Pré-cálculo Exemplos

$\frac{15}{4 x (3 x + 5)}$

Etapa 1

Decomponha a fração e multiplique pelo denominador comum.

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Etapa 1.1

Para cada fator no denominador, crie uma fração usando o fator como denominador e um valor desconhecido como numerador. Como o fator no denominador é linear, coloque uma única variável em seu lugar $B$ .

$\frac{A}{x} + \frac{B}{3 x + 5}$

Etapa 1.2

Multiplique cada fração na equação pelo denominador da expressão original. Nesse caso, o denominador é $4 x (3 x + 5)$ .

$\frac{15 (4 x (3 x + 5))}{4 x (3 x + 5)} = \frac{A (4 x (3 x + 5))}{x} + \frac{(B) (4 x (3 x + 5))}{3 x + 5}$

Etapa 1.3

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 1.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{15 (4 x (3 x + 5))}{4 x (3 x + 5)} = \frac{A (4 x (3 x + 5))}{x} + \frac{(B) (4 x (3 x + 5))}{3 x + 5}$

Etapa 1.3.2

Reescreva a expressão.

$\frac{15 (x (3 x + 5))}{x (3 x + 5)} = \frac{A (4 x (3 x + 5))}{x} + \frac{(B) (4 x (3 x + 5))}{3 x + 5}$

Etapa 1.4

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 1.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{15 (x (3 x + 5))}{x (3 x + 5)} = \frac{A (4 x (3 x + 5))}{x} + \frac{(B) (4 x (3 x + 5))}{3 x + 5}$

Etapa 1.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{15 (3 x + 5)}{3 x + 5} = \frac{A (4 x (3 x + 5))}{x} + \frac{(B) (4 x (3 x + 5))}{3 x + 5}$

Etapa 1.5

Cancele o fator comum de $3 x + 5$ .

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Etapa 1.5.1

Cancele o fator comum.

$\frac{15 (3 x + 5)}{3 x + 5} = \frac{A (4 x (3 x + 5))}{x} + \frac{(B) (4 x (3 x + 5))}{3 x + 5}$

Etapa 1.5.2

Divida $15$ por $1$ .

$15 = \frac{A (4 x (3 x + 5))}{x} + \frac{(B) (4 x (3 x + 5))}{3 x + 5}$

Etapa 1.6

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.6.1

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 1.6.1.1

Cancele o fator comum.

$15 = \frac{A (4 x (3 x + 5))}{x} + \frac{(B) (4 x (3 x + 5))}{3 x + 5}$

Etapa 1.6.1.2

Divida $A (4 (3 x + 5))$ por $1$ .

$15 = A (4 (3 x + 5)) + \frac{(B) (4 x (3 x + 5))}{3 x + 5}$

Etapa 1.6.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$15 = 4 A (3 x + 5) + \frac{(B) (4 x (3 x + 5))}{3 x + 5}$

Etapa 1.6.3

Aplique a propriedade distributiva.

$15 = 4 A (3 x) + 4 A \cdot 5 + \frac{(B) (4 x (3 x + 5))}{3 x + 5}$

Etapa 1.6.4

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$15 = 4 \cdot (3 A x) + 4 A \cdot 5 + \frac{(B) (4 x (3 x + 5))}{3 x + 5}$

Etapa 1.6.5

Multiplique $5$ por $4$ .

$15 = 4 \cdot (3 A x) + 20 A + \frac{(B) (4 x (3 x + 5))}{3 x + 5}$

Etapa 1.6.6

Multiplique $4$ por $3$ .

$15 = 12 A x + 20 A + \frac{(B) (4 x (3 x + 5))}{3 x + 5}$

Etapa 1.6.7

Cancele o fator comum de $3 x + 5$ .

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Etapa 1.6.7.1

Cancele o fator comum.

$15 = 12 A x + 20 A + \frac{B (4 x (3 x + 5))}{3 x + 5}$

Etapa 1.6.7.2

Divida $(B) (4 x)$ por $1$ .

$15 = 12 A x + 20 A + (B) (4 x)$

Etapa 1.6.8

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$15 = 12 A x + 20 A + 4 B x$

Etapa 1.7

Reordene.

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Etapa 1.7.1

Mova $A$ .

$15 = 12 x A + 20 A + 4 B x$

Etapa 1.7.2

Mova $B$ .

$15 = 12 x A + 20 A + 4 x B$

Etapa 1.7.3

Mova $20 A$ .

$15 = 12 x A + 4 x B + 20 A$

Etapa 2

Crie equações para as variáveis da fração parcial e use-as para estabelecer um sistema de equações.

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Etapa 2.1

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes de $x$ de cada lado da equação. Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$0 = 12 A + 4 B$

Etapa 2.2

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes dos termos que não contêm $x$ . Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$15 = 20 A$

Etapa 2.3

Monte o sistema de equações para encontrar os coeficientes das frações parciais.

$0 = 12 A + 4 B$

$15 = 20 A$

$0 = 12 A + 4 B$

$15 = 20 A$

Etapa 3

Resolva o sistema de equações.

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Etapa 3.1

Resolva $A$ em $15 = 20 A$ .

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Etapa 3.1.1

Reescreva a equação como $20 A = 15$ .

$20 A = 15$

$0 = 12 A + 4 B$

Etapa 3.1.2

Divida cada termo em $20 A = 15$ por $20$ e simplifique.

