Pré-cálculo Exemplos

$x^{2} - 3 y^{2} - 8 x + 12 y + 16 = 0$

Etapa 1

Encontre a forma padrão da hipérbole.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Subtraia $16$ dos dois lados da equação.

$x^{2} - 3 y^{2} - 8 x + 12 y = - 16$

Etapa 1.2

Complete o quadrado de $x^{2} - 8 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Use a forma $a x^{2} + b x + c$ para encontrar os valores de $a$ , $b$ e $c$ .

$a = 1$

$b = - 8$

$c = 0$

Etapa 1.2.2

Considere a forma de vértice de uma parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Etapa 1.2.3

Encontre o valor de $d$ usando a fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.1

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 8}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.2.3.2

Cancele o fator comum de $- 8$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.2.1

Fatore $2$ de $- 8$ .

$d = \frac{2 \cdot - 4}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.2.3.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.2.2.1

Fatore $2$ de $2 \cdot 1$ .

$d = \frac{2 \cdot - 4}{2 (1)}$

Etapa 1.2.3.2.2.2

Cancele o fator comum.

$d = \frac{2 \cdot - 4}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.2.3.2.2.3

Reescreva a expressão.

$d = \frac{- 4}{1}$

Etapa 1.2.3.2.2.4

Divida $- 4$ por $1$ .

$d = - 4$

Etapa 1.2.4

Encontre o valor de $e$ usando a fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.1

Substitua os valores de $c$ , $b$ e $a$ na fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 8)}^{2}}{4 \cdot 1}$

Etapa 1.2.4.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.2.1.1

Eleve $- 8$ à potência de $2$ .

$e = 0 - \frac{64}{4 \cdot 1}$

Etapa 1.2.4.2.1.2

Multiplique $4$ por $1$ .

$e = 0 - \frac{64}{4}$

Etapa 1.2.4.2.1.3

Divida $64$ por $4$ .

$e = 0 - 1 \cdot 16$

Etapa 1.2.4.2.1.4

Multiplique $- 1$ por $16$ .

$e = 0 - 16$

Etapa 1.2.4.2.2

Subtraia $16$ de $0$ .

$e = - 16$

Etapa 1.2.5

Substitua os valores de $a$ , $d$ e $e$ na forma do vértice ${(x - 4)}^{2} - 16$ .

${(x - 4)}^{2} - 16$

Etapa 1.3

Substitua ${(x - 4)}^{2} - 16$ por $x^{2} - 8 x$ na equação $x^{2} - 3 y^{2} - 8 x + 12 y = - 16$ .

${(x - 4)}^{2} - 16 - 3 y^{2} + 12 y = - 16$

Etapa 1.4

Mova $- 16$ para o lado direito da equação, somando $16$ aos dois lados.

${(x - 4)}^{2} - 3 y^{2} + 12 y = - 16 + 16$

Etapa 1.5

Complete o quadrado de $- 3 y^{2} + 12 y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.1

Use a forma $a x^{2} + b x + c$ para encontrar os valores de $a$ , $b$ e $c$ .

$a = - 3$

$b = 12$

$c = 0$

Etapa 1.5.2

Considere a forma de vértice de uma parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Etapa 1.5.3

Encontre o valor de $d$ usando a fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.3.1

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{12}{2 \cdot - 3}$

Etapa 1.5.3.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.3.2.1

Cancele o fator comum de $12$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.3.2.1.1

Fatore $2$ de $12$ .

$d = \frac{2 \cdot 6}{2 \cdot - 3}$

Etapa 1.5.3.2.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.3.2.1.2.1

Fatore $2$ de $2 \cdot - 3$ .

$d = \frac{2 \cdot 6}{2 (- 3)}$

Etapa 1.5.3.2.1.2.2

Cancele o fator comum.

$d = \frac{2 \cdot 6}{2 \cdot - 3}$

Etapa 1.5.3.2.1.2.3

Reescreva a expressão.

$d = \frac{6}{- 3}$

Etapa 1.5.3.2.2

Cancele o fator comum de $6$ e $- 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.3.2.2.1

Fatore $3$ de $6$ .

