Pré-cálculo Exemplos

$\frac{4 x - 2}{x + 3} \leq 3$

Etapa 1

Subtraia $3$ dos dois lados da desigualdade.

$\frac{4 x - 2}{x + 3} - 3 \leq 0$

Etapa 2

Simplifique $\frac{4 x - 2}{x + 3} - 3$ .

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Etapa 2.1

Fatore $2$ de $4 x - 2$ .

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Etapa 2.1.1

Fatore $2$ de $4 x$ .

$\frac{2 (2 x) - 2}{x + 3} - 3 \leq 0$

Etapa 2.1.2

Fatore $2$ de $- 2$ .

$\frac{2 (2 x) + 2 (- 1)}{x + 3} - 3 \leq 0$

Etapa 2.1.3

Fatore $2$ de $2 (2 x) + 2 (- 1)$ .

$\frac{2 (2 x - 1)}{x + 3} - 3 \leq 0$

Etapa 2.2

Para escrever $- 3$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x + 3}{x + 3}$ .

$\frac{2 (2 x - 1)}{x + 3} - 3 \cdot \frac{x + 3}{x + 3} \leq 0$

Etapa 2.3

Combine $- 3$ e $\frac{x + 3}{x + 3}$ .

$\frac{2 (2 x - 1)}{x + 3} + \frac{- 3 (x + 3)}{x + 3} \leq 0$

Etapa 2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{2 (2 x - 1) - 3 (x + 3)}{x + 3} \leq 0$

Etapa 2.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 (2 x) + 2 \cdot - 1 - 3 (x + 3)}{x + 3} \leq 0$

Etapa 2.5.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{4 x + 2 \cdot - 1 - 3 (x + 3)}{x + 3} \leq 0$

Etapa 2.5.3

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{4 x - 2 - 3 (x + 3)}{x + 3} \leq 0$

Etapa 2.5.4

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{4 x - 2 - 3 x - 3 \cdot 3}{x + 3} \leq 0$

Etapa 2.5.5

Multiplique $- 3$ por $3$ .

$\frac{4 x - 2 - 3 x - 9}{x + 3} \leq 0$

Etapa 2.5.6

Subtraia $3 x$ de $4 x$ .

$\frac{x - 2 - 9}{x + 3} \leq 0$

Etapa 2.5.7

Subtraia $9$ de $- 2$ .

$\frac{x - 11}{x + 3} \leq 0$

Etapa 3

Encontre todos os valores em que a expressão muda de negativo para positivo, definindo cada fator igual a $0$ . Depois, resolva.

$x - 11 = 0$

$x + 3 = 0$

Etapa 4

Some $11$ aos dois lados da equação.

$x = 11$

Etapa 5

Subtraia $3$ dos dois lados da equação.

$x = - 3$

Etapa 6

Resolva cada fator para encontrar os valores em que a expressão de valor absoluto passa de negativa para positiva.

$x = 11$

$x = - 3$

Etapa 7

Consolide as soluções.

$x = 11, - 3$

Etapa 8

Encontre o domínio de $\frac{x - 11}{x + 3}$ .

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Etapa 8.1

Defina o denominador em $\frac{x - 11}{x + 3}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x + 3 = 0$

Etapa 8.2

Subtraia $3$ dos dois lados da equação.

$x = - 3$

Etapa 8.3

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, \infty)$

Etapa 9

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < - 3$

$- 3 < x < 11$

$x > 11$

Etapa 10

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

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Etapa 10.1

Teste um valor no intervalo $x < - 3$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 10.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < - 3$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 6$

Etapa 10.1.2

Substitua $x$ por $- 6$ na desigualdade original.

$\frac{4 (- 6) - 2}{(- 6) + 3} \leq 3$

Etapa 10.1.3

O lado esquerdo $8.\overline{6}$ é maior do que o lado direito $3$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

Falso

Etapa 10.2

Teste um valor no intervalo $- 3 < x < 11$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 10.2.1

Escolha um valor no intervalo $- 3 < x < 11$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 0$

Etapa 10.2.2

Substitua $x$ por $0$ na desigualdade original.

$\frac{4 (0) - 2}{(0) + 3} \leq 3$

Etapa 10.2.3

O lado esquerdo $- 0.\overline{6}$ é menor do que o lado direito $3$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

Verdadeiro

Etapa 10.3

Teste um valor no intervalo $x > 11$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 10.3.1

Escolha um valor no intervalo $x > 11$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 14$

Etapa 10.3.2

Substitua $x$ por $14$ na desigualdade original.

$\frac{4 (14) - 2}{(14) + 3} \leq 3$

Etapa 10.3.3

O lado esquerdo $3.17647058$ é maior do que o lado direito $3$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

Falso

Etapa 10.4

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < - 3$ Falso

$- 3 < x < 11$ Verdadeiro

$x > 11$ Falso

$x < - 3$ Falso

$- 3 < x < 11$ Verdadeiro

$x > 11$ Falso

Etapa 11

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$- 3 < x \leq 11$

Etapa 12

Converta a desigualdade em notação de intervalo.

$(- 3, 11]$

Etapa 13