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Etapa 3.1.2.1

Divida cada termo em $20 A = 15$ por $20$ .

$\frac{20 A}{20} = \frac{15}{20}$

$0 = 12 A + 4 B$

Etapa 3.1.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.1.2.2.1

Cancele o fator comum de $20$ .

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Etapa 3.1.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{20 A}{20} = \frac{15}{20}$

$0 = 12 A + 4 B$

Etapa 3.1.2.2.1.2

Divida $A$ por $1$ .

$A = \frac{15}{20}$

$0 = 12 A + 4 B$

$A = \frac{15}{20}$

$0 = 12 A + 4 B$

$A = \frac{15}{20}$

$0 = 12 A + 4 B$

Etapa 3.1.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.1.2.3.1

Cancele o fator comum de $15$ e $20$ .

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Etapa 3.1.2.3.1.1

Fatore $5$ de $15$ .

$A = \frac{5 (3)}{20}$

$0 = 12 A + 4 B$

Etapa 3.1.2.3.1.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 3.1.2.3.1.2.1

Fatore $5$ de $20$ .

$A = \frac{5 \cdot 3}{5 \cdot 4}$

$0 = 12 A + 4 B$

Etapa 3.1.2.3.1.2.2

Cancele o fator comum.

$A = \frac{5 \cdot 3}{5 \cdot 4}$

$0 = 12 A + 4 B$

Etapa 3.1.2.3.1.2.3

Reescreva a expressão.

$A = \frac{3}{4}$

$0 = 12 A + 4 B$

$A = \frac{3}{4}$

$0 = 12 A + 4 B$

$A = \frac{3}{4}$

$0 = 12 A + 4 B$

$A = \frac{3}{4}$

$0 = 12 A + 4 B$

$A = \frac{3}{4}$

$0 = 12 A + 4 B$

$A = \frac{3}{4}$

$0 = 12 A + 4 B$

Etapa 3.2

Substitua todas as ocorrências de $A$ por $\frac{3}{4}$ em cada equação.

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Etapa 3.2.1

Substitua todas as ocorrências de $A$ em $0 = 12 A + 4 B$ por $\frac{3}{4}$ .

$0 = 12 (\frac{3}{4}) + 4 B$

$A = \frac{3}{4}$

Etapa 3.2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.2.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.2.2.1.1

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 3.2.2.1.1.1

Fatore $4$ de $12$ .

$0 = 4 (3) (\frac{3}{4}) + 4 B$

$A = \frac{3}{4}$

Etapa 3.2.2.1.1.2

Cancele o fator comum.

$0 = 4 \cdot (3 (\frac{3}{4})) + 4 B$

$A = \frac{3}{4}$

Etapa 3.2.2.1.1.3

Reescreva a expressão.

$0 = 3 \cdot 3 + 4 B$

$A = \frac{3}{4}$

$0 = 3 \cdot 3 + 4 B$

$A = \frac{3}{4}$

Etapa 3.2.2.1.2

Multiplique $3$ por $3$ .

$0 = 9 + 4 B$

$A = \frac{3}{4}$

$0 = 9 + 4 B$

$A = \frac{3}{4}$

$0 = 9 + 4 B$

$A = \frac{3}{4}$

$0 = 9 + 4 B$

$A = \frac{3}{4}$

Etapa 3.3

Resolva $B$ em $0 = 9 + 4 B$ .

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Etapa 3.3.1

Reescreva a equação como $9 + 4 B = 0$ .

$9 + 4 B = 0$

$A = \frac{3}{4}$

Etapa 3.3.2

Subtraia $9$ dos dois lados da equação.

$4 B = - 9$

$A = \frac{3}{4}$

Etapa 3.3.3

Divida cada termo em $4 B = - 9$ por $4$ e simplifique.

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Etapa 3.3.3.1

Divida cada termo em $4 B = - 9$ por $4$ .

$\frac{4 B}{4} = \frac{- 9}{4}$

$A = \frac{3}{4}$

Etapa 3.3.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.3.3.2.1

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 3.3.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4 B}{4} = \frac{- 9}{4}$

$A = \frac{3}{4}$

Etapa 3.3.3.2.1.2

Divida $B$ por $1$ .

$B = \frac{- 9}{4}$

$A = \frac{3}{4}$

$B = \frac{- 9}{4}$

$A = \frac{3}{4}$

$B = \frac{- 9}{4}$

$A = \frac{3}{4}$

Etapa 3.3.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.3.3.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$B = - \frac{9}{4}$

$A = \frac{3}{4}$

$B = - \frac{9}{4}$

$A = \frac{3}{4}$

$B = - \frac{9}{4}$

$A = \frac{3}{4}$

$B = - \frac{9}{4}$

$A = \frac{3}{4}$

Etapa 3.4

Resolva o sistema de equações.

$B = - \frac{9}{4} A = \frac{3}{4}$

Etapa 3.5

Liste todas as soluções.

$B = - \frac{9}{4}, A = \frac{3}{4}$

Etapa 4

Substitua cada um dos coeficientes de fração parcial em $\frac{A}{x} + \frac{B}{3 x + 5}$ pelos valores encontrados para $A$ e $B$ .

$\frac{\frac{3}{4}}{x} + \frac{- \frac{9}{4}}{3 x + 5}$