2.4.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.4.1.1

Multiplique $1$ por $1$ .

$1 + 1 y + y \cdot 1 + y \cdot y - 2 y^{2} - y + 1 = 0$

Etapa 2.4.1.2

Multiplique $y$ por $1$ .

$1 + y + y \cdot 1 + y \cdot y - 2 y^{2} - y + 1 = 0$

Etapa 2.4.1.3

Multiplique $y$ por $1$ .

$1 + y + y + y \cdot y - 2 y^{2} - y + 1 = 0$

Etapa 2.4.1.4

Multiplique $y$ por $y$ .

$1 + y + y + y^{2} - 2 y^{2} - y + 1 = 0$

Etapa 2.4.2

Some $y$ e $y$ .

$1 + 2 y + y^{2} - 2 y^{2} - y + 1 = 0$

Etapa 2.5

Subtraia $2 y^{2}$ de $y^{2}$ .

$1 + 2 y - y^{2} - y + 1 = 0$

Etapa 2.6

Fatore $- 1$ de $1 + 2 y - y^{2}$ .

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Etapa 2.6.1

Reordene a expressão.

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Etapa 2.6.1.1

Mova $1$ .

$2 y - y^{2} + 1 - y + 1 = 0$

Etapa 2.6.1.2

Reordene $2 y$ e $- y^{2}$ .

$- y^{2} + 2 y + 1 - y + 1 = 0$

Etapa 2.6.2

Fatore $- 1$ de $- y^{2}$ .

$- (y^{2}) + 2 y + 1 - y + 1 = 0$

Etapa 2.6.3

Fatore $- 1$ de $2 y$ .

$- (y^{2}) - (- 2 y) + 1 - y + 1 = 0$

Etapa 2.6.4

Reescreva $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$- (y^{2}) - (- 2 y) - 1 \cdot - 1 - y + 1 = 0$

Etapa 2.6.5

Fatore $- 1$ de $- (y^{2}) - (- 2 y)$ .

$- (y^{2} - 2 y) - 1 \cdot - 1 - y + 1 = 0$

Etapa 2.6.6

Fatore $- 1$ de $- (y^{2} - 2 y) - 1 (- 1)$ .

$- (y^{2} - 2 y - 1) - y + 1 = 0$

Etapa 2.7

Fatore $- 1$ de $- y + 1$ .

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Etapa 2.7.1

Fatore $- 1$ de $- y$ .

$- (y^{2} - 2 y - 1) - (y) + 1 = 0$

Etapa 2.7.2

Reescreva $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$- (y^{2} - 2 y - 1) - (y) - 1 \cdot - 1 = 0$

Etapa 2.7.3

Fatore $- 1$ de $- (y) - 1 (- 1)$ .

$- (y^{2} - 2 y - 1) - (y - 1) = 0$

Etapa 2.8

Fatore $- 1$ de $- (y^{2} - 2 y - 1) - (y - 1)$ .

$- (y^{2} - 2 y - 1 + y - 1) = 0$

Etapa 2.9

Some $- 2 y$ e $y$ .

$- (y^{2} - y - 1 - 1) = 0$

Etapa 2.10

Subtraia $1$ de $- 1$ .

$- (y^{2} - y - 2) = 0$

Etapa 2.11

Fatore.

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Etapa 2.11.1

Fatore $y^{2} - y - 2$ usando o método AC.

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Etapa 2.11.1.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 2$ e cuja soma é $- 1$ .

$- 2, 1$

Etapa 2.11.1.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$- ((y - 2) (y + 1)) = 0$

Etapa 2.11.2

Remova os parênteses desnecessários.

$- (y - 2) (y + 1) = 0$

Etapa 3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$y - 2 = 0$

$y + 1 = 0$

Etapa 4

Defina $y - 2$ como igual a $0$ e resolva para $y$ .

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Etapa 4.1

Defina $y - 2$ como igual a $0$ .

$y - 2 = 0$

Etapa 4.2

Some $2$ aos dois lados da equação.

$y = 2$

Etapa 5

Defina $y + 1$ como igual a $0$ e resolva para $y$ .

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Etapa 5.1

Defina $y + 1$ como igual a $0$ .

$y + 1 = 0$

Etapa 5.2

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$y = - 1$

Etapa 6

A solução final são todos os valores que tornam $- (y - 2) (y + 1) = 0$ verdadeiro.

$y = 2, - 1$