Pré-cálculo Exemplos

${(3 x - 2 y)}^{5}$

Etapa 1

O triângulo de Pascal pode ser exibido assim:

$1$

$1 - 1$

$1 - 2 - 1$

$1 - 3 - 3 - 1$

$1 - 4 - 6 - 4 - 1$

$1 - 5 - 10 - 10 - 5 - 1$

O triângulo pode ser usado para calcular os coeficientes da expansão de ${(a + b)}^{n}$ , usando o expoente $n$ e somando $1$ . Os coeficientes corresponderão à linha $n + 1$ do triângulo. Para ${(3 x - 2 y)}^{5}$ , $n = 5$ , de forma que os coeficientes da expansão corresponderão à linha $6$ .

Etapa 2

A expansão segue a regra ${(a + b)}^{n} = c_{0} a^{n} b^{0} + c_{1} a^{n - 1} b^{1} + c_{n - 1} a^{1} b^{n - 1} + c_{n} a^{0} b^{n}$ . Os valores dos coeficientes, do triângulo, são $1 - 5 - 10 - 10 - 5 - 1$ .

$1 a^{5} b^{0} + 5 a^{4} b + 10 a^{3} b^{2} + 10 a^{2} b^{3} + 5 a b^{4} + 1 a^{0} b^{5}$

Etapa 3

Substitua os valores reais de $a$ $3 x$ e $b$ $- 2 y$ na expressão.

$1 {(3 x)}^{5} {(- 2 y)}^{0} + 5 {(3 x)}^{4} {(- 2 y)}^{1} + 10 {(3 x)}^{3} {(- 2 y)}^{2} + 10 {(3 x)}^{2} {(- 2 y)}^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(- 2 y)}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(- 2 y)}^{5}$

Etapa 4

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.1

Multiplique ${(3 x)}^{5}$ por $1$ .

${(3 x)}^{5} {(- 2 y)}^{0} + 5 {(3 x)}^{4} {(- 2 y)}^{1} + 10 {(3 x)}^{3} {(- 2 y)}^{2} + 10 {(3 x)}^{2} {(- 2 y)}^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(- 2 y)}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(- 2 y)}^{5}$

Etapa 4.2

Aplique a regra do produto a $3 x$ .

$3^{5} x^{5} {(- 2 y)}^{0} + 5 {(3 x)}^{4} {(- 2 y)}^{1} + 10 {(3 x)}^{3} {(- 2 y)}^{2} + 10 {(3 x)}^{2} {(- 2 y)}^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(- 2 y)}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(- 2 y)}^{5}$

Etapa 4.3

Eleve $3$ à potência de $5$ .

$243 x^{5} {(- 2 y)}^{0} + 5 {(3 x)}^{4} {(- 2 y)}^{1} + 10 {(3 x)}^{3} {(- 2 y)}^{2} + 10 {(3 x)}^{2} {(- 2 y)}^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(- 2 y)}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(- 2 y)}^{5}$

Etapa 4.4

Aplique a regra do produto a $- 2 y$ .

$243 x^{5} ({(- 2)}^{0} y^{0}) + 5 {(3 x)}^{4} {(- 2 y)}^{1} + 10 {(3 x)}^{3} {(- 2 y)}^{2} + 10 {(3 x)}^{2} {(- 2 y)}^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(- 2 y)}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(- 2 y)}^{5}$

Etapa 4.5

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$243 \cdot {(- 2)}^{0} x^{5} y^{0} + 5 {(3 x)}^{4} {(- 2 y)}^{1} + 10 {(3 x)}^{3} {(- 2 y)}^{2} + 10 {(3 x)}^{2} {(- 2 y)}^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(- 2 y)}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(- 2 y)}^{5}$

Etapa 4.6

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$243 \cdot 1 x^{5} y^{0} + 5 {(3 x)}^{4} {(- 2 y)}^{1} + 10 {(3 x)}^{3} {(- 2 y)}^{2} + 10 {(3 x)}^{2} {(- 2 y)}^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(- 2 y)}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(- 2 y)}^{5}$

Etapa 4.7

Multiplique $243$ por $1$ .

$243 x^{5} y^{0} + 5 {(3 x)}^{4} {(- 2 y)}^{1} + 10 {(3 x)}^{3} {(- 2 y)}^{2} + 10 {(3 x)}^{2} {(- 2 y)}^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(- 2 y)}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(- 2 y)}^{5}$

Etapa 4.8

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$243 x^{5} \cdot 1 + 5 {(3 x)}^{4} {(- 2 y)}^{1} + 10 {(3 x)}^{3} {(- 2 y)}^{2} + 10 {(3 x)}^{2} {(- 2 y)}^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(- 2 y)}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(- 2 y)}^{5}$

Etapa 4.9

Multiplique $243$ por $1$ .

