Pré-cálculo Exemplos

$7 x^{2} + 2 y^{2} = 14$

Etapa 1

Divida cada termo por $14$ para que o lado direito seja igual a um.

$\frac{7 x^{2}}{14} + \frac{2 y^{2}}{14} = \frac{14}{14}$

Etapa 2

Simplifique cada termo na equação para definir o lado direito como igual a $1$ . A forma padrão de uma elipse ou hipérbole exige que o lado direito da equação seja $1$ .

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{y^{2}}{7} = 1$

Etapa 3

Esta é a forma de uma elipse. Use-a para determinar os valores usados para encontrar o centro junto com os eixos maior e menor da elipse.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} = 1$

Etapa 4

Associe os valores nesta elipse com os da forma padrão. A variável $a$ representa o raio do eixo maior da elipse, $b$ representa o raio do eixo menor da elipse, $h$ representa o deslocamento de x em relação à origem e $k$ representa o deslocamento de y em relação à origem.

$a = \sqrt{7}$

$b = \sqrt{2}$

$k = 0$

$h = 0$

Etapa 5

Encontre a excentricidade usando a seguinte fórmula.

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

Etapa 6

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula.

$\frac{\sqrt{{(\sqrt{7})}^{2} - {(\sqrt{2})}^{2}}}{\sqrt{7}}$

Etapa 7

Simplifique.

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Etapa 7.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 7.1.1

Reescreva ${\sqrt{7}}^{2}$ como $7$ .

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Etapa 7.1.1.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{7}$ como $7^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{{(7^{\frac{1}{2}})}^{2} - {\sqrt{2}}^{2}}}{\sqrt{7}}$

Etapa 7.1.1.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{7^{\frac{1}{2} \cdot 2} - {\sqrt{2}}^{2}}}{\sqrt{7}}$

Etapa 7.1.1.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{\sqrt{7^{\frac{2}{2}} - {\sqrt{2}}^{2}}}{\sqrt{7}}$

Etapa 7.1.1.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 7.1.1.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\sqrt{7^{\frac{2}{2}} - {\sqrt{2}}^{2}}}{\sqrt{7}}$

Etapa 7.1.1.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{\sqrt{7^{1} - {\sqrt{2}}^{2}}}{\sqrt{7}}$

Etapa 7.1.1.5

Avalie o expoente.

$\frac{\sqrt{7 - {\sqrt{2}}^{2}}}{\sqrt{7}}$

Etapa 7.1.2

Reescreva ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Etapa 7.1.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{7 - {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}}{\sqrt{7}}$

Etapa 7.1.2.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{7 - 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}{\sqrt{7}}$

Etapa 7.1.2.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{\sqrt{7 - 2^{\frac{2}{2}}}}{\sqrt{7}}$

Etapa 7.1.2.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 7.1.2.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\sqrt{7 - 2^{\frac{2}{2}}}}{\sqrt{7}}$

Etapa 7.1.2.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{\sqrt{7 - 2^{1}}}{\sqrt{7}}$

Etapa 7.1.2.5

Avalie o expoente.

$\frac{\sqrt{7 - 1 \cdot 2}}{\sqrt{7}}$

Etapa 7.1.3

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{\sqrt{7 - 2}}{\sqrt{7}}$

Etapa 7.1.4

Subtraia $2$ de $7$ .

$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{7}}$

Etapa 7.2

Multiplique $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{7}}$ por $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}$ .

$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{7}} \cdot \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}$

Etapa 7.3

Combine e simplifique o denominador.

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Etapa 7.3.1

Multiplique $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{7}}$ por $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}$ .

$\frac{\sqrt{5} \sqrt{7}}{\sqrt{7} \sqrt{7}}$

Etapa 7.3.2

Eleve $\sqrt{7}$ à potência de $1$ .

$\frac{\sqrt{5} \sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{1} \sqrt{7}}$

Etapa 7.3.3

Eleve $\sqrt{7}$ à potência de $1$ .

$\frac{\sqrt{5} \sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{1} {\sqrt{7}}^{1}}$

Etapa 7.3.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{\sqrt{5} \sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{1 + 1}}$

Etapa 7.3.5

Some $1$ e $1$ .

$\frac{\sqrt{5} \sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{2}}$

Etapa 7.3.6

Reescreva ${\sqrt{7}}^{2}$ como $7$ .

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Etapa 7.3.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{7}$ como $7^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{5} \sqrt{7}}{{(7^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 7.3.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{5} \sqrt{7}}{7^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 7.3.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{\sqrt{5} \sqrt{7}}{7^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 7.3.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 7.3.6.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\sqrt{5} \sqrt{7}}{7^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 7.3.6.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{\sqrt{5} \sqrt{7}}{7^{1}}$

Etapa 7.3.6.5

Avalie o expoente.

$\frac{\sqrt{5} \sqrt{7}}{7}$

Etapa 7.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 7.4.1

Combine usando a regra do produto para radicais.

$\frac{\sqrt{5 \cdot 7}}{7}$

Etapa 7.4.2

Multiplique $5$ por $7$ .

$\frac{\sqrt{35}}{7}$

Etapa 8

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{\sqrt{35}}{7}$

Forma decimal:

$0.84515425 \dots$

Etapa 9