Pré-cálculo Exemplos

$g (x) = 3 x^{2} e^{2 x}$

Etapa 1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x^{2} e^{2 x}$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x^{2} e^{2 x}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{2} e^{2 x}]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = e^{2 x}$ .

$3 (x^{2} \frac{d}{d x} [e^{2 x}] + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 2 x$ .

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Etapa 3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $2 x$ .

$3 (x^{2} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x]) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$3 (x^{2} (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x]) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 x$ .

$3 (x^{2} (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 4

Diferencie.

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Etapa 4.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 (x^{2} (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$3 (x^{2} (e^{2 x} (2 \cdot 1)) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 4.3

Simplifique a expressão.

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Etapa 4.3.1

Multiplique $2$ por $1$ .

$3 (x^{2} (e^{2 x} \cdot 2) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 4.3.2

Mova $2$ para a esquerda de $e^{2 x}$ .

$3 (x^{2} (2 \cdot e^{2 x}) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 4.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$3 (x^{2} (2 e^{2 x}) + e^{2 x} (2 x))$

Etapa 5

Simplifique.

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Etapa 5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$3 (x^{2} (2 e^{2 x})) + 3 (e^{2 x} (2 x))$

Etapa 5.2

Combine os termos.

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Etapa 5.2.1

Multiplique $2$ por $3$ .

$6 (x^{2} (e^{2 x})) + 3 (e^{2 x} (2 x))$

Etapa 5.2.2

Multiplique $2$ por $3$ .

$6 x^{2} e^{2 x} + 6 e^{2 x} x$

Etapa 5.3

Reordene os termos.

$6 e^{2 x} x^{2} + 6 e^{2 x} x$

Etapa 5.4

Reordene os fatores em $6 e^{2 x} x^{2} + 6 e^{2 x} x$ .

$6 x^{2} e^{2 x} + 6 x e^{2 x}$