Pré-cálculo Exemplos

$f (x) = \sqrt{3} \csc (x) - 2$

Etapa 1

Defina $\sqrt{3} \csc (x) - 2$ como igual a $0$ .

$\sqrt{3} \csc (x) - 2 = 0$

Etapa 2

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Some $2$ aos dois lados da equação.

$\sqrt{3} \csc (x) = 2$

Etapa 2.2

Divida cada termo em $\sqrt{3} \csc (x) = 2$ por $\sqrt{3}$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Divida cada termo em $\sqrt{3} \csc (x) = 2$ por $\sqrt{3}$ .

$\frac{\sqrt{3} \csc (x)}{\sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}}$

Etapa 2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1

Cancele o fator comum de $\sqrt{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\sqrt{3} \csc (x)}{\sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}}$

Etapa 2.2.2.1.2

Divida $\csc (x)$ por $1$ .

$\csc (x) = \frac{2}{\sqrt{3}}$

Etapa 2.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.3.1

Multiplique $\frac{2}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\csc (x) = \frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Etapa 2.2.3.2

Combine e simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.3.2.1

Multiplique $\frac{2}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\csc (x) = \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Etapa 2.2.3.2.2

Eleve $\sqrt{3}$ à potência de $1$ .

$\csc (x) = \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Etapa 2.2.3.2.3

Eleve $\sqrt{3}$ à potência de $1$ .

$\csc (x) = \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Etapa 2.2.3.2.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\csc (x) = \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Etapa 2.2.3.2.5

Some $1$ e $1$ .

$\csc (x) = \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Etapa 2.2.3.2.6

Reescreva ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.3.2.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\csc (x) = \frac{2 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 2.2.3.2.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\csc (x) = \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 2.2.3.2.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\csc (x) = \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 2.2.3.2.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.3.2.6.4.1

Cancele o fator comum.

$\csc (x) = \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 2.2.3.2.6.4.2

Reescreva a expressão.

$\csc (x) = \frac{2 \sqrt{3}}{3^{1}}$

Etapa 2.2.3.2.6.5

Avalie o expoente.

$\csc (x) = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Etapa 2.3

Obtenha a cossecante inversa dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro da cossecante.

$x = arccsc (\frac{2 \sqrt{3}}{3})$

Etapa 2.4

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1

O valor exato de $arccsc (\frac{2 \sqrt{3}}{3})$ é $\frac{π}{3}$ .

$x = \frac{π}{3}$

Etapa 2.5

A função cossecante é positiva no primeiro e no segundo quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no segundo quadrante.

$x = π - \frac{π}{3}$

Etapa 2.6

Simplifique $π - \frac{π}{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.1

Para escrever $π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$x = π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Etapa 2.6.2

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.2.1

Combine $π$ e $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Etapa 2.6.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x = \frac{π \cdot 3 - π}{3}$

Etapa 2.6.3

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.3.1

Mova $3$ para a esquerda de $π$ .

$x = \frac{3 \cdot π - π}{3}$

Etapa 2.6.3.2

Subtraia $π$ de $3 π$ .

$x = \frac{2 π}{3}$

Etapa 2.7

Encontre o período de $\csc (x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.7.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 2.7.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 2.7.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 2.7.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 2.8

O período da função $\csc (x)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{2 π}{3} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 3