$243 x^{5} + 5 {(3 x)}^{4} {(- 2 y)}^{1} + 10 {(3 x)}^{3} {(- 2 y)}^{2} + 10 {(3 x)}^{2} {(- 2 y)}^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(- 2 y)}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(- 2 y)}^{5}$

Etapa 4.10

Aplique a regra do produto a $3 x$ .

$243 x^{5} + 5 (3^{4} x^{4}) {(- 2 y)}^{1} + 10 {(3 x)}^{3} {(- 2 y)}^{2} + 10 {(3 x)}^{2} {(- 2 y)}^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(- 2 y)}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(- 2 y)}^{5}$

Etapa 4.11

Eleve $3$ à potência de $4$ .

$243 x^{5} + 5 (81 x^{4}) {(- 2 y)}^{1} + 10 {(3 x)}^{3} {(- 2 y)}^{2} + 10 {(3 x)}^{2} {(- 2 y)}^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(- 2 y)}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(- 2 y)}^{5}$

Etapa 4.12

Multiplique $81$ por $5$ .

$243 x^{5} + 405 x^{4} {(- 2 y)}^{1} + 10 {(3 x)}^{3} {(- 2 y)}^{2} + 10 {(3 x)}^{2} {(- 2 y)}^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(- 2 y)}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(- 2 y)}^{5}$

Etapa 4.13

Simplifique.

$243 x^{5} + 405 x^{4} (- 2 y) + 10 {(3 x)}^{3} {(- 2 y)}^{2} + 10 {(3 x)}^{2} {(- 2 y)}^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(- 2 y)}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(- 2 y)}^{5}$

Etapa 4.14

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$243 x^{5} + 405 \cdot - 2 x^{4} y + 10 {(3 x)}^{3} {(- 2 y)}^{2} + 10 {(3 x)}^{2} {(- 2 y)}^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(- 2 y)}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(- 2 y)}^{5}$

Etapa 4.15

Multiplique $405$ por $- 2$ .

$243 x^{5} - 810 x^{4} y + 10 {(3 x)}^{3} {(- 2 y)}^{2} + 10 {(3 x)}^{2} {(- 2 y)}^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(- 2 y)}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(- 2 y)}^{5}$

Etapa 4.16

Aplique a regra do produto a $3 x$ .

$243 x^{5} - 810 x^{4} y + 10 (3^{3} x^{3}) {(- 2 y)}^{2} + 10 {(3 x)}^{2} {(- 2 y)}^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(- 2 y)}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(- 2 y)}^{5}$

Etapa 4.17

Eleve $3$ à potência de $3$ .

$243 x^{5} - 810 x^{4} y + 10 (27 x^{3}) {(- 2 y)}^{2} + 10 {(3 x)}^{2} {(- 2 y)}^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(- 2 y)}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(- 2 y)}^{5}$

Etapa 4.18

Multiplique $27$ por $10$ .

$243 x^{5} - 810 x^{4} y + 270 x^{3} {(- 2 y)}^{2} + 10 {(3 x)}^{2} {(- 2 y)}^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(- 2 y)}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(- 2 y)}^{5}$

Etapa 4.19

Aplique a regra do produto a $- 2 y$ .

$243 x^{5} - 810 x^{4} y + 270 x^{3} ({(- 2)}^{2} y^{2}) + 10 {(3 x)}^{2} {(- 2 y)}^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(- 2 y)}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(- 2 y)}^{5}$

Etapa 4.20

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$243 x^{5} - 810 x^{4} y + 270 \cdot {(- 2)}^{2} x^{3} y^{2} + 10 {(3 x)}^{2} {(- 2 y)}^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(- 2 y)}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(- 2 y)}^{5}$

Etapa 4.21

Eleve $- 2$ à potência de $2$ .

$243 x^{5} - 810 x^{4} y + 270 \cdot 4 x^{3} y^{2} + 10 {(3 x)}^{2} {(- 2 y)}^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(- 2 y)}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(- 2 y)}^{5}$

Etapa 4.22

Multiplique $270$ por $4$ .

$243 x^{5} - 810 x^{4} y + 1080 x^{3} y^{2} + 10 {(3 x)}^{2} {(- 2 y)}^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(- 2 y)}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(- 2 y)}^{5}$

Etapa 4.23

Aplique a regra do produto a $3 x$ .

$243 x^{5} - 810 x^{4} y + 1080 x^{3} y^{2} + 10 (3^{2} x^{2}) {(- 2 y)}^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(- 2 y)}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(- 2 y)}^{5}$

Etapa 4.24

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$243 x^{5} - 810 x^{4} y + 1080 x^{3} y^{2} + 10 (9 x^{2}) {(- 2 y)}^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(- 2 y)}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(- 2 y)}^{5}$

Etapa 4.25

Multiplique $9$ por $10$ .

