Pré-cálculo Exemplos

$\ln (\frac{x - 1}{x}) + \ln (\frac{x}{x + 1}) - \ln (x^{2} - 1)$

Etapa 1

Use a propriedade dos logaritmos do produto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (\frac{x - 1}{x} \cdot \frac{x}{x + 1}) - \ln (x^{2} - 1)$

Etapa 2

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{\frac{x - 1}{x} \cdot \frac{x}{x + 1}}{x^{2} - 1})$

Etapa 3

Multiplique $\frac{x - 1}{x}$ por $\frac{x}{x + 1}$ .

$\ln (\frac{\frac{(x - 1) x}{x (x + 1)}}{x^{2} - 1})$

Etapa 4

Simplifique o denominador.

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Etapa 4.1

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$\ln (\frac{\frac{(x - 1) x}{x (x + 1)}}{x^{2} - 1^{2}})$

Etapa 4.2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 1$ .

$\ln (\frac{\frac{(x - 1) x}{x (x + 1)}}{(x + 1) (x - 1)})$

Etapa 5

Reduza a expressão $\frac{(x - 1) x}{x (x + 1)}$ cancelando os fatores comuns.

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Etapa 5.1

Cancele o fator comum.

$\ln (\frac{\frac{(x - 1) x}{x (x + 1)}}{(x + 1) (x - 1)})$

Etapa 5.2

Reescreva a expressão.

$\ln (\frac{\frac{x - 1}{x + 1}}{(x + 1) (x - 1)})$

Etapa 6

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\ln (\frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{1}{(x + 1) (x - 1)})$

Etapa 7

Cancele o fator comum de $x - 1$ .

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Etapa 7.1

Fatore $x - 1$ de $(x + 1) (x - 1)$ .

$\ln (\frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{1}{(x - 1) (x + 1)})$

Etapa 7.2

Cancele o fator comum.

$\ln (\frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{1}{(x - 1) (x + 1)})$

Etapa 7.3

Reescreva a expressão.

$\ln (\frac{1}{x + 1} \cdot \frac{1}{x + 1})$

Etapa 8

Multiplique $\frac{1}{x + 1}$ por $\frac{1}{x + 1}$ .

$\ln (\frac{1}{(x + 1) (x + 1)})$

Etapa 9

Eleve $x + 1$ à potência de $1$ .

$\ln (\frac{1}{{(x + 1)}^{1} (x + 1)})$

Etapa 10

Eleve $x + 1$ à potência de $1$ .

$\ln (\frac{1}{{(x + 1)}^{1} {(x + 1)}^{1}})$

Etapa 11

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\ln (\frac{1}{{(x + 1)}^{1 + 1}})$

Etapa 12

Some $1$ e $1$ .

$\ln (\frac{1}{{(x + 1)}^{2}})$