$d = \frac{3 (2)}{- 3}$

Etapa 1.5.3.2.2.2

Mova o número negativo do denominador de $\frac{2}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot 2$

Etapa 1.5.3.2.3

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$d = - 2$

Etapa 1.5.4

Encontre o valor de $e$ usando a fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.4.1

Substitua os valores de $c$ , $b$ e $a$ na fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{12^{2}}{4 \cdot - 3}$

Etapa 1.5.4.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.4.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.4.2.1.1

Eleve $12$ à potência de $2$ .

$e = 0 - \frac{144}{4 \cdot - 3}$

Etapa 1.5.4.2.1.2

Multiplique $4$ por $- 3$ .

$e = 0 - \frac{144}{- 12}$

Etapa 1.5.4.2.1.3

Divida $144$ por $- 12$ .

$e = 0 - - 12$

Etapa 1.5.4.2.1.4

Multiplique $- 1$ por $- 12$ .

$e = 0 + 12$

Etapa 1.5.4.2.2

Some $0$ e $12$ .

$e = 12$

Etapa 1.5.5

Substitua os valores de $a$ , $d$ e $e$ na forma do vértice $- 3 {(y - 2)}^{2} + 12$ .

$- 3 {(y - 2)}^{2} + 12$

Etapa 1.6

Substitua $- 3 {(y - 2)}^{2} + 12$ por $- 3 y^{2} + 12 y$ na equação $x^{2} - 3 y^{2} - 8 x + 12 y = - 16$ .

${(x - 4)}^{2} - 3 {(y - 2)}^{2} + 12 = - 16 + 16$

Etapa 1.7

Mova $12$ para o lado direito da equação, somando $12$ aos dois lados.

${(x - 4)}^{2} - 3 {(y - 2)}^{2} = - 16 + 16 - 12$

Etapa 1.8

Simplifique $- 16 + 16 - 12$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.8.1

Some $- 16$ e $16$ .

${(x - 4)}^{2} - 3 {(y - 2)}^{2} = 0 - 12$

Etapa 1.8.2

Subtraia $12$ de $0$ .

${(x - 4)}^{2} - 3 {(y - 2)}^{2} = - 12$

Etapa 1.9

Inverta o sinal em cada termo da equação para que o termo do lado direito fique positivo.

$- {(x - 4)}^{2} + 3 {(y - 2)}^{2} = 12$

Etapa 1.10

Divida cada termo por $12$ para que o lado direito seja igual a um.

$- \frac{{(x - 4)}^{2}}{12} + \frac{3 {(y - 2)}^{2}}{12} = \frac{12}{12}$

Etapa 1.11

Simplifique cada termo na equação para definir o lado direito como igual a $1$ . A forma padrão de uma elipse ou hipérbole exige que o lado direito da equação seja $1$ .

$\frac{{(y - 2)}^{2}}{4} - \frac{{(x - 4)}^{2}}{12} = 1$

Etapa 2

Esta é a forma de uma hipérbole. Use-a para determinar os valores usados para encontrar os vértices e as assíntotas da hipérbole.

$\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Etapa 3

Associe os valores nesta hipérbole com os da forma padrão. A variável $h$ representa o deslocamento de x em relação à origem, $k$ representa o deslocamento de y em relação à origem, $a$ .

$a = 2$

$b = 2 \sqrt{3}$

$k = 2$

$h = 4$

Etapa 4

O centro de uma hipérbole segue a forma de $(h, k)$ . Substitua os valores de $h$ e $k$ .

$(4, 2)$

Etapa 5

Encontre $c$ , a distância do centro até um foco.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Encontre a distância do centro até um foco da hipérbole usando a seguinte fórmula.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

Etapa 5.2

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula.

$\sqrt{{(2)}^{2} + {(2 \sqrt{3})}^{2}}$

Etapa 5.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1.1

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$\sqrt{4 + {(2 \sqrt{3})}^{2}}$

Etapa 5.3.1.2

Aplique a regra do produto a $2 \sqrt{3}$ .

$\sqrt{4 + 2^{2} {\sqrt{3}}^{2}}$

Etapa 5.3.1.3

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$\sqrt{4 + 4 {\sqrt{3}}^{2}}$

Etapa 5.3.2

Reescreva ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{4 + 4 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 5.3.2.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{4 + 4 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 5.3.2.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\sqrt{4 + 4 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 5.3.2.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.4.1

Cancele o fator comum.

$\sqrt{4 + 4 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 5.3.2.4.2

Reescreva a expressão.

$\sqrt{4 + 4 \cdot 3^{1}}$

Etapa 5.3.2.5

Avalie o expoente.

$\sqrt{4 + 4 \cdot 3}$

Etapa 5.3.3

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.1

Multiplique $4$ por $3$ .

$\sqrt{4 + 12}$

Etapa 5.3.3.2

Some $4$ e $12$ .

$\sqrt{16}$

Etapa 5.3.3.3

Reescreva $16$ como $4^{2}$ .

$\sqrt{4^{2}}$

Etapa 5.3.3.4

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$4$

Etapa 6

Encontre os vértices.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

O primeiro vértice de uma hipérbole pode ser encontrado ao somar $a$ com $k$ .

$(h, k + a)$

Etapa 6.2

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $a$ e $k$ na fórmula e simplifique.

$(4, 4)$

Etapa 6.3

O segundo vértice de uma hipérbole pode ser encontrado ao subtrair $a$ de $k$ .

$(h, k - a)$

Etapa 6.4

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $a$ e $k$ na fórmula e simplifique.

$(4, 0)$

Etapa 6.5

Os vértices de uma hipérbole seguem a forma $(h, k \pm a)$ . As hipérboles têm dois vértices.

$(4, 4), (4, 0)$

Etapa 7

Encontre o ponto imaginário.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

O primeiro foco de uma hipérbole pode ser encontrado ao somar $c$ com $k$ .

$(h, k + c)$

Etapa 7.2

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $c$ e $k$ na fórmula e simplifique.

$(4, 6)$

Etapa 7.3

O segundo foco de uma hipérbole pode ser encontrado ao subtrair $c$ de $k$ .

$(h, k - c)$

Etapa 7.4

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $c$ e $k$ na fórmula e simplifique.

$(4, - 2)$

Etapa 7.5

O ponto imaginário de uma hipérbole segue a forma de $(h, k \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}})$ . As hipérboles têm dois pontos imaginários.

$(4, 6), (4, - 2)$

Etapa 8

Encontre a excentricidade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Encontre a excentricidade usando a seguinte fórmula.

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

Etapa 8.2

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula.

$\frac{\sqrt{{(2)}^{2} + {(2 \sqrt{3})}^{2}}}{2}$

Etapa 8.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.1.1

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$\frac{\sqrt{4 + {(2 \sqrt{3})}^{2}}}{2}$

Etapa 8.3.1.2

Aplique a regra do produto a $2 \sqrt{3}$ .

$\frac{\sqrt{4 + 2^{2} {\sqrt{3}}^{2}}}{2}$

Etapa 8.3.1.3

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$\frac{\sqrt{4 + 4 {\sqrt{3}}^{2}}}{2}$

Etapa 8.3.1.4

Reescreva ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.1.4.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{4 + 4 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}}{2}$

Etapa 8.3.1.4.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{4 + 4 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}{2}$

Etapa 8.3.1.4.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{\sqrt{4 + 4 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}}{2}$

Etapa 8.3.1.4.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.1.4.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\sqrt{4 + 4 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}}{2}$

Etapa 8.3.1.4.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{\sqrt{4 + 4 \cdot 3^{1}}}{2}$

Etapa 8.3.1.4.5

Avalie o expoente.

$\frac{\sqrt{4 + 4 \cdot 3}}{2}$

Etapa 8.3.1.5

Multiplique $4$ por $3$ .

$\frac{\sqrt{4 + 12}}{2}$

Etapa 8.3.1.6

Some $4$ e $12$ .

$\frac{\sqrt{16}}{2}$

Etapa 8.3.1.7

Reescreva $16$ como $4^{2}$ .

$\frac{\sqrt{4^{2}}}{2}$

Etapa 8.3.1.8

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$\frac{4}{2}$

Etapa 8.3.2

Divida $4$ por $2$ .

$2$

Etapa 9

Encontre o parâmetro focal.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Encontre o valor do parâmetro focal da hipérbole usando a seguinte fórmula.

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

Etapa 9.2

Substitua os valores de $b$ e $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ na fórmula.

$\frac{2 {\sqrt{3}}^{2}}{4}$

Etapa 9.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.3.1

Cancele o fator comum de $2$ e $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.3.1.1

Fatore $2$ de $2 {\sqrt{3}}^{2}$ .

$\frac{2 ({\sqrt{3}}^{2})}{4}$

Etapa 9.3.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.3.1.2.1

Fatore $2$ de $4$ .

$\frac{2 {\sqrt{3}}^{2}}{2 \cdot 2}$

Etapa 9.3.1.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 {\sqrt{3}}^{2}}{2 \cdot 2}$

Etapa 9.3.1.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2}$

Etapa 9.3.2

Reescreva ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.3.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2}$

Etapa 9.3.2.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2}$

Etapa 9.3.2.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{3^{\frac{2}{2}}}{2}$

Etapa 9.3.2.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.3.2.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3^{\frac{2}{2}}}{2}$

Etapa 9.3.2.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{3^{1}}{2}$

Etapa 9.3.2.5

Avalie o expoente.

$\frac{3}{2}$

Etapa 10

As assíntotas seguem a forma $y = \pm \frac{a (x - h)}{b} + k$ , porque esta hipérbole se abre para cima e para baixo.

$y = \pm \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot (x - (4)) + 2$

Etapa 11

Simplifique para encontrar a primeira assíntota.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.1

Remova os parênteses.

$y = \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot (x - (4)) + 2$

Etapa 11.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$y = \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot (x - 4) + 2$

Etapa 11.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{\sqrt{3}}{3} x + \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot - 4 + 2$

Etapa 11.2.3

Combine $\frac{\sqrt{3}}{3}$ e $x$ .

$y = \frac{\sqrt{3} x}{3} + \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot - 4 + 2$

Etapa 11.2.4

Combine $\frac{\sqrt{3}}{3}$ e $- 4$ .

$y = \frac{\sqrt{3} x}{3} + \frac{\sqrt{3} \cdot - 4}{3} + 2$

Etapa 11.2.5

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.5.1

Mova $- 4$ para a esquerda de $\sqrt{3}$ .

$y = \frac{\sqrt{3} x}{3} + \frac{- 4 \sqrt{3}}{3} + 2$

Etapa 11.2.5.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y = \frac{\sqrt{3} x}{3} - \frac{4 \sqrt{3}}{3} + 2$

Etapa 12

Simplifique para encontrar a segunda assíntota.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1

Remova os parênteses.

$y = - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot (x - (4)) + 2$

Etapa 12.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.1

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$y = - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot (x - 4) + 2$

Etapa 12.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$y = - \frac{\sqrt{3}}{3} x - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot - 4 + 2$

Etapa 12.2.3

Combine $x$ e $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$y = - \frac{x \sqrt{3}}{3} - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot - 4 + 2$

Etapa 12.2.4

Multiplique $- \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot - 4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.4.1

Multiplique $- 4$ por $- 1$ .

$y = - \frac{x \sqrt{3}}{3} + 4 \frac{\sqrt{3}}{3} + 2$

Etapa 12.2.4.2

Combine $4$ e $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$y = - \frac{x \sqrt{3}}{3} + \frac{4 \sqrt{3}}{3} + 2$

Etapa 13

Essa hipérbole tem duas assíntotas.

$y = \frac{\sqrt{3} x}{3} - \frac{4 \sqrt{3}}{3} + 2, y = - \frac{x \sqrt{3}}{3} + \frac{4 \sqrt{3}}{3} + 2$

Etapa 14

Esses valores representam os valores importantes para representar graficamente e analisar uma hipérbole.

Centro: $(4, 2)$

Vértices: $(4, 4), (4, 0)$

Ponto imaginário: $(4, 6), (4, - 2)$

Excentricidade: $2$

Parâmetro focal: $\frac{3}{2}$

Assíntotas: $y = \frac{\sqrt{3} x}{3} - \frac{4 \sqrt{3}}{3} + 2$ , $y = - \frac{x \sqrt{3}}{3} + \frac{4 \sqrt{3}}{3} + 2$

Etapa 15