$243 x^{5} - 810 x^{4} y + 1080 x^{3} y^{2} + 90 x^{2} {(- 2 y)}^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(- 2 y)}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(- 2 y)}^{5}$

Etapa 4.26

Aplique a regra do produto a $- 2 y$ .

$243 x^{5} - 810 x^{4} y + 1080 x^{3} y^{2} + 90 x^{2} ({(- 2)}^{3} y^{3}) + 5 {(3 x)}^{1} {(- 2 y)}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(- 2 y)}^{5}$

Etapa 4.27

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$243 x^{5} - 810 x^{4} y + 1080 x^{3} y^{2} + 90 \cdot {(- 2)}^{3} x^{2} y^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(- 2 y)}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(- 2 y)}^{5}$

Etapa 4.28

Eleve $- 2$ à potência de $3$ .

$243 x^{5} - 810 x^{4} y + 1080 x^{3} y^{2} + 90 \cdot - 8 x^{2} y^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(- 2 y)}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(- 2 y)}^{5}$

Etapa 4.29

Multiplique $90$ por $- 8$ .

$243 x^{5} - 810 x^{4} y + 1080 x^{3} y^{2} - 720 x^{2} y^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(- 2 y)}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(- 2 y)}^{5}$

Etapa 4.30

Simplifique.

$243 x^{5} - 810 x^{4} y + 1080 x^{3} y^{2} - 720 x^{2} y^{3} + 5 (3 x) {(- 2 y)}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(- 2 y)}^{5}$

Etapa 4.31

Multiplique $3$ por $5$ .

$243 x^{5} - 810 x^{4} y + 1080 x^{3} y^{2} - 720 x^{2} y^{3} + 15 x {(- 2 y)}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(- 2 y)}^{5}$

Etapa 4.32

Aplique a regra do produto a $- 2 y$ .

$243 x^{5} - 810 x^{4} y + 1080 x^{3} y^{2} - 720 x^{2} y^{3} + 15 x ({(- 2)}^{4} y^{4}) + 1 {(3 x)}^{0} {(- 2 y)}^{5}$

Etapa 4.33

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$243 x^{5} - 810 x^{4} y + 1080 x^{3} y^{2} - 720 x^{2} y^{3} + 15 \cdot {(- 2)}^{4} x y^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(- 2 y)}^{5}$

Etapa 4.34

Eleve $- 2$ à potência de $4$ .

$243 x^{5} - 810 x^{4} y + 1080 x^{3} y^{2} - 720 x^{2} y^{3} + 15 \cdot 16 x y^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(- 2 y)}^{5}$

Etapa 4.35

Multiplique $15$ por $16$ .

$243 x^{5} - 810 x^{4} y + 1080 x^{3} y^{2} - 720 x^{2} y^{3} + 240 x y^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(- 2 y)}^{5}$

Etapa 4.36

Multiplique ${(3 x)}^{0}$ por $1$ .

$243 x^{5} - 810 x^{4} y + 1080 x^{3} y^{2} - 720 x^{2} y^{3} + 240 x y^{4} + {(3 x)}^{0} {(- 2 y)}^{5}$

Etapa 4.37

Aplique a regra do produto a $3 x$ .

$243 x^{5} - 810 x^{4} y + 1080 x^{3} y^{2} - 720 x^{2} y^{3} + 240 x y^{4} + 3^{0} x^{0} {(- 2 y)}^{5}$

Etapa 4.38

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$243 x^{5} - 810 x^{4} y + 1080 x^{3} y^{2} - 720 x^{2} y^{3} + 240 x y^{4} + 1 x^{0} {(- 2 y)}^{5}$

Etapa 4.39

Multiplique $x^{0}$ por $1$ .

$243 x^{5} - 810 x^{4} y + 1080 x^{3} y^{2} - 720 x^{2} y^{3} + 240 x y^{4} + x^{0} {(- 2 y)}^{5}$

Etapa 4.40

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$243 x^{5} - 810 x^{4} y + 1080 x^{3} y^{2} - 720 x^{2} y^{3} + 240 x y^{4} + 1 {(- 2 y)}^{5}$

Etapa 4.41

Multiplique ${(- 2 y)}^{5}$ por $1$ .

$243 x^{5} - 810 x^{4} y + 1080 x^{3} y^{2} - 720 x^{2} y^{3} + 240 x y^{4} + {(- 2 y)}^{5}$

Etapa 4.42

Aplique a regra do produto a $- 2 y$ .

$243 x^{5} - 810 x^{4} y + 1080 x^{3} y^{2} - 720 x^{2} y^{3} + 240 x y^{4} + {(- 2)}^{5} y^{5}$

Etapa 4.43

Eleve $- 2$ à potência de $5$ .

$243 x^{5} - 810 x^{4} y + 1080 x^{3} y^{2} - 720 x^{2} y^{3} + 240 x y^{4} - 32 y^